登录
10. 如图，直线$MN:y=kx+2$交$x$轴负半轴于点$A$，交$y$轴于点$B$，$∠ BAO=30°$，点$C$是$x$轴上的一点，且$OC=2$，则$∠ MBC$的度数为
$75°或165°$
.答案
10.$75°或165°$
解析
【分析】
解题时先从直线解析式入手，先确定点B的坐标得到OB的长度，再在直角三角形AOB中利用直角三角形两锐角互余求出∠ABO的度数；接下来注意点C在x轴上且OC=2，存在x轴正半轴、x轴负半轴两种位置，需要分类讨论：两种情况下△OBC都是等腰直角三角形，可得∠OBC=45°，最后结合平角为180°，分别计算两种情况下∠MBC的度数即可。
【解析】
1. 求点B坐标与∠ABO的度数：
直线$y=kx+2$与y轴交于点B，当$x=0$时，$y=2$，即$B(0,2)$，故$OB=2$。
在$Rt△ AOB$中，$∠ AOB=90°$，$∠ BAO=30°$，因此$∠ ABO=90°-30°=60°$。
2. 分情况讨论点C的位置：
点C在x轴上且$OC=2$，存在两种情况：
① 当C在x轴正半轴时，$C(2,0)$，此时$OB=OC=2$，$∠ BOC=90°$，$△ OBC$为等腰直角三角形，$∠ OBC=45°$。
则$∠ ABC=∠ ABO+∠ OBC=60°+45°=105°$，
因为A、B、M三点共线，$∠ ABM=180°$，故$∠ MBC=180°-∠ ABC=180°-105°=75°$。
② 当C在x轴负半轴时，$C(-2,0)$，此时$OB=OC=2$，$∠ BOC=90°$，$△ OBC$为等腰直角三角形，$∠ OBC=45°$。
则$∠ ABC=∠ ABO-∠ OBC=60°-45°=15°$，
同理$∠ ABM=180°$，故$∠ MBC=180°-∠ ABC=180°-15°=165°$。
【答案】
$75°或165°$
【知识点】
一次函数图像性质；直角三角形性质；分类讨论思想
【点评】
本题是一次函数与几何图形的综合题，解题关键是明确点C的位置有两种情况，易错点是忽略分类讨论导致漏解，解题时要注意结合图像分析所有可能的情况。
【难度系数】
0.6
解题时先从直线解析式入手，先确定点B的坐标得到OB的长度，再在直角三角形AOB中利用直角三角形两锐角互余求出∠ABO的度数；接下来注意点C在x轴上且OC=2，存在x轴正半轴、x轴负半轴两种位置，需要分类讨论：两种情况下△OBC都是等腰直角三角形，可得∠OBC=45°，最后结合平角为180°，分别计算两种情况下∠MBC的度数即可。
【解析】
1. 求点B坐标与∠ABO的度数：
直线$y=kx+2$与y轴交于点B，当$x=0$时，$y=2$，即$B(0,2)$，故$OB=2$。
在$Rt△ AOB$中，$∠ AOB=90°$，$∠ BAO=30°$，因此$∠ ABO=90°-30°=60°$。
2. 分情况讨论点C的位置：
点C在x轴上且$OC=2$，存在两种情况：
① 当C在x轴正半轴时，$C(2,0)$，此时$OB=OC=2$，$∠ BOC=90°$，$△ OBC$为等腰直角三角形，$∠ OBC=45°$。
则$∠ ABC=∠ ABO+∠ OBC=60°+45°=105°$，
因为A、B、M三点共线，$∠ ABM=180°$，故$∠ MBC=180°-∠ ABC=180°-105°=75°$。
② 当C在x轴负半轴时，$C(-2,0)$，此时$OB=OC=2$，$∠ BOC=90°$，$△ OBC$为等腰直角三角形，$∠ OBC=45°$。
则$∠ ABC=∠ ABO-∠ OBC=60°-45°=15°$，
同理$∠ ABM=180°$，故$∠ MBC=180°-∠ ABC=180°-15°=165°$。
【答案】
$75°或165°$
【知识点】
一次函数图像性质；直角三角形性质；分类讨论思想
【点评】
本题是一次函数与几何图形的综合题，解题关键是明确点C的位置有两种情况，易错点是忽略分类讨论导致漏解，解题时要注意结合图像分析所有可能的情况。
【难度系数】
0.6
11. 在平面直角坐标系中，已知点$A(-2,3)$，$B(4,9)$，直线$y=kx - k(k≠0)$与线段$AB$有交点，则$k$的取值范围为________。
答案
11.$k≤ -1$ 或 $k≥ 3$ [解析]$\because y=kx-k=k(x-1)$,
∴直线 $y=kx-k$ 过定点$(1,0)$.
