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15. 新考法 新定义问题 在平面直角坐标系 $ xOy $ 中，对于 $ P,Q $ 两点给出如下定义：若点 $ P $ 到 $ x,y $ 轴的距离中的最大值等于点 $ Q $ 到 $ x,y $ 轴的距离中的最大值，则称 $ P,Q $ 两点为“等距点”。
(1)已知点 $ A $ 的坐标为 $ (-3,1) $。
①在点 $ E(0,3),F(-2,-3),G(2,-5) $ 中，为点 $ A $ 的“等距点”的是
②若点 $ B $ 的坐标为 $ (m,m+6) $ 且 $ A,B $ 两点为“等距点”，则点 $ B $ 的坐标为
(2)若 $ T_1(-1,-k-3),T_2(4,4k-3) $ 两点为“等距点”，求 $ k $ 的值。
(1)已知点 $ A $ 的坐标为 $ (-3,1) $。
①在点 $ E(0,3),F(-2,-3),G(2,-5) $ 中，为点 $ A $ 的“等距点”的是
$E,F$
；②若点 $ B $ 的坐标为 $ (m,m+6) $ 且 $ A,B $ 两点为“等距点”，则点 $ B $ 的坐标为
$(-3,3)$
；(2)若 $ T_1(-1,-k-3),T_2(4,4k-3) $ 两点为“等距点”，求 $ k $ 的值。
答案
15.(1)①$E,F$ [解析]
∵点 $A$ 到 $x,y$ 轴的距离中的最大值等于 3，
点 $E$ 到 $x,y$ 轴的距离中的最大值等于 3，
点 $F$ 到 $x,y$ 轴的距离中的最大值等于 3，
点 $G$ 到 $x,y$ 轴的距离中的最大值等于 5，
∴点 $A$ 的“等距点”是 $E,F$.
②$(-3,3)$ [解析]若 $m＜m+6≤0$,则 $-m=3$,解得 $m=-3$(不合题意,舍去);
若 $0≤ m＜m+6$,则 $m+6=3$,解得 $m=-3$(不合题意,舍去);
若 $m＜0＜m+6$,当$|m|≥ m+6$时,$-m=3$,解得 $m=-3$,此时 $B(-3,3)$;
当$|m|＜m+6$时,$m+6=3$,解得 $m=-3$(不合题意,舍去).故点 $B$ 的坐标为$(-3,3)$.
(2)当$|4k-3|≤4$时,则$|-k-3|=4$,
解得 $k=-7$(舍去)或 $k=1$;
当$|4k-3|＞4$时,则$|4k-3|=|-k-3|$,
解得 $k=2$ 或 $k=0$(舍去),
∴$k$ 的值为 1 或 2.
∵点 $A$ 到 $x,y$ 轴的距离中的最大值等于 3，
点 $E$ 到 $x,y$ 轴的距离中的最大值等于 3，
点 $F$ 到 $x,y$ 轴的距离中的最大值等于 3，
点 $G$ 到 $x,y$ 轴的距离中的最大值等于 5，
∴点 $A$ 的“等距点”是 $E,F$.
②$(-3,3)$ [解析]若 $m＜m+6≤0$,则 $-m=3$,解得 $m=-3$(不合题意,舍去);
若 $0≤ m＜m+6$,则 $m+6=3$,解得 $m=-3$(不合题意,舍去);
若 $m＜0＜m+6$,当$|m|≥ m+6$时,$-m=3$,解得 $m=-3$,此时 $B(-3,3)$;
当$|m|＜m+6$时,$m+6=3$,解得 $m=-3$(不合题意,舍去).故点 $B$ 的坐标为$(-3,3)$.
(2)当$|4k-3|≤4$时,则$|-k-3|=4$,
解得 $k=-7$(舍去)或 $k=1$;
当$|4k-3|＞4$时,则$|4k-3|=|-k-3|$,
解得 $k=2$ 或 $k=0$(舍去),
∴$k$ 的值为 1 或 2.
