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1. 计算:
(1)$\frac{\sqrt{20} - \sqrt{10}}{\sqrt{5}}$；
(2)$(5\sqrt{48} - 6\sqrt{27} + 4\sqrt{15}) ÷ \sqrt{3}$；
(3)$(\frac{1}{3})^{-1} + |\sqrt{8} - 3| - (\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} - 1)$；
(4)$(-1)^{2026} + \sqrt{(-3)^2} - \sqrt{\frac{1}{3}} × \sqrt{27} + (2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3})$。
(1)$\frac{\sqrt{20} - \sqrt{10}}{\sqrt{5}}$；
(2)$(5\sqrt{48} - 6\sqrt{27} + 4\sqrt{15}) ÷ \sqrt{3}$；
(3)$(\frac{1}{3})^{-1} + |\sqrt{8} - 3| - (\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} - 1)$；
(4)$(-1)^{2026} + \sqrt{(-3)^2} - \sqrt{\frac{1}{3}} × \sqrt{27} + (2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3})$。
答案
1. (1)原式=2−√2；(2)原式=2+4√5；(3)原式=5−2√2；(4)原式=2。
解析
【分析】
这组题属于二次根式的混合运算类题目，解题思路可按以下步骤展开：1. 对于二次根式的除法运算，可类比多项式除以单项式的规则，将被除数的每一项分别除以除数，再结合二次根式的除法性质化简；2. 涉及负指数幂、绝对值、乘方、平方差结构的运算，先根据对应规则单独化简每一部分，再按照先乘除后加减的顺序合并计算；3. 遇到$(a+b)(a-b)$的结构优先用平方差公式计算，避免展开出错。
【解析】
(1) 利用二次根式除法的分配律拆分计算：
原式$=\frac{\sqrt{20}}{\sqrt{5}}-\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{5}}=\sqrt{\frac{20}{5}}-\sqrt{\frac{10}{5}}=\sqrt{4}-\sqrt{2}=2-\sqrt{2}$
(2) 类比多项式除以单项式，每一项分别除以$\sqrt{3}$后化简：
原式$=5\sqrt{48}÷\sqrt{3}-6\sqrt{27}÷\sqrt{3}+4\sqrt{15}÷\sqrt{3}$
$=5\sqrt{\frac{48}{3}}-6\sqrt{\frac{27}{3}}+4\sqrt{\frac{15}{3}}$
$=5\sqrt{16}-6\sqrt{9}+4\sqrt{5}$
$=5×4 - 6×3 + 4\sqrt{5}=20-18+4\sqrt{5}=2+4\sqrt{5}$
(3) 先分别化简各部分，再合并：
① 负指数幂：$(\frac{1}{3})^{-1}=3$；
② 绝对值：$\sqrt{8}=2\sqrt{2}＜3$，故$|\sqrt{8}-3|=3-2\sqrt{2}$；
③ 平方差公式：$(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)=(\sqrt{2})^2-1^2=2-1=1$；
代入原式得：$3 + (3-2\sqrt{2}) -1 = 5-2\sqrt{2}$
(4) 先分别化简各部分，再合并：
① 乘方：$(-1)^{2026}=1$；
② 算术平方根：$\sqrt{(-3)^2}=3$；
③ 二次根式乘法：$\sqrt{\frac{1}{3}}×\sqrt{27}=\sqrt{\frac{1}{3}×27}=\sqrt{9}=3$；