∵直线 $y=kx-k(k≠0)$ 与线段 AB 有交点，
∴当直线 $y=kx-k$ 过 $B(4,9)$ 时,则 $4k-k=9$,解得 $k=3$;当直线 $y=kx-k$ 过 $A(-2,3)$ 时,则 $-2k-k=3$,解得 $k=-1$,$\therefore k$ 的取值范围为 $k≤ -1$ 或 $k≥ 3$.
∴直线 $y=kx-k$ 过定点$(1,0)$.
∵直线 $y=kx-k(k≠0)$ 与线段 AB 有交点，
∴当直线 $y=kx-k$ 过 $B(4,9)$ 时,则 $4k-k=9$,解得 $k=3$;当直线 $y=kx-k$ 过 $A(-2,3)$ 时,则 $-2k-k=3$,解得 $k=-1$,$\therefore k$ 的取值范围为 $k≤ -1$ 或 $k≥ 3$.
解析
【分析】
解题时首先观察直线解析式的特征，通过对解析式变形提取公因式，先确定直线恒过的定点坐标；因为直线与线段AB有交点，所以临界情况为直线恰好经过线段的两个端点A、B，将A、B两点坐标分别代入直线解析式求出对应的k值，再结合图象判断k的取值范围即可。
【解析】
先对直线解析式变形：
∵ $y = kx - k = k(x - 1)$，
∴ 当$x=1$时，$y=0$，即直线$y=kx - k$恒过定点$(1,0)$。
∵ 直线$y=kx - k(k≠0)$与线段AB有交点，因此分别计算直线经过线段端点时的k值：
1. 当直线过点$B(4,9)$时，将$x=4,y=9$代入解析式得：
$4k - k = 9$，解得$k=3$；
2. 当直线过点$A(-2,3)$时，将$x=-2,y=3$代入解析式得：
$-2k - k = 3$，解得$k=-1$。
结合一次函数图象的变化趋势可知，当$k≤-1$或$k≥3$时，直线与线段AB有交点。
【答案】
$k≤ -1$ 或 $k≥ 3$
【知识点】
一次函数过定点判定；待定系数法求参数；一次函数与线段交点问题
【点评】
本题是一次函数的典型综合题，解题的核心是先找到直线所过的定点，再结合线段端点求出参数的临界值，借助数形结合思想就能快速确定参数的取值范围，需要注意区分直线与直线相交、直线与线段相交的范围差异。
【难度系数】
0.6
解题时首先观察直线解析式的特征，通过对解析式变形提取公因式，先确定直线恒过的定点坐标；因为直线与线段AB有交点，所以临界情况为直线恰好经过线段的两个端点A、B，将A、B两点坐标分别代入直线解析式求出对应的k值，再结合图象判断k的取值范围即可。
【解析】
先对直线解析式变形：
∵ $y = kx - k = k(x - 1)$，
∴ 当$x=1$时，$y=0$，即直线$y=kx - k$恒过定点$(1,0)$。
∵ 直线$y=kx - k(k≠0)$与线段AB有交点，因此分别计算直线经过线段端点时的k值：
1. 当直线过点$B(4,9)$时，将$x=4,y=9$代入解析式得：
$4k - k = 9$，解得$k=3$；
2. 当直线过点$A(-2,3)$时，将$x=-2,y=3$代入解析式得：
$-2k - k = 3$，解得$k=-1$。
结合一次函数图象的变化趋势可知，当$k≤-1$或$k≥3$时，直线与线段AB有交点。
