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【典例】课堂上,老师出了一道计算题:$50÷(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{12})$,并给出了两种解法.
解法1:
原式$=50÷\frac{1}{3}-50÷\frac{1}{4}+50÷\frac{1}{12}=50×3-50×4+50×12=550.$
解法2:(先计算原式的倒数)
$(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{12})÷50=\frac{1}{3}×\frac{1}{50}-\frac{1}{4}×\frac{1}{50}+\frac{1}{12}×\frac{1}{50}=$
$\frac{1}{300}$,故原式等于300.
(1)两种解法中,正确的是
(2)请你运用上述正确的解法计算:$(-\frac{1}{30})÷(\frac{2}{3}-\frac{1}{10}+\frac{1}{6}-\frac{2}{5}).$
[答案]解:(1)解法2 除法没有分配律
(2)$(\frac{2}{3}-\frac{1}{10}+\frac{1}{6}-\frac{2}{5})÷(-\frac{1}{30})=\frac{2}{3}×(-30)-\frac{1}{10}×(-30)+\frac{1}{6}×(-30)-\frac{2}{5}×(-30)=-20-(-3)+(-5)-(-12)=-20+3-5+12=-10$,故原式等于$-\frac{1}{10}.$
解法1:
原式$=50÷\frac{1}{3}-50÷\frac{1}{4}+50÷\frac{1}{12}=50×3-50×4+50×12=550.$
解法2:(先计算原式的倒数)
$(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{12})÷50=\frac{1}{3}×\frac{1}{50}-\frac{1}{4}×\frac{1}{50}+\frac{1}{12}×\frac{1}{50}=$
$\frac{1}{300}$,故原式等于300.(1)两种解法中,正确的是
解法2
,错误解法的错因是除法没有分配律
;(2)请你运用上述正确的解法计算:$(-\frac{1}{30})÷(\frac{2}{3}-\frac{1}{10}+\frac{1}{6}-\frac{2}{5}).$
[答案]解:(1)解法2 除法没有分配律
(2)$(\frac{2}{3}-\frac{1}{10}+\frac{1}{6}-\frac{2}{5})÷(-\frac{1}{30})=\frac{2}{3}×(-30)-\frac{1}{10}×(-30)+\frac{1}{6}×(-30)-\frac{2}{5}×(-30)=-20-(-3)+(-5)-(-12)=-20+3-5+12=-10$,故原式等于$-\frac{1}{10}.$
答案
解:(1)解法2 除法没有分配律
(2)$(\frac{2}{3}-\frac{1}{10}+\frac{1}{6}-\frac{2}{5})÷(-\frac{1}{30})=\frac{2}{3}×(-30)-\frac{1}{10}×(-30)+\frac{1}{6}×(-30)-\frac{2}{5}×(-30)=-20-(-3)+(-5)-(-12)=-20+3-5+12=-10$,故原式等于$-\frac{1}{10}.$
(2)$(\frac{2}{3}-\frac{1}{10}+\frac{1}{6}-\frac{2}{5})÷(-\frac{1}{30})=\frac{2}{3}×(-30)-\frac{1}{10}×(-30)+\frac{1}{6}×(-30)-\frac{2}{5}×(-30)=-20-(-3)+(-5)-(-12)=-20+3-5+12=-10$,故原式等于$-\frac{1}{10}.$
解析
【分析】
(1) 判断解法正误时，先明确运算律的适用范围：乘法有分配律，但除法不存在分配律，不能把被除数拆分后分别除以除数括号内的每一项，因此解法1错误；解法2先求原式的倒数，将除法转化为乘法后就可以使用乘法分配律计算，得到倒数结果后再取倒数就能得到原式的正确结果，因此解法2正确。
