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30. 一辆客车从甲地开往乙地。出发一段时间后，已行驶的路程和剩下的路程比是$1:2$，如果再行驶20 km，已行驶的路程正好是全程的$\frac{1}{2}$。甲、乙两地相距多少千米？（4分）
答案
$20÷(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})=120(km)$
答：甲、乙两地相距120 km。
答：甲、乙两地相距120 km。
解析
【分析】
首先，根据出发时已行驶路程与剩下路程的比1:2，可将全程看作3份，得出初始已行驶路程占全程的比例；再行驶20km后，已行驶路程占全程的1/2，由此可算出20km对应的分率，最后用20km除以该分率即可求出全程距离。
【解析】
1. 求初始已行驶路程占全程的比例：
已行驶路程:剩下路程=1:2，全程总份数为1+2=3，因此初始已行驶路程占全程的$\frac{1}{3}$。
2. 计算20km对应的分率：
再行驶20km后，已行驶路程占全程的$\frac{1}{2}$，所以20km对应的分率为$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{1}{6}$。
3. 计算甲、乙两地的距离：
全程距离 = $20÷(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})=20÷\frac{1}{6}=120(km)$。
【答案】
120 km
【知识点】
比的应用；分数除法应用题
【点评】
本题是比与分数结合的行程问题，核心是找到具体数量对应的分率，通过分数除法求出单位“1”（全程）的量，解题关键在于将比转化为对应分率。
【难度系数】
0.6
首先，根据出发时已行驶路程与剩下路程的比1:2，可将全程看作3份，得出初始已行驶路程占全程的比例；再行驶20km后，已行驶路程占全程的1/2，由此可算出20km对应的分率，最后用20km除以该分率即可求出全程距离。
【解析】
1. 求初始已行驶路程占全程的比例：
已行驶路程:剩下路程=1:2，全程总份数为1+2=3，因此初始已行驶路程占全程的$\frac{1}{3}$。
2. 计算20km对应的分率：
再行驶20km后，已行驶路程占全程的$\frac{1}{2}$，所以20km对应的分率为$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{1}{6}$。
3. 计算甲、乙两地的距离：
全程距离 = $20÷(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})=20÷\frac{1}{6}=120(km)$。
【答案】
120 km
【知识点】
比的应用；分数除法应用题
【点评】
本题是比与分数结合的行程问题，核心是找到具体数量对应的分率，通过分数除法求出单位“1”（全程）的量，解题关键在于将比转化为对应分率。
【难度系数】
0.6
31. 探索规律。（3 分）
仔细观察下图正方形的摆放规律，按规律把表格填写完整。
仔细观察下图正方形的摆放规律，按规律把表格填写完整。
答案
12
36
4n-4
36
4n-4
解析
【分析】首先观察正方形摆放的规律，这类图形规律题需先确定数量与对应序号的关系。假设每个图形的对应序号为n，分析大正方形四周小正方形的数量：每边有n个小正方形，四个角的小正方形被相邻两边重复计算，因此总数量可推导为4×(n-1)。再结合表格中给出的n值，代入公式计算对应数量即可。
【解析】设正方形摆放的序号为n，总小正方形数量为S。通过观察图形规律可得：S=4(n-1)=4n-4。当n=4时，代入公式得S=4×4-4=12；当n=10时，代入公式得S=4×10-4=36；通用表达式为4n-4。
【答案】12；36；4n-4
【知识点】图形规律探索，代数式的应用
【点评】本题是典型的图形规律探索题，通过观察图形数量变化推导通用公式，考查学生的归纳总结能力，属于基础题。
【难度系数】0.3
【解析】设正方形摆放的序号为n，总小正方形数量为S。通过观察图形规律可得：S=4(n-1)=4n-4。当n=4时，代入公式得S=4×4-4=12；当n=10时，代入公式得S=4×10-4=36；通用表达式为4n-4。
【答案】12；36；4n-4
【知识点】图形规律探索，代数式的应用
【点评】本题是典型的图形规律探索题，通过观察图形数量变化推导通用公式，考查学生的归纳总结能力，属于基础题。
【难度系数】0.3