【答案】
$k≤ -1$ 或 $k≥ 3$
【知识点】
一次函数过定点判定；待定系数法求参数；一次函数与线段交点问题
【点评】
本题是一次函数的典型综合题，解题的核心是先找到直线所过的定点，再结合线段端点求出参数的临界值，借助数形结合思想就能快速确定参数的取值范围，需要注意区分直线与直线相交、直线与线段相交的范围差异。
【难度系数】
0.6
12.若一次函数$y=kx+b$的图象经过点(0，4)，且与两坐标轴所围成的三角形的面积为8，则$k=$
$\pm1$
，$b=$$4$
.答案
12.$\pm1$ $4$ [解析]
∵一次函数 $y=kx+b$ 的图象经过点$(0,4)$,$\therefore b=4$.
令 $y=0$,则 $0=kx+4$,解得 $x=-\dfrac{4}{k}$.
∴一次函数 $y=kx+b$ 的图象与 $x$ 轴交于点 $(-\dfrac{4}{k},0)$.
∵该函数的图象与两坐标轴所围成的三角形的面积为 8，
∴$\dfrac{1}{2}×4×\left|-\dfrac{4}{k}\right|=8$,解得 $k=\pm1$.
∵一次函数 $y=kx+b$ 的图象经过点$(0,4)$,$\therefore b=4$.
令 $y=0$,则 $0=kx+4$,解得 $x=-\dfrac{4}{k}$.
∴一次函数 $y=kx+b$ 的图象与 $x$ 轴交于点 $(-\dfrac{4}{k},0)$.
∵该函数的图象与两坐标轴所围成的三角形的面积为 8，
∴$\dfrac{1}{2}×4×\left|-\dfrac{4}{k}\right|=8$,解得 $k=\pm1$.
解析
【分析】
首先，一次函数$y=kx+b$与y轴的交点为$(0,b)$，已知图象过点$(0,4)$，可直接求出$b$的值。接下来要计算函数与两坐标轴围成的三角形面积，需要先找到函数与x轴的交点坐标：令$y=0$，解出x的值即为x轴交点的横坐标。由于围成的三角形的两条直角边长度分别是y轴交点纵坐标的绝对值、x轴交点横坐标的绝对值，结合已知面积列方程即可，注意x的取值和k的符号有关，因此计算时要加绝对值，避免漏解。
【解析】
解：
∵一次函数$y=kx+b$的图象经过点$(0,4)$，
∴将$x=0,y=4$代入解析式，得$b=4$。
令$y=0$，则$0=kx+4$，解得$x=-\dfrac{4}{k}$，
∴一次函数图象与x轴的交点坐标为$(-\dfrac{4}{k},0)$。
∵函数图象与两坐标轴围成的三角形面积为8，
三角形两条直角边的长分别为$|4|=4$、$\left|-\dfrac{4}{k}\right|$，
∴$\dfrac{1}{2} × 4 × \left|-\dfrac{4}{k}\right|=8$，
化简得$\left|\dfrac{4}{k}\right|=4$，即$|k|=1$，
解得$k=\pm1$。
【答案】
$\pm1$；$4$
【知识点】
一次函数的图象性质，一次函数与坐标轴交点，三角形面积计算
【点评】
本题重点考查一次函数与坐标轴交点的求解，易错点是计算x轴交点横坐标时忽略绝对值，导致遗漏$k=-1$的解，解题时要注意结合坐标的几何意义考虑多解情况。