④ 平方差公式：$(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})=2^2-(\sqrt{3})^2=4-3=1$；
代入原式得：$1 + 3 - 3 +1=2$
【答案】
(1)$2-\sqrt{2}$；(2)$2+4\sqrt{5}$；(3)$5-2\sqrt{2}$；(4)$2$
【知识点】
二次根式混合运算，平方差公式，负整数指数幂
【点评】
本组题是二次根式运算的常规基础题，重点考察运算规则的熟练度，计算时优先拆分化简各模块、合理运用公式能有效提升正确率和计算速度。
【难度系数】
0.7
这组题属于二次根式的混合运算类题目，解题思路可按以下步骤展开：1. 对于二次根式的除法运算，可类比多项式除以单项式的规则，将被除数的每一项分别除以除数，再结合二次根式的除法性质化简；2. 涉及负指数幂、绝对值、乘方、平方差结构的运算，先根据对应规则单独化简每一部分，再按照先乘除后加减的顺序合并计算；3. 遇到$(a+b)(a-b)$的结构优先用平方差公式计算，避免展开出错。
【解析】
(1) 利用二次根式除法的分配律拆分计算：
原式$=\frac{\sqrt{20}}{\sqrt{5}}-\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{5}}=\sqrt{\frac{20}{5}}-\sqrt{\frac{10}{5}}=\sqrt{4}-\sqrt{2}=2-\sqrt{2}$
(2) 类比多项式除以单项式，每一项分别除以$\sqrt{3}$后化简：
原式$=5\sqrt{48}÷\sqrt{3}-6\sqrt{27}÷\sqrt{3}+4\sqrt{15}÷\sqrt{3}$
$=5\sqrt{\frac{48}{3}}-6\sqrt{\frac{27}{3}}+4\sqrt{\frac{15}{3}}$
$=5\sqrt{16}-6\sqrt{9}+4\sqrt{5}$
$=5×4 - 6×3 + 4\sqrt{5}=20-18+4\sqrt{5}=2+4\sqrt{5}$
(3) 先分别化简各部分，再合并：
① 负指数幂：$(\frac{1}{3})^{-1}=3$；
② 绝对值：$\sqrt{8}=2\sqrt{2}＜3$，故$|\sqrt{8}-3|=3-2\sqrt{2}$；
③ 平方差公式：$(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)=(\sqrt{2})^2-1^2=2-1=1$；
代入原式得：$3 + (3-2\sqrt{2}) -1 = 5-2\sqrt{2}$
(4) 先分别化简各部分，再合并：
① 乘方：$(-1)^{2026}=1$；
② 算术平方根：$\sqrt{(-3)^2}=3$；
③ 二次根式乘法：$\sqrt{\frac{1}{3}}×\sqrt{27}=\sqrt{\frac{1}{3}×27}=\sqrt{9}=3$；
④ 平方差公式：$(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})=2^2-(\sqrt{3})^2=4-3=1$；
代入原式得：$1 + 3 - 3 +1=2$
【答案】
(1)$2-\sqrt{2}$；(2)$2+4\sqrt{5}$；(3)$5-2\sqrt{2}$；(4)$2$
【知识点】
二次根式混合运算，平方差公式，负整数指数幂
【点评】
本组题是二次根式运算的常规基础题，重点考察运算规则的熟练度，计算时优先拆分化简各模块、合理运用公式能有效提升正确率和计算速度。
【难度系数】
0.7
2. 已知$m=1+\sqrt{2},n=1-\sqrt{2}$，求代数式$\sqrt{m^2+n^2-3mn}$的值.
答案
∵m=1+√2,n=1−√2，
∴m+n=2,mn=(1+√2)(1−√2)=−1，
∴√(m²+n²−3mn)=√((m+n)²−5mn)=3.
一题多解
∵m=1+√2,n=1−√2，
∴m−n=2√2,mn=(1+√2)(1−√2)=−1，
∴√(m²+n²−3mn)=√((m−n)²−mn)=3.
