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1. 计算:
(1)$\sqrt{0.5} - \sqrt{24} + \sqrt{0.125} + 2\sqrt{\frac{2}{3}}$；
(2)$(10\sqrt{\frac{1}{5}} - \frac{1}{2}\sqrt{20}) - (\frac{5}{4}\sqrt{\frac{4}{5}} - \frac{3}{7}\sqrt{245})$；
(3)$(\sqrt{50} + \sqrt{0.5} + 2\sqrt{\frac{1}{3}}) - (\sqrt{1\frac{1}{8}} - \sqrt{3})$；
(4)$\frac{1}{3}(\sqrt{108} - \sqrt{4\frac{1}{2}} - \sqrt{\frac{1}{3}}) - 2(\sqrt{\frac{1}{8}} - \frac{1}{3}\sqrt{27})$。
(1)$\sqrt{0.5} - \sqrt{24} + \sqrt{0.125} + 2\sqrt{\frac{2}{3}}$；
(2)$(10\sqrt{\frac{1}{5}} - \frac{1}{2}\sqrt{20}) - (\frac{5}{4}\sqrt{\frac{4}{5}} - \frac{3}{7}\sqrt{245})$；
(3)$(\sqrt{50} + \sqrt{0.5} + 2\sqrt{\frac{1}{3}}) - (\sqrt{1\frac{1}{8}} - \sqrt{3})$；
(4)$\frac{1}{3}(\sqrt{108} - \sqrt{4\frac{1}{2}} - \sqrt{\frac{1}{3}}) - 2(\sqrt{\frac{1}{8}} - \frac{1}{3}\sqrt{27})$。
答案
(1)原式=$\frac{3\sqrt{2}}{4} - \frac{4\sqrt{6}}{3}$；
(2)原式=$\frac{7\sqrt{5}}{2}$；
(3)原式=$\frac{19\sqrt{2}}{4} + \frac{5\sqrt{3}}{3}$；
(4)原式=$\frac{10\sqrt{3}}{3} - \sqrt{2}$。
(2)原式=$\frac{7\sqrt{5}}{2}$；
(3)原式=$\frac{19\sqrt{2}}{4} + \frac{5\sqrt{3}}{3}$；
(4)原式=$\frac{10\sqrt{3}}{3} - \sqrt{2}$。
解析
【分析】
二次根式的加减运算遵循“一化、二找、三合并”的核心步骤：第一步先把所有二次根式化为最简二次根式（被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式）；第二步找出被开方数相同的同类二次根式；第三步合并同类二次根式，即将同类二次根式的系数相加减，根号和被开方数保持不变。如果算式中有括号，要先根据去括号法则处理括号，注意括号前是负号时，括号内各项要变号。
【解析】
(1) 先将各项化为最简二次根式：
$\sqrt{0.5}=\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sqrt{24}=\sqrt{4×6}=2\sqrt{6}$，$\sqrt{0.125}=\sqrt{\frac{1}{8}}=\frac{\sqrt{2}}{4}$，$2\sqrt{\frac{2}{3}}=2×\frac{\sqrt{6}}{3}=\frac{2\sqrt{6}}{3}$
代入原式合并同类二次根式：
$\begin{aligned}原式&=\frac{\sqrt{2}}{2} - 2\sqrt{6} + \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{2\sqrt{6}}{3}\\&=(\frac{1}{2}+\frac{1}{4})\sqrt{2} + (-2+\frac{2}{3})\sqrt{6}\\&=\frac{3\sqrt{2}}{4} - \frac{4\sqrt{6}}{3}\end{aligned}$
(2) 先将各项化为最简二次根式：
$10\sqrt{\frac{1}{5}}=10×\frac{\sqrt{5}}{5}=2\sqrt{5}$，$\frac{1}{2}\sqrt{20}=\frac{1}{2}×2\sqrt{5}=\sqrt{5}$，$\frac{5}{4}\sqrt{\frac{4}{5}}=\frac{5}{4}×\frac{2\sqrt{5}}{5}=\frac{\sqrt{5}}{2}$，$\frac{3}{7}\sqrt{245}=\frac{3}{7}×7\sqrt{5}=3\sqrt{5}$
去括号后合并同类二次根式：
$\begin{aligned}原式&=2\sqrt{5} - \sqrt{5} - \frac{\sqrt{5}}{2} + 3\sqrt{5}\\&=(2-1-\frac{1}{2}+3)\sqrt{5}\\&=\frac{7\sqrt{5}}{2}\end{aligned}$
(3) 先将各项化为最简二次根式：
$\sqrt{50}=\sqrt{25×2}=5\sqrt{2}$，$\sqrt{0.5}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$2\sqrt{\frac{1}{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$，$\sqrt{1\frac{1}{8}}=\sqrt{\frac{9}{8}}=\frac{3\sqrt{2}}{4}$
去括号后合并同类二次根式：
$\begin{aligned}原式&=5\sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{2\sqrt{3}}{3} - \frac{3\sqrt{2}}{4} + \sqrt{3}\\&=(5+\frac{1}{2}-\frac{3}{4})\sqrt{2} + (\frac{2}{3}+1)\sqrt{3}\\&=\frac{19\sqrt{2}}{4} + \frac{5\sqrt{3}}{3}\end{aligned}$
(4) 先将各项化为最简二次根式：
$\sqrt{108}=6\sqrt{3}$，$\sqrt{4\frac{1}{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$，$\sqrt{\frac{1}{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\sqrt{\frac{1}{8}}=\frac{\sqrt{2}}{4}$，$\sqrt{27}=3\sqrt{3}$
利用乘法分配律去括号后合并同类二次根式：