【难度系数】
0.7
首先，一次函数$y=kx+b$与y轴的交点为$(0,b)$，已知图象过点$(0,4)$，可直接求出$b$的值。接下来要计算函数与两坐标轴围成的三角形面积，需要先找到函数与x轴的交点坐标：令$y=0$，解出x的值即为x轴交点的横坐标。由于围成的三角形的两条直角边长度分别是y轴交点纵坐标的绝对值、x轴交点横坐标的绝对值，结合已知面积列方程即可，注意x的取值和k的符号有关，因此计算时要加绝对值，避免漏解。
【解析】
解：
∵一次函数$y=kx+b$的图象经过点$(0,4)$，
∴将$x=0,y=4$代入解析式，得$b=4$。
令$y=0$，则$0=kx+4$，解得$x=-\dfrac{4}{k}$，
∴一次函数图象与x轴的交点坐标为$(-\dfrac{4}{k},0)$。
∵函数图象与两坐标轴围成的三角形面积为8，
三角形两条直角边的长分别为$|4|=4$、$\left|-\dfrac{4}{k}\right|$，
∴$\dfrac{1}{2} × 4 × \left|-\dfrac{4}{k}\right|=8$，
化简得$\left|\dfrac{4}{k}\right|=4$，即$|k|=1$，
解得$k=\pm1$。
【答案】
$\pm1$；$4$
【知识点】
一次函数的图象性质，一次函数与坐标轴交点，三角形面积计算
【点评】
本题重点考查一次函数与坐标轴交点的求解，易错点是计算x轴交点横坐标时忽略绝对值，导致遗漏$k=-1$的解，解题时要注意结合坐标的几何意义考虑多解情况。
【难度系数】
0.7
三、解答题
13. 如图，在平面直角坐标系中，已知$A(0,1)$，$B(2,0)$，$C(4,3)$。
（1）在平面直角坐标系中画出$△ ABC$，则$△ ABC$的面积是________；
（2）若点$D$与点$C$关于$y$轴对称，则点$D$的坐标为________；
（3）已知$P$为$x$轴上一点，若$△ ABP$的面积为1，求点$P$的坐标。
13. 如图，在平面直角坐标系中，已知$A(0,1)$，$B(2,0)$，$C(4,3)$。
（1）在平面直角坐标系中画出$△ ABC$，则$△ ABC$的面积是________；
（2）若点$D$与点$C$关于$y$轴对称，则点$D$的坐标为________；
（3）已知$P$为$x$轴上一点，若$△ ABP$的面积为1，求点$P$的坐标。
答案
13.(1)4 [解析]在平面直角坐标系中画出$△ ABC$,如图
所示.$△ ABC$ 的面积$=3×4-\dfrac{1}{2}×1×2-\dfrac{1}{2}×2×4-\dfrac{1}{2}×2×3=4$.(2)$(-4,3)$ [解析]点 $D$ 与点 $C$ 关于 $y$ 对称,则点 $D$ 的坐标为$(-4,3)$.
(3)$\because P$ 为 $x$ 轴上一点,$△ ABP$ 的面积为 1,
$\therefore BP=2$,$\therefore$ 点 $P$ 的横坐标为 $2+2=4$ 或 $2-2=0$.
故点 $P$ 坐标为$(4,0)$或$(0,0)$.