解析
【分析】
首先明确“等距点”的核心定义：两点到x轴、y轴的距离的最大值相等，其中点到x轴的距离为纵坐标的绝对值，到y轴的距离为横坐标的绝对值。解题思路如下：
1. 第(1)①问：先算出点A到两轴距离的最大值，再分别计算E、F、G三点的对应最大值，相等的即为等距点。
2. 第(1)②问：点B的距离最大值是|m|和|m+6|中较大的数，需等于点A的最大值3，分区间讨论m的取值，排除不符合前提的解。
3. 第(2)问：先分析T₂到y轴距离为4，分两种情况讨论：一是T₂的距离最大值为4，此时T₁的最大值也为4；二是T₂的距离最大值大于4，此时两点的最大值相等列方程求解，每类解都要检验是否符合对应前提。
【解析】
(1)①点A(-3,1)到x轴距离为|1|=1，到y轴距离为|-3|=3，距离最大值为3。
点E(0,3)：到x轴距离为|3|=3，到y轴距离为0，最大值为3，符合定义；
点F(-2,-3)：到x轴距离为|-3|=3，到y轴距离为|-2|=2，最大值为3，符合定义；
点G(2,-5)：到x轴距离为|-5|=5，到y轴距离为|2|=2，最大值为5，不符合定义。
②由A的距离最大值为3，可知点B(m,m+6)的距离最大值也为3，分情况讨论：
若$m ＜ m+6 ≤ 0$，则最大值为$-m=3$，解得$m=-3$，此时$m+6=3＞0$，不符合前提，舍去；
若$0 ≤ m ＜ m+6$，则最大值为$m+6=3$，解得$m=-3＜0$，不符合前提，舍去；
若$m ＜ 0 ＜ m+6$：当$|m|≥m+6$时，$-m=3$，解得$m=-3$，此时$B(-3,3)$，符合要求；当$|m|＜m+6$时，$m+6=3$，解得$m=-3$，此时$|m|=m+6$，不符合前提，舍去。
(2)$T_1(-1,-k-3)$的距离最大值为$\max\{1,|-k-3|\}$，$T_2(4,4k-3)$的距离最大值为$\max\{4,|4k-3|\}$，分情况讨论：
当$|4k-3|≤4$时，$T_2$的最大值为4，因此$|-k-3|=4$，解得$k=1$或$k=-7$。检验得$k=-7$时$|4k-3|=31＞4$，不符合前提，舍去，保留$k=1$；
当$|4k-3|＞4$时，$|4k-3|=|-k-3|$，平方整理得$15k(k-2)=0$，解得$k=0$或$k=2$。检验得$k=0$时$|4k-3|=3≤4$，不符合前提，舍去，保留$k=2$。
【答案】
(1)①$E,F$；②$(-3,3)$；(2)$k$的值为$1$或$2$
【知识点】
新定义问题，点到坐标轴的距离，绝对值方程求解
【点评】
本题属于新定义类坐标问题，解题关键是将新定义转化为已学的坐标与距离的关系，分类讨论时需注意验证解是否符合对应情况的约束条件，避免产生增解。
【难度系数】
0.6
首先明确“等距点”的核心定义：两点到x轴、y轴的距离的最大值相等，其中点到x轴的距离为纵坐标的绝对值，到y轴的距离为横坐标的绝对值。解题思路如下：
1. 第(1)①问：先算出点A到两轴距离的最大值，再分别计算E、F、G三点的对应最大值，相等的即为等距点。
2. 第(1)②问：点B的距离最大值是|m|和|m+6|中较大的数，需等于点A的最大值3，分区间讨论m的取值，排除不符合前提的解。
3. 第(2)问：先分析T₂到y轴距离为4，分两种情况讨论：一是T₂的距离最大值为4，此时T₁的最大值也为4；二是T₂的距离最大值大于4，此时两点的最大值相等列方程求解，每类解都要检验是否符合对应前提。
【解析】
(1)①点A(-3,1)到x轴距离为|1|=1，到y轴距离为|-3|=3，距离最大值为3。
点E(0,3)：到x轴距离为|3|=3，到y轴距离为0，最大值为3，符合定义；
点F(-2,-3)：到x轴距离为|-3|=3，到y轴距离为|-2|=2，最大值为3，符合定义；
点G(2,-5)：到x轴距离为|-5|=5，到y轴距离为|2|=2，最大值为5，不符合定义。
②由A的距离最大值为3，可知点B(m,m+6)的距离最大值也为3，分情况讨论：
若$m ＜ m+6 ≤ 0$，则最大值为$-m=3$，解得$m=-3$，此时$m+6=3＞0$，不符合前提，舍去；
