22.(21分)推理与作图题.
(1)(7分)如图7-1-8,在△ABC中,∠ABC=45°,AC=4,高AD和高BE相交于点F,求线段BF的长度.

(2)(7分)如图7-1-9,在正方形ABCD中,点E在CD边上,DE=2,CE=1,在直线BC上求一点F,使△ABF≌△ADE,并求E,F两点的距离.

(3)(7分)如图7-1-10,在△ABC中,已知AB=5,AC=13,AD是中线,且AD=6.
① 延长AD到E,使DE=AD,连结CE.作图并结合图形写出两条结论.

② 求BC的长.
③ 解答本题后,用一句话说出你的感悟.

22. 提示:(1)先由 $∠ ABC = 45°,AD ⊥ BC$ 推出 $AD = BD$;再证 $△ ADC ≌ △ BDF$,从而可得 $BF = AC = 4$.
(2) 以点 A 为圆心、AE 长为半径作弧,在直线 BC 上有交点 $F_1$ 和 $F_2$.
易证 $△ ABF_1 ≌ △ ADE$, $△ ABF_2 ≌ △ ADE$,
$\therefore CF_1 = 1$, $CF_2 = 5$.
$EF_1 = \sqrt{2}$, $EF_2 = \sqrt{26}$.
(3) ① $CE // AB$, $AB + AC ＞ 2AD$, $△ CED ≌ △ BAD$ 等.
② 由 $AC = 13$,
$AE = 2AD = 12$,
$CE = AB = 5$,得
$AE^2 + CE^2 = 12^2 + 5^2 = 169 = 13^2 = AC^2$.
根据勾股定理逆定理可得 $△ ACE$ 是直角三角形, $∠ E = 90°$.
由 $CE = AB,DE = AD,CD = BD$ 可推出 $△ CED ≌ △ BAD$,可得 $∠ BAD = 90°$.
$\therefore BD = \sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{61}$.
$\therefore BC = 2BD = 2\sqrt{61}$.
③ 在研究三角形问题时,若有中线或中点等包含等线段条件的,可考虑利用等线段构造全等三角形,从而实现线段的等量变换.