32. 超轻粘土是一款儿童喜欢的玩具，具有柔软、易于塑形的特点。如下图，淘气用超轻粘土制作了一个实心“蒙古包”，“蒙古包”上面是圆锥，下面是圆柱。
(1)如图①，制作该实心“蒙古包”用了多少立方厘米的超轻粘土？（3分）
(2)如图②，用同一块粘土，重新调整“蒙古包”的形状，底面积不变，且圆锥和圆柱的高相等，圆锥的高是多少厘米？（2分）
(1)如图①，制作该实心“蒙古包”用了多少立方厘米的超轻粘土？（3分）
(2)如图②，用同一块粘土，重新调整“蒙古包”的形状，底面积不变，且圆锥和圆柱的高相等，圆锥的高是多少厘米？（2分）
答案
$3.14×5×5×7+3.14×5×5×3×\frac{1}{3}=628(\mathrm{cm}^3)$
答：制作该实心“蒙古包”用了$628\ \mathrm{cm}^3$的超轻粘土。
$628÷4=157(\mathrm{cm}^3)$
$ 157×3÷(3.14×5×5)=6(\mathrm{cm})$
答：圆锥的高是6 cm。
答：制作该实心“蒙古包”用了$628\ \mathrm{cm}^3$的超轻粘土。
$628÷4=157(\mathrm{cm}^3)$
$ 157×3÷(3.14×5×5)=6(\mathrm{cm})$
答：圆锥的高是6 cm。
解析
【分析】
第(1)问：该“蒙古包”是圆柱和圆锥组成的实心组合体，求粘土体积即计算圆柱体积与圆锥体积之和，需分别用圆柱体积公式$V_{柱}=π r^2 h$、圆锥体积公式$V_{锥}=\frac{1}{3}π r^2 h$计算后相加。
第(2)问：粘土总体积、底面积均不变，且圆锥与圆柱高相等，利用“等底等高时圆锥体积是圆柱体积的$\frac{1}{3}$”的关系，结合总体积不变的条件，变形公式求解圆锥的高。
【解析】
(1) 圆柱体积：
$V_{柱}=3.14×5^2×7=3.14×25×7=549.5\ (\mathrm{cm}^3)$
圆锥体积：
$V_{锥}=\frac{1}{3}×3.14×5^2×3=\frac{1}{3}×3.14×25×3=78.5\ (\mathrm{cm}^3)$
总体积：$V=549.5+78.5=628\ (\mathrm{cm}^3)$
(2) 底面积：$S=3.14×5^2=78.5\ (\mathrm{cm}^2)$
设圆锥和圆柱的高均为$h$，两者体积和为$Sh+\frac{1}{3}Sh=\frac{4}{3}Sh$，结合总体积得：
$\frac{4}{3}×78.5×h=628$
解得：$h=628×3÷(4×78.5)=6\ (\mathrm{cm})$
【答案】
(1) $628\ \mathrm{cm}^3$；(2) $6\ \mathrm{cm}$
【知识点】圆柱体积计算、圆锥体积计算、组合体体积应用
【点评】本题结合实际场景考查圆柱与圆锥体积公式的运用，第一问是基础的组合体体积求和，第二问需利用体积不变的性质，结合两者体积关系灵活变形公式，是对公式的综合应用，难度适中。
【难度系数】0.5
第(1)问：该“蒙古包”是圆柱和圆锥组成的实心组合体，求粘土体积即计算圆柱体积与圆锥体积之和，需分别用圆柱体积公式$V_{柱}=π r^2 h$、圆锥体积公式$V_{锥}=\frac{1}{3}π r^2 h$计算后相加。
第(2)问：粘土总体积、底面积均不变，且圆锥与圆柱高相等，利用“等底等高时圆锥体积是圆柱体积的$\frac{1}{3}$”的关系，结合总体积不变的条件，变形公式求解圆锥的高。
【解析】
(1) 圆柱体积：
$V_{柱}=3.14×5^2×7=3.14×25×7=549.5\ (\mathrm{cm}^3)$
圆锥体积：
$V_{锥}=\frac{1}{3}×3.14×5^2×3=\frac{1}{3}×3.14×25×3=78.5\ (\mathrm{cm}^3)$
总体积：$V=549.5+78.5=628\ (\mathrm{cm}^3)$
(2) 底面积：$S=3.14×5^2=78.5\ (\mathrm{cm}^2)$
设圆锥和圆柱的高均为$h$，两者体积和为$Sh+\frac{1}{3}Sh=\frac{4}{3}Sh$，结合总体积得：
$\frac{4}{3}×78.5×h=628$
解得：$h=628×3÷(4×78.5)=6\ (\mathrm{cm})$
【答案】
(1) $628\ \mathrm{cm}^3$；(2) $6\ \mathrm{cm}$
【知识点】圆柱体积计算、圆锥体积计算、组合体体积应用
【点评】本题结合实际场景考查圆柱与圆锥体积公式的运用，第一问是基础的组合体体积求和，第二问需利用体积不变的性质，结合两者体积关系灵活变形公式，是对公式的综合应用，难度适中。
【难度系数】0.5