解析
【分析】
（1）求解△ABC的面积时，因为三角形三边均不与坐标轴平行，没有直接可用的底和高，所以采用割补法：先用矩形将△ABC完全包围，用矩形面积减去周围三个直角三角形的面积，即可得到△ABC的面积。（2）关于y轴对称的点的坐标规律为纵坐标不变，横坐标互为相反数，直接套用该规律就能得到点D的坐标。（3）点P在x轴上，因此△ABP的边BP在x轴上，BP边上的高就是点A到x轴的距离（即点A纵坐标的绝对值），结合已知面积先求出BP的长度，再分点P在点B左侧、右侧两种情况计算P的坐标，避免漏解。
【解析】
（1）在平面直角坐标系中画出△ABC如图所示。用长为4、宽为3的矩形包围△ABC，矩形面积为$3×4=12$；周围三个直角三角形的面积分别为$\dfrac{1}{2}×1×2=1$、$\dfrac{1}{2}×2×4=4$、$\dfrac{1}{2}×2×3=3$，因此$△ ABC$的面积$=12-1-4-3=4$。
（2）关于y轴对称的点纵坐标相等，横坐标互为相反数，已知$C(4,3)$，因此点D的坐标为$(-4,3)$。
（3）
∵P为x轴上一点，$△ ABP$的边BP在x轴上，BP边上的高为点A到x轴的距离，即高$h=1$。
根据三角形面积公式可得：$\dfrac{1}{2}×BP×h=1$，代入$h=1$，解得$BP=2$。
已知点B坐标为$(2,0)$，当点P在点B左侧时，P的横坐标为$2-2=0$，即$P(0,0)$；当点P在点B右侧时，P的横坐标为$2+2=4$，即$P(4,0)$。
【答案】
(1)4
(2)$(-4,3)$
(3)$(0,0)$或$(4,0)$
【知识点】
割补法求图形面积，关于y轴对称的点的坐标特征，坐标系中三角形面积计算
【点评】
本题是平面直角坐标系与几何计算的综合题，重点考查坐标变换规律和图形面积的计算方法，第三问需要注意分类讨论点P的位置，避免漏解，属于基础常考题型。
【难度系数】
0.7
（1）求解△ABC的面积时，因为三角形三边均不与坐标轴平行，没有直接可用的底和高，所以采用割补法：先用矩形将△ABC完全包围，用矩形面积减去周围三个直角三角形的面积，即可得到△ABC的面积。（2）关于y轴对称的点的坐标规律为纵坐标不变，横坐标互为相反数，直接套用该规律就能得到点D的坐标。（3）点P在x轴上，因此△ABP的边BP在x轴上，BP边上的高就是点A到x轴的距离（即点A纵坐标的绝对值），结合已知面积先求出BP的长度，再分点P在点B左侧、右侧两种情况计算P的坐标，避免漏解。
【解析】
（1）在平面直角坐标系中画出△ABC如图
所示。用长为4、宽为3的矩形包围△ABC，矩形面积为$3×4=12$；周围三个直角三角形的面积分别为$\dfrac{1}{2}×1×2=1$、$\dfrac{1}{2}×2×4=4$、$\dfrac{1}{2}×2×3=3$，因此$△ ABC$的面积$=12-1-4-3=4$。（2）关于y轴对称的点纵坐标相等，横坐标互为相反数，已知$C(4,3)$，因此点D的坐标为$(-4,3)$。
（3）
∵P为x轴上一点，$△ ABP$的边BP在x轴上，BP边上的高为点A到x轴的距离，即高$h=1$。
根据三角形面积公式可得：$\dfrac{1}{2}×BP×h=1$，代入$h=1$，解得$BP=2$。
已知点B坐标为$(2,0)$，当点P在点B左侧时，P的横坐标为$2-2=0$，即$P(0,0)$；当点P在点B右侧时，P的横坐标为$2+2=4$，即$P(4,0)$。
【答案】
(1)4
(2)$(-4,3)$
(3)$(0,0)$或$(4,0)$
【知识点】
割补法求图形面积，关于y轴对称的点的坐标特征，坐标系中三角形面积计算
【点评】
本题是平面直角坐标系与几何计算的综合题，重点考查坐标变换规律和图形面积的计算方法，第三问需要注意分类讨论点P的位置，避免漏解，属于基础常考题型。
【难度系数】
0.7
14. 已知 A,B 两地相距 240 km,一辆货车从 A 地前往 B 地,途中因装载货物停留一段时间.一辆轿车沿同一条公路从 B 地前往 A 地,到达 A 地后(在 A 地停留时间不计)立即原路原速返回.如图是两车距 B 地的距离 y(km)与货车行驶时间 x(h)之间的函数图象,结合图象回答下列问题:
(1)图中 m 的值是
(2)求货车从 A 地前往 B 地的过程中,货车距 B 地的距离 y(km)与行驶时间 x(h)之间的函数关系式.