若$0 ≤ m ＜ m+6$，则最大值为$m+6=3$，解得$m=-3＜0$，不符合前提，舍去；
若$m ＜ 0 ＜ m+6$：当$|m|≥m+6$时，$-m=3$，解得$m=-3$，此时$B(-3,3)$，符合要求；当$|m|＜m+6$时，$m+6=3$，解得$m=-3$，此时$|m|=m+6$，不符合前提，舍去。
(2)$T_1(-1,-k-3)$的距离最大值为$\max\{1,|-k-3|\}$，$T_2(4,4k-3)$的距离最大值为$\max\{4,|4k-3|\}$，分情况讨论：
当$|4k-3|≤4$时，$T_2$的最大值为4，因此$|-k-3|=4$，解得$k=1$或$k=-7$。检验得$k=-7$时$|4k-3|=31＞4$，不符合前提，舍去，保留$k=1$；
当$|4k-3|＞4$时，$|4k-3|=|-k-3|$，平方整理得$15k(k-2)=0$，解得$k=0$或$k=2$。检验得$k=0$时$|4k-3|=3≤4$，不符合前提，舍去，保留$k=2$。
【答案】
(1)①$E,F$；②$(-3,3)$；(2)$k$的值为$1$或$2$
【知识点】
新定义问题，点到坐标轴的距离，绝对值方程求解
【点评】
本题属于新定义类坐标问题，解题关键是将新定义转化为已学的坐标与距离的关系，分类讨论时需注意验证解是否符合对应情况的约束条件，避免产生增解。
【难度系数】
0.6
16.一艘游船从A港逆流开往B港,游船在静水中的行驶速度为600 m/min.出发2 min后有一位游客的物品飘落在水面上,游客在游船出发5分钟后发现遗失物品,游船随即掉头寻找,并在找回物品之后掉头继续前往B港.游船距离A港的距离y(m)与行驶时间x(min)的关系如图所示.(1)水流的速度为
(2)求点A的坐标,并解释它的实际意义；
(3)若游船在出发14 min后到达B港,则A港与B港之间的距离为
100
m/min；(2)求点A的坐标,并解释它的实际意义；
(3)若游船在出发14 min后到达B港,则A港与B港之间的距离为
3400
m.答案
16.(1)100 [解析]由题图可得，
游船逆流速度为 $2500÷5=500(\mathrm{m/min})$.
∵游船在静水中的行驶速度为 600 m/min，
∴水流速度为 $600-500=100(\mathrm{m/min})$.
(2)设点 A 的横坐标为 $t$，
当游船行驶 2 min 时,行驶的路程为 $500×2=1000(\mathrm{m})$,
$1000-100(t-2)=2500-(600+100)(t-5)$,
解得 $t=8$,
当 $t=8$ 时,点 A 的纵坐标为 $1000-100×(8-2)=400$,
即点 $P$ 的坐标为$(8,400)$,点 $P$ 的实际意义:当游船行驶8 min 时,追上丢失的物品,此时离 A 港 400 m.
(3)3400 [解析]由(2)可得,A 港与 B 港之间的距离为 $400+500×(14-8)=400+500×6=400+3000=3400(\mathrm{m})$.
游船逆流速度为 $2500÷5=500(\mathrm{m/min})$.
∵游船在静水中的行驶速度为 600 m/min，
∴水流速度为 $600-500=100(\mathrm{m/min})$.
(2)设点 A 的横坐标为 $t$，
当游船行驶 2 min 时,行驶的路程为 $500×2=1000(\mathrm{m})$,
$1000-100(t-2)=2500-(600+100)(t-5)$,
解得 $t=8$,
当 $t=8$ 时,点 A 的纵坐标为 $1000-100×(8-2)=400$,
即点 $P$ 的坐标为$(8,400)$,点 $P$ 的实际意义:当游船行驶8 min 时,追上丢失的物品,此时离 A 港 400 m.
(3)3400 [解析]由(2)可得,A 港与 B 港之间的距离为 $400+500×(14-8)=400+500×6=400+3000=3400(\mathrm{m})$.