(2) 计算第二问时沿用解法2的思路：先求原式的倒数，交换被除数和除数的位置，将算式转化为乘法形式，再用乘法分配律简便计算，最后对计算结果取倒数即可得到原式的答案。
【解析】
(1) 除法没有分配律，解法1错误地将乘法分配律套用到除法运算中，把$50÷(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{12})$拆分为$50÷\frac{1}{3}-50÷\frac{1}{4}+50÷\frac{1}{12}$计算，因此解法1错误，解法2正确。
(2) 先计算原式的倒数：
$\begin{aligned}(\frac{2}{3}-\frac{1}{10}+\frac{1}{6}-\frac{2}{5})÷(-\frac{1}{30})&=\frac{2}{3}×(-30)-\frac{1}{10}×(-30)+\frac{1}{6}×(-30)-\frac{2}{5}×(-30)\\&=-20+3-5+12\\&=-10\end{aligned}$
上述结果是原式的倒数，因此原式等于$-10$的倒数。
【答案】
(1) 解法2；除法没有分配律
(2) $-\frac{1}{10}$
【知识点】
有理数除法运算，乘法分配律，倒数的应用
【点评】
本题易错点是误将乘法分配律套用在除法运算中，当除数是几个数的和差形式时，可通过计算原式倒数的方法，将除法转化为乘法，再利用乘法分配律简化运算，提升计算的效率和准确率。
【难度系数】
0.6
(1) 判断解法正误时，先明确运算律的适用范围：乘法有分配律，但除法不存在分配律，不能把被除数拆分后分别除以除数括号内的每一项，因此解法1错误；解法2先求原式的倒数，将除法转化为乘法后就可以使用乘法分配律计算，得到倒数结果后再取倒数就能得到原式的正确结果，因此解法2正确。
(2) 计算第二问时沿用解法2的思路：先求原式的倒数，交换被除数和除数的位置，将算式转化为乘法形式，再用乘法分配律简便计算，最后对计算结果取倒数即可得到原式的答案。
【解析】
(1) 除法没有分配律，解法1错误地将乘法分配律套用到除法运算中，把$50÷(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{12})$拆分为$50÷\frac{1}{3}-50÷\frac{1}{4}+50÷\frac{1}{12}$计算，因此解法1错误，解法2正确。
(2) 先计算原式的倒数：
$\begin{aligned}(\frac{2}{3}-\frac{1}{10}+\frac{1}{6}-\frac{2}{5})÷(-\frac{1}{30})&=\frac{2}{3}×(-30)-\frac{1}{10}×(-30)+\frac{1}{6}×(-30)-\frac{2}{5}×(-30)\\&=-20+3-5+12\\&=-10\end{aligned}$
上述结果是原式的倒数，因此原式等于$-10$的倒数。
【答案】
(1) 解法2；除法没有分配律
(2) $-\frac{1}{10}$
【知识点】
有理数除法运算，乘法分配律，倒数的应用
【点评】
本题易错点是误将乘法分配律套用在除法运算中，当除数是几个数的和差形式时，可通过计算原式倒数的方法，将除法转化为乘法，再利用乘法分配律简化运算，提升计算的效率和准确率。
【难度系数】
0.6
【变式】计算：$(1\dfrac{3}{4} - \dfrac{7}{8} - \dfrac{7}{12}) ÷ (-\dfrac{7}{8}) + (-\dfrac{7}{8}) ÷ (1\dfrac{3}{4} - \dfrac{7}{8} - \dfrac{7}{12}).$
答案
解:$(1\dfrac{3}{4}-\dfrac{7}{8}-\dfrac{7}{12})÷(-\dfrac{7}{8})=\dfrac{7}{4}×(-\dfrac{8}{7})-\dfrac{7}{8}×(-\dfrac{8}{7})-\dfrac{7}{12}×(-\dfrac{8}{7})=-2-(-1)-(-\dfrac{2}{3})=-2+1+\dfrac{2}{3}=-\dfrac{1}{3}$,
所以$(-\dfrac{7}{8})÷(1\dfrac{3}{4}-\dfrac{7}{8}-\dfrac{7}{12})=-3$,