(3)直接写出轿车从 B 地到 A 地行驶过程中,轿车出发多长时间与货车相距 12 km?
(1)图中 m 的值是
5
;轿车的速度是 120
km/h.(2)求货车从 A 地前往 B 地的过程中,货车距 B 地的距离 y(km)与行驶时间 x(h)之间的函数关系式.
(3)直接写出轿车从 B 地到 A 地行驶过程中,轿车出发多长时间与货车相距 12 km?
答案
14.(1)5 120 [解析]由图象得 $m=1+(3-1)×2=5$,
轿车的速度为 $240÷2=120(\mathrm{km/h})$.
(2)设 $y_{MN}=k_1x+b_1(k_1≠0)(0≤ x＜2.5)$,
∵图象经过点 $M(0,240)$ 和点 $N(2.5,75)$,
∴$\begin{cases} b_1=240, \\ 2.5k_1+b_1=75, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} k_1=-66, \\ b_1=240. \end{cases}$
∴$y_{MN}=-66x+240(0≤ x＜2.5)$.
$y_{NG}=75(2.5≤ x＜3.5)$;
设 $y_{GH}=k_2x+b_2(k_2≠0)(3.5≤ x≤5)$,
∵图象经过点 $G(3.5,75)$ 和点 $H(5,0)$,
∴$\begin{cases} 5k_2+b_2=0, \\ 3.5k_2+b_2=75, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} k_2=-50, \\ b_2=250. \end{cases}$
∴$y_{GH}=-50x+250$.
∴$y=\begin{cases} -66x+240(0≤ x＜2.5), \\ 75(2.5≤ x＜3.5), \\ -50x+250(3.5≤ x≤5). \end{cases}$
(3)货车从 A 地前往 B 地的速度为 $(240-75)÷2.5=66(\mathrm{km/h})$.
设轿车出发 $a$ h 与货车相距 12 km,
根据题意,得 $66(1+a)+120a=240+12$ 或 $66(1+a)+120a=240-12$,
解得 $a=1$ 或 $a=\dfrac{27}{31}$.经检验,符合题意.
故轿车从 B 地到 A 地行驶过程中,轿车出发 1 h 或 $\dfrac{27}{31}$ h 与货车相距 12 km.
轿车的速度为 $240÷2=120(\mathrm{km/h})$.
(2)设 $y_{MN}=k_1x+b_1(k_1≠0)(0≤ x＜2.5)$,
∵图象经过点 $M(0,240)$ 和点 $N(2.5,75)$,
∴$\begin{cases} b_1=240, \\ 2.5k_1+b_1=75, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} k_1=-66, \\ b_1=240. \end{cases}$
∴$y_{MN}=-66x+240(0≤ x＜2.5)$.
$y_{NG}=75(2.5≤ x＜3.5)$;
设 $y_{GH}=k_2x+b_2(k_2≠0)(3.5≤ x≤5)$,
∵图象经过点 $G(3.5,75)$ 和点 $H(5,0)$,
∴$\begin{cases} 5k_2+b_2=0, \\ 3.5k_2+b_2=75, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} k_2=-50, \\ b_2=250. \end{cases}$
∴$y_{GH}=-50x+250$.
∴$y=\begin{cases} -66x+240(0≤ x＜2.5), \\ 75(2.5≤ x＜3.5), \\ -50x+250(3.5≤ x≤5). \end{cases}$
(3)货车从 A 地前往 B 地的速度为 $(240-75)÷2.5=66(\mathrm{km/h})$.