解析
【分析】
拿到本题若直接将m、n的数值代入代数式计算，运算量大且容易出错。观察根号内的式子包含m²、n²、mn项，可联想到完全平方公式，先将m²+n²转化为与m+n（或m-n）、mn相关的形式，再先计算出m+n、mn（或m-n、mn）的数值，整体代入变形后的式子计算，可大幅简化运算过程。
【解析】
方法一：
∵$m=1+\sqrt{2},n=1-\sqrt{2}$，
∴$m+n=(1+\sqrt{2})+(1-\sqrt{2})=2$，
$mn=(1+\sqrt{2})(1-\sqrt{2})=1^2-(\sqrt{2})^2=1-2=-1$，
∴$\sqrt{m^2+n^2-3mn}=\sqrt{(m+n)^2-2mn-3mn}=\sqrt{(m+n)^2-5mn}$，
将$m+n=2$，$mn=-1$代入得：
原式$=\sqrt{2^2-5×(-1)}=\sqrt{4+5}=\sqrt{9}=3$。
方法二：
∵$m=1+\sqrt{2},n=1-\sqrt{2}$，
∴$m-n=(1+\sqrt{2})-(1-\sqrt{2})=2\sqrt{2}$，
$mn=(1+\sqrt{2})(1-\sqrt{2})=-1$，
∴$\sqrt{m^2+n^2-3mn}=\sqrt{(m-n)^2+2mn-3mn}=\sqrt{(m-n)^2-mn}$，
代入得：原式$=\sqrt{(2\sqrt{2})^2-(-1)}=\sqrt{8+1}=\sqrt{9}=3$。
【答案】
3
【知识点】
二次根式化简求值、完全平方公式、平方差公式
【点评】
本题是二次根式运算的常规题型，核心是利用整式乘法公式对所求代数式合理变形，通过整体代入的方法简化计算，避免直接代入的繁琐运算，熟练掌握乘法公式的变形应用是解题关键。
【难度系数】
0.7
拿到本题若直接将m、n的数值代入代数式计算，运算量大且容易出错。观察根号内的式子包含m²、n²、mn项，可联想到完全平方公式，先将m²+n²转化为与m+n（或m-n）、mn相关的形式，再先计算出m+n、mn（或m-n、mn）的数值，整体代入变形后的式子计算，可大幅简化运算过程。
【解析】
方法一：
∵$m=1+\sqrt{2},n=1-\sqrt{2}$，
∴$m+n=(1+\sqrt{2})+(1-\sqrt{2})=2$，
$mn=(1+\sqrt{2})(1-\sqrt{2})=1^2-(\sqrt{2})^2=1-2=-1$，
∴$\sqrt{m^2+n^2-3mn}=\sqrt{(m+n)^2-2mn-3mn}=\sqrt{(m+n)^2-5mn}$，
将$m+n=2$，$mn=-1$代入得：
原式$=\sqrt{2^2-5×(-1)}=\sqrt{4+5}=\sqrt{9}=3$。
方法二：
∵$m=1+\sqrt{2},n=1-\sqrt{2}$，
∴$m-n=(1+\sqrt{2})-(1-\sqrt{2})=2\sqrt{2}$，
$mn=(1+\sqrt{2})(1-\sqrt{2})=-1$，
∴$\sqrt{m^2+n^2-3mn}=\sqrt{(m-n)^2+2mn-3mn}=\sqrt{(m-n)^2-mn}$，
代入得：原式$=\sqrt{(2\sqrt{2})^2-(-1)}=\sqrt{8+1}=\sqrt{9}=3$。
【答案】
3
【知识点】
二次根式化简求值、完全平方公式、平方差公式
【点评】
本题是二次根式运算的常规题型，核心是利用整式乘法公式对所求代数式合理变形，通过整体代入的方法简化计算，避免直接代入的繁琐运算，熟练掌握乘法公式的变形应用是解题关键。
【难度系数】
0.7
3. 先化简,再求值: $(\dfrac{3x+y}{x^2-y^2}+\dfrac{2x}{y^2-x^2})÷\dfrac{2}{x^2y-xy^2}$,其中 $x=\sqrt{3}+1,y=\sqrt{3}$.