所以原式$=-\dfrac{1}{3}+(-3)=-\dfrac{10}{3}.$
所以$(-\dfrac{7}{8})÷(1\dfrac{3}{4}-\dfrac{7}{8}-\dfrac{7}{12})=-3$,
所以原式$=-\dfrac{1}{3}+(-3)=-\dfrac{10}{3}.$
解析
【分析】
观察算式可发现，两个除法运算的被除数和除数恰好互换，互为倒数关系。我们可以先计算第一个除法：先把带分数化为假分数，再将除法转化为乘法，利用乘法分配律展开计算，降低运算难度。得到第一个除法的结果后，根据“互为倒数的两个非零数，互换被除数和除数得到的商是原商的倒数”，直接得出第二个除法的结果，最后将两个结果相加即可，计算过程中要注意正负号的处理。
【解析】
首先计算$(1\dfrac{3}{4}-\dfrac{7}{8}-\dfrac{7}{12})÷ (-\dfrac{7}{8})$：
先将带分数$1\dfrac{3}{4}$化为假分数$\dfrac{7}{4}$，再根据除法运算法则，除以一个数等于乘这个数的倒数，可得：
$\begin{split}&(\dfrac{7}{4}-\dfrac{7}{8}-\dfrac{7}{12})× (-\dfrac{8}{7})\\=&\dfrac{7}{4}× (-\dfrac{8}{7})-\dfrac{7}{8}× (-\dfrac{8}{7})-\dfrac{7}{12}× (-\dfrac{8}{7})\\=&-2 +1 +\dfrac{2}{3}\\=&-\dfrac{1}{3}\end{split}$
因为两个除法的被除数和除数互换，结果互为倒数，所以$(-\dfrac{7}{8})÷ (1\dfrac{3}{4}-\dfrac{7}{8}-\dfrac{7}{12})$是$-\dfrac{1}{3}$的倒数，即$-3$。
最后计算两部分的和：$-\dfrac{1}{3}+(-3)=-\dfrac{1}{3}-\dfrac{9}{3}=-\dfrac{10}{3}$
【答案】
$-\dfrac{10}{3}$
【知识点】
有理数除法运算，乘法分配律，倒数的性质
【点评】
本题考查有理数的混合运算，解题核心是观察算式的结构特征，巧用乘法分配律简化运算，再利用倒数性质减少重复计算，既提升运算效率，也能降低通分计算的错误率，计算时要格外注意正负号的变化。
【难度系数】
0.6
观察算式可发现，两个除法运算的被除数和除数恰好互换，互为倒数关系。我们可以先计算第一个除法：先把带分数化为假分数，再将除法转化为乘法，利用乘法分配律展开计算，降低运算难度。得到第一个除法的结果后，根据“互为倒数的两个非零数，互换被除数和除数得到的商是原商的倒数”，直接得出第二个除法的结果，最后将两个结果相加即可，计算过程中要注意正负号的处理。
【解析】
首先计算$(1\dfrac{3}{4}-\dfrac{7}{8}-\dfrac{7}{12})÷ (-\dfrac{7}{8})$：
先将带分数$1\dfrac{3}{4}$化为假分数$\dfrac{7}{4}$，再根据除法运算法则，除以一个数等于乘这个数的倒数，可得：
$\begin{split}&(\dfrac{7}{4}-\dfrac{7}{8}-\dfrac{7}{12})× (-\dfrac{8}{7})\\=&\dfrac{7}{4}× (-\dfrac{8}{7})-\dfrac{7}{8}× (-\dfrac{8}{7})-\dfrac{7}{12}× (-\dfrac{8}{7})\\=&-2 +1 +\dfrac{2}{3}\\=&-\dfrac{1}{3}\end{split}$
因为两个除法的被除数和除数互换，结果互为倒数，所以$(-\dfrac{7}{8})÷ (1\dfrac{3}{4}-\dfrac{7}{8}-\dfrac{7}{12})$是$-\dfrac{1}{3}$的倒数，即$-3$。
最后计算两部分的和：$-\dfrac{1}{3}+(-3)=-\dfrac{1}{3}-\dfrac{9}{3}=-\dfrac{10}{3}$
【答案】
$-\dfrac{10}{3}$
【知识点】
有理数除法运算，乘法分配律，倒数的性质
【点评】
本题考查有理数的混合运算，解题核心是观察算式的结构特征，巧用乘法分配律简化运算，再利用倒数性质减少重复计算，既提升运算效率，也能降低通分计算的错误率，计算时要格外注意正负号的变化。
【难度系数】
0.6