设轿车出发 $a$ h 与货车相距 12 km,
根据题意,得 $66(1+a)+120a=240+12$ 或 $66(1+a)+120a=240-12$,
解得 $a=1$ 或 $a=\dfrac{27}{31}$.经检验,符合题意.
故轿车从 B 地到 A 地行驶过程中,轿车出发 1 h 或 $\dfrac{27}{31}$ h 与货车相距 12 km.
解析
【分析】
(1) 先分析轿车的运动规律：轿车在x=1h时从B地出发，x=3h时到达A地，行驶总路程240km，用时2h，即可计算轿车速度；轿车原路原速返回，返回用时与去程相同，因此回到B地的时间为3+2=5，即m=5。
(2) 货车距B地的距离y与行驶时间x的函数为分段函数，共三段：①0≤x＜2.5h，货车从A地匀速行驶，图象过点(0,240)和(2.5,75)，用待定系数法求解析式；②2.5≤x＜3.5h，货车途中停留，距B地距离不变，y=75；③3.5≤x≤5h，货车再次匀速行驶至B地，图象过点(3.5,75)和(5,0)，用待定系数法求解析式，最后整理为分段函数形式。
(3) 轿车从B到A行驶过程中，两车相距12km分两种情况：相遇前两车路程和比总路程少12km，相遇后两车路程和比总路程多12km。设轿车出发a h，此时货车已行驶(a+1)h，根据路程关系列方程求解即可。
【解析】
(1) 由图象可知，轿车从B地到A地用时3-1=2(h)，因此轿车速度为$240÷2=120(\mathrm{km/h})$；轿车原路原速返回，返回也用时2h，回到B地的时间为3+2=5，即$m=5$。
(2) 分三段求函数关系式：
①当$0≤ x＜2.5$时，设解析式为$y=k_1x+b_1$，将$M(0,240)$、$N(2.5,75)$代入得：
$\begin{cases} b_1=240 \\ 2.5k_1+b_1=75 \end{cases}$，解得$\begin{cases} k_1=-66 \\ b_1=240 \end{cases}$，即$y=-66x+240$；
②当$2.5≤ x＜3.5$时，货车停留，距B地距离不变，即$y=75$；
③当$3.5≤ x≤5$时，设解析式为$y=k_2x+b_2$，将$G(3.5,75)$、$H(5,0)$代入得：
$\begin{cases} 5k_2+b_2=0 \\ 3.5k_2+b_2=75 \end{cases}$，解得$\begin{cases} k_2=-50 \\ b_2=250 \end{cases}$，即$y=-50x+250$。
综上，函数关系式为$y=\begin{cases} -66x+240(0≤ x＜2.5) \\ 75(2.5≤ x＜3.5) \\ -50x+250(3.5≤ x≤5) \end{cases}$。
(3) 货车行驶速度为$(240-75)÷2.5=66(\mathrm{km/h})$，设轿车出发$a$ h时与货车相距12km，此时货车已行驶$(a+1)$h：
①相遇前相距12km：$66(a+1)+120a=240-12$，解得$a=\frac{27}{31}$；
②相遇后相距12km：$66(a+1)+120a=240+12$，解得$a=1$。
两个解均在轿车从B到A的行驶时间范围内，符合题意。
【答案】
(1) $\boldsymbol{5}$，$\boldsymbol{120}$
(2) $\boldsymbol{y=\begin{cases} -66x+240(0≤ x＜2.5) \\ 75(2.5≤ x＜3.5) \\ -50x+250(3.5≤ x≤5) \end{cases}}$
(3) $\boldsymbol{\frac{27}{31}\ \mathrm{h}}$或$\boldsymbol{1\ \mathrm{h}}$
【知识点】
一次函数的应用，待定系数法，行程问题
【点评】