解析
【分析】
(1) 先从函数图像提取信息：前5分钟游船逆流行驶路程为2500m，先计算逆流速度，再结合“逆流速度=静水速度-水流速度”即可求出水流速度。
(2) 点A是游船找回物品的位置：物品在出发2min时掉落，掉落点距离A港的路程为游船逆流2min的行驶路程；之后物品随水流向A港漂流，速度等于水流速度；游船出发5min后掉头顺流寻物，顺流速度为静水速度加水流速度，此时游船在2500m处向A港行驶，找到物品时两者位置相同，据此列方程求出点A的横坐标，再计算纵坐标，最后结合横纵坐标的实际含义解释意义即可。
(3) 游船找到物品后掉头逆流前往B港，用点A对应的时间到14min的行驶时间乘逆流速度，再加点A对应的距离A港的路程，即可求出A、B两港的总距离。
【解析】
(1) 由图像可知，游船逆流5min行驶了2500m，
则逆流速度为：$2500÷5=500(\mathrm{m/min})$，
已知游船在静水中速度为600m/min，根据逆流速度=静水速度-水流速度，
得水流速度为：$600-500=100(\mathrm{m/min})$。
(2) 设点A的横坐标为$t$，
出发2min时物品掉落，此时物品掉落处距离A港的距离为：$500×2=1000(\mathrm{m})$，
从物品掉落到找到物品，物品漂流的时间为$(t-2)\mathrm{min}$，因此找到物品时物品距离A港的距离为：$1000-100(t-2)$；
游船从5min时掉头顺流行驶，顺流速度为$600+100=700(\mathrm{m/min})$，到找到物品时顺流行驶的时间为$(t-5)\mathrm{min}$，因此找到物品时游船距离A港的距离为：$2500-700(t-5)$。
找到物品时两者位置相同，列方程得：
$1000-100(t-2)=2500-700(t-5)$
解得$t=8$，
将$t=8$代入$1000-100(t-2)$，得纵坐标为$1000-100×(8-2)=400$，
即点A的坐标为$(8,400)$。
实际意义：游船行驶8min时追上丢失的物品，此时距离A港400m。
(3) 游船找到物品后继续逆流前往B港，从8min到14min的行驶时间为$14-8=6(\mathrm{min})$，
这段时间行驶的路程为：$500×6=3000(\mathrm{m})$，
因此A、B两港的距离为：$400+3000=3400(\mathrm{m})$。
【答案】
(1) $\boxed{100}$
(2) 点A的坐标为$\boxed{(8,400)}$，实际意义：游船行驶8分钟时追上丢失的物品，此时距离A港400m；
(3) $\boxed{3400}$
【知识点】
一次函数图像应用，流水行船问题，一元一次方程的应用
【点评】
本题结合函数图像考查行程类实际应用，需要学生准确读取图像信息，理清不同运动阶段速度、时间、路程的关系，找准等量关系列方程求解，对逻辑分析能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
(1) 先从函数图像提取信息：前5分钟游船逆流行驶路程为2500m，先计算逆流速度，再结合“逆流速度=静水速度-水流速度”即可求出水流速度。
(2) 点A是游船找回物品的位置：物品在出发2min时掉落，掉落点距离A港的路程为游船逆流2min的行驶路程；之后物品随水流向A港漂流，速度等于水流速度；游船出发5min后掉头顺流寻物，顺流速度为静水速度加水流速度，此时游船在2500m处向A港行驶，找到物品时两者位置相同，据此列方程求出点A的横坐标，再计算纵坐标，最后结合横纵坐标的实际含义解释意义即可。
(3) 游船找到物品后掉头逆流前往B港，用点A对应的时间到14min的行驶时间乘逆流速度，再加点A对应的距离A港的路程，即可求出A、B两港的总距离。
【解析】
(1) 由图像可知，游船逆流5min行驶了2500m，
则逆流速度为：$2500÷5=500(\mathrm{m/min})$，
已知游船在静水中速度为600m/min，根据逆流速度=静水速度-水流速度，
得水流速度为：$600-500=100(\mathrm{m/min})$。
(2) 设点A的横坐标为$t$，
出发2min时物品掉落，此时物品掉落处距离A港的距离为：$500×2=1000(\mathrm{m})$，
从物品掉落到找到物品，物品漂流的时间为$(t-2)\mathrm{min}$，因此找到物品时物品距离A港的距离为：$1000-100(t-2)$；
游船从5min时掉头顺流行驶，顺流速度为$600+100=700(\mathrm{m/min})$，到找到物品时顺流行驶的时间为$(t-5)\mathrm{min}$，因此找到物品时游船距离A港的距离为：$2500-700(t-5)$。
找到物品时两者位置相同，列方程得：
$1000-100(t-2)=2500-700(t-5)$
解得$t=8$，
将$t=8$代入$1000-100(t-2)$，得纵坐标为$1000-100×(8-2)=400$，
即点A的坐标为$(8,400)$。
实际意义：游船行驶8min时追上丢失的物品，此时距离A港400m。
(3) 游船找到物品后继续逆流前往B港，从8min到14min的行驶时间为$14-8=6(\mathrm{min})$，
这段时间行驶的路程为：$500×6=3000(\mathrm{m})$，
因此A、B两港的距离为：$400+3000=3400(\mathrm{m})$。
【答案】
(1) $\boxed{100}$
(2) 点A的坐标为$\boxed{(8,400)}$，实际意义：游船行驶8分钟时追上丢失的物品，此时距离A港400m；
(3) $\boxed{3400}$
【知识点】
一次函数图像应用，流水行船问题，一元一次方程的应用
【点评】
本题结合函数图像考查行程类实际应用，需要学生准确读取图像信息，理清不同运动阶段速度、时间、路程的关系，找准等量关系列方程求解，对逻辑分析能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