答案
原式=$(\dfrac{3x+y}{x^2-y^2}-\dfrac{2x}{x^2-y^2})÷\dfrac{2}{x^2y-xy^2}$
=$\dfrac{3x+y-2x}{(x-y)(x+y)}·\dfrac{xy(x-y)}{2}$
=$\dfrac{x+y}{(x-y)(x+y)}·\dfrac{xy(x-y)}{2}=\dfrac{xy}{2}$,
当$x=\sqrt{3}+1,y=\sqrt{3}$时，
原式=$\dfrac{\sqrt{3}(\sqrt{3}+1)}{2}=\dfrac{3+\sqrt{3}}{2}$.
=$\dfrac{3x+y-2x}{(x-y)(x+y)}·\dfrac{xy(x-y)}{2}$
=$\dfrac{x+y}{(x-y)(x+y)}·\dfrac{xy(x-y)}{2}=\dfrac{xy}{2}$,
当$x=\sqrt{3}+1,y=\sqrt{3}$时，
原式=$\dfrac{\sqrt{3}(\sqrt{3}+1)}{2}=\dfrac{3+\sqrt{3}}{2}$.
解析
【分析】
这是分式化简求值类题目，解题思路可分为三步：第一步先处理括号内的分式，观察到两个分母$x^2-y^2$和$y^2-x^2$互为相反数，先统一分母转化为同分母分式的减法运算；第二步将除法运算转化为乘法运算，同时对分子、分母中的多项式因式分解，再约分得到最简式；第三步将$x、y$的值代入最简式计算结果，相比直接代入原式计算更简便，能有效降低计算错误率。
【解析】
原式$=(\dfrac{3x+y}{x^2-y^2}-\dfrac{2x}{x^2-y^2})÷\dfrac{2}{x^2y-xy^2}$
$=\dfrac{3x+y-2x}{(x-y)(x+y)} · \dfrac{xy(x-y)}{2}$
$=\dfrac{x+y}{(x-y)(x+y)} · \dfrac{xy(x-y)}{2}$
约分后得$\dfrac{xy}{2}$
当$x=\sqrt{3}+1,y=\sqrt{3}$时，
原式$=\dfrac{\sqrt{3}(\sqrt{3}+1)}{2}=\dfrac{3+\sqrt{3}}{2}$
【答案】
$\dfrac{3+\sqrt{3}}{2}$
【知识点】
分式的混合运算；因式分解；二次根式运算
【点评】
本题侧重考查分式化简的基本方法和二次根式的计算能力，解题时需注意统一分式分母时的符号变化，除法转化为乘法时要乘以除数的倒数，先对多项式因式分解再约分，可大幅简化计算过程，减少出错概率。
【难度系数】
0.7
这是分式化简求值类题目，解题思路可分为三步：第一步先处理括号内的分式，观察到两个分母$x^2-y^2$和$y^2-x^2$互为相反数，先统一分母转化为同分母分式的减法运算；第二步将除法运算转化为乘法运算，同时对分子、分母中的多项式因式分解，再约分得到最简式；第三步将$x、y$的值代入最简式计算结果，相比直接代入原式计算更简便，能有效降低计算错误率。
【解析】
原式$=(\dfrac{3x+y}{x^2-y^2}-\dfrac{2x}{x^2-y^2})÷\dfrac{2}{x^2y-xy^2}$
$=\dfrac{3x+y-2x}{(x-y)(x+y)} · \dfrac{xy(x-y)}{2}$
$=\dfrac{x+y}{(x-y)(x+y)} · \dfrac{xy(x-y)}{2}$
约分后得$\dfrac{xy}{2}$
当$x=\sqrt{3}+1,y=\sqrt{3}$时，
原式$=\dfrac{\sqrt{3}(\sqrt{3}+1)}{2}=\dfrac{3+\sqrt{3}}{2}$
【答案】
$\dfrac{3+\sqrt{3}}{2}$
【知识点】
分式的混合运算；因式分解；二次根式运算
【点评】
本题侧重考查分式化简的基本方法和二次根式的计算能力，解题时需注意统一分式分母时的符号变化，除法转化为乘法时要乘以除数的倒数，先对多项式因式分解再约分，可大幅简化计算过程，减少出错概率。
【难度系数】
0.7