本题以行程问题为背景考查一次函数的实际应用，解题的关键是准确理解函数图象拐点、线段对应的实际意义，结合路程、速度、时间的关系求解，注意分段函数要明确自变量的取值范围，相遇类的相距问题需分情况讨论避免漏解。
【难度系数】
0.6
(1) 先分析轿车的运动规律：轿车在x=1h时从B地出发，x=3h时到达A地，行驶总路程240km，用时2h，即可计算轿车速度；轿车原路原速返回，返回用时与去程相同，因此回到B地的时间为3+2=5，即m=5。
(2) 货车距B地的距离y与行驶时间x的函数为分段函数，共三段：①0≤x＜2.5h，货车从A地匀速行驶，图象过点(0,240)和(2.5,75)，用待定系数法求解析式；②2.5≤x＜3.5h，货车途中停留，距B地距离不变，y=75；③3.5≤x≤5h，货车再次匀速行驶至B地，图象过点(3.5,75)和(5,0)，用待定系数法求解析式，最后整理为分段函数形式。
(3) 轿车从B到A行驶过程中，两车相距12km分两种情况：相遇前两车路程和比总路程少12km，相遇后两车路程和比总路程多12km。设轿车出发a h，此时货车已行驶(a+1)h，根据路程关系列方程求解即可。
【解析】
(1) 由图象可知，轿车从B地到A地用时3-1=2(h)，因此轿车速度为$240÷2=120(\mathrm{km/h})$；轿车原路原速返回，返回也用时2h，回到B地的时间为3+2=5，即$m=5$。
(2) 分三段求函数关系式：
①当$0≤ x＜2.5$时，设解析式为$y=k_1x+b_1$，将$M(0,240)$、$N(2.5,75)$代入得：
$\begin{cases} b_1=240 \\ 2.5k_1+b_1=75 \end{cases}$，解得$\begin{cases} k_1=-66 \\ b_1=240 \end{cases}$，即$y=-66x+240$；
②当$2.5≤ x＜3.5$时，货车停留，距B地距离不变，即$y=75$；
③当$3.5≤ x≤5$时，设解析式为$y=k_2x+b_2$，将$G(3.5,75)$、$H(5,0)$代入得：
$\begin{cases} 5k_2+b_2=0 \\ 3.5k_2+b_2=75 \end{cases}$，解得$\begin{cases} k_2=-50 \\ b_2=250 \end{cases}$，即$y=-50x+250$。
综上，函数关系式为$y=\begin{cases} -66x+240(0≤ x＜2.5) \\ 75(2.5≤ x＜3.5) \\ -50x+250(3.5≤ x≤5) \end{cases}$。
(3) 货车行驶速度为$(240-75)÷2.5=66(\mathrm{km/h})$，设轿车出发$a$ h时与货车相距12km，此时货车已行驶$(a+1)$h：
①相遇前相距12km：$66(a+1)+120a=240-12$，解得$a=\frac{27}{31}$；
②相遇后相距12km：$66(a+1)+120a=240+12$，解得$a=1$。
两个解均在轿车从B到A的行驶时间范围内，符合题意。
【答案】
(1) $\boldsymbol{5}$，$\boldsymbol{120}$
(2) $\boldsymbol{y=\begin{cases} -66x+240(0≤ x＜2.5) \\ 75(2.5≤ x＜3.5) \\ -50x+250(3.5≤ x≤5) \end{cases}}$
(3) $\boldsymbol{\frac{27}{31}\ \mathrm{h}}$或$\boldsymbol{1\ \mathrm{h}}$
【知识点】
一次函数的应用，待定系数法，行程问题
【点评】
本题以行程问题为背景考查一次函数的实际应用，解题的关键是准确理解函数图象拐点、线段对应的实际意义，结合路程、速度、时间的关系求解，注意分段函数要明确自变量的取值范围，相遇类的相距问题需分情况讨论避免漏解。
【难度系数】
0.6