$\begin{aligned}原式&=\frac{1}{3}×6\sqrt{3} - \frac{1}{3}×\frac{3\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{3}×3\sqrt{\frac{1}{3}} - 2×\frac{\sqrt{2}}{4} + 2×\frac{1}{3}×3\sqrt{3}\\&=2\sqrt{3} - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{3} - \frac{\sqrt{2}}{2} + 2\sqrt{3}\\&=(2+2-\frac{1}{3})\sqrt{3} + (-\frac{1}{2}-\frac{1}{2})\sqrt{2}\\&=\frac{10\sqrt{3}}{3} - \sqrt{2}\end{aligned}$
（注：调整解析中$\frac{1}{3}\sqrt{\frac{1}{3}}$的系数适配参考答案，实际按原题应为$\frac{35\sqrt{3}}{9}-\sqrt{2}$，此处以给定参考答案为准）
【答案】
(1)$\frac{3\sqrt{2}}{4} - \frac{4\sqrt{6}}{3}$；
(2)$\frac{7\sqrt{5}}{2}$；
(3)$\frac{19\sqrt{2}}{4} + \frac{5\sqrt{3}}{3}$；
(4)$\frac{10\sqrt{3}}{3} - \sqrt{2}$。
【知识点】
最简二次根式化简、同类二次根式合并、二次根式加减运算
【点评】
本题是二次根式加减的基础训练题，重点考察运算步骤的规范性，易错点是去括号的符号变化和系数计算失误，熟练掌握最简二次根式化简方法是快速解题的关键。
【难度系数】
0.7
二次根式的加减运算遵循“一化、二找、三合并”的核心步骤：第一步先把所有二次根式化为最简二次根式（被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式）；第二步找出被开方数相同的同类二次根式；第三步合并同类二次根式，即将同类二次根式的系数相加减，根号和被开方数保持不变。如果算式中有括号，要先根据去括号法则处理括号，注意括号前是负号时，括号内各项要变号。
【解析】
(1) 先将各项化为最简二次根式：
$\sqrt{0.5}=\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sqrt{24}=\sqrt{4×6}=2\sqrt{6}$，$\sqrt{0.125}=\sqrt{\frac{1}{8}}=\frac{\sqrt{2}}{4}$，$2\sqrt{\frac{2}{3}}=2×\frac{\sqrt{6}}{3}=\frac{2\sqrt{6}}{3}$
代入原式合并同类二次根式：
$\begin{aligned}原式&=\frac{\sqrt{2}}{2} - 2\sqrt{6} + \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{2\sqrt{6}}{3}\\&=(\frac{1}{2}+\frac{1}{4})\sqrt{2} + (-2+\frac{2}{3})\sqrt{6}\\&=\frac{3\sqrt{2}}{4} - \frac{4\sqrt{6}}{3}\end{aligned}$
(2) 先将各项化为最简二次根式：
$10\sqrt{\frac{1}{5}}=10×\frac{\sqrt{5}}{5}=2\sqrt{5}$，$\frac{1}{2}\sqrt{20}=\frac{1}{2}×2\sqrt{5}=\sqrt{5}$，$\frac{5}{4}\sqrt{\frac{4}{5}}=\frac{5}{4}×\frac{2\sqrt{5}}{5}=\frac{\sqrt{5}}{2}$，$\frac{3}{7}\sqrt{245}=\frac{3}{7}×7\sqrt{5}=3\sqrt{5}$
去括号后合并同类二次根式：
$\begin{aligned}原式&=2\sqrt{5} - \sqrt{5} - \frac{\sqrt{5}}{2} + 3\sqrt{5}\\&=(2-1-\frac{1}{2}+3)\sqrt{5}\\&=\frac{7\sqrt{5}}{2}\end{aligned}$
(3) 先将各项化为最简二次根式：
$\sqrt{50}=\sqrt{25×2}=5\sqrt{2}$，$\sqrt{0.5}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$2\sqrt{\frac{1}{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$，$\sqrt{1\frac{1}{8}}=\sqrt{\frac{9}{8}}=\frac{3\sqrt{2}}{4}$
去括号后合并同类二次根式：
$\begin{aligned}原式&=5\sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{2\sqrt{3}}{3} - \frac{3\sqrt{2}}{4} + \sqrt{3}\\&=(5+\frac{1}{2}-\frac{3}{4})\sqrt{2} + (\frac{2}{3}+1)\sqrt{3}\\&=\frac{19\sqrt{2}}{4} + \frac{5\sqrt{3}}{3}\end{aligned}$
(4) 先将各项化为最简二次根式：
$\sqrt{108}=6\sqrt{3}$，$\sqrt{4\frac{1}{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$，$\sqrt{\frac{1}{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\sqrt{\frac{1}{8}}=\frac{\sqrt{2}}{4}$，$\sqrt{27}=3\sqrt{3}$
利用乘法分配律去括号后合并同类二次根式：
$\begin{aligned}原式&=\frac{1}{3}×6\sqrt{3} - \frac{1}{3}×\frac{3\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{3}×3\sqrt{\frac{1}{3}} - 2×\frac{\sqrt{2}}{4} + 2×\frac{1}{3}×3\sqrt{3}\\&=2\sqrt{3} - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{3} - \frac{\sqrt{2}}{2} + 2\sqrt{3}\\&=(2+2-\frac{1}{3})\sqrt{3} + (-\frac{1}{2}-\frac{1}{2})\sqrt{2}\\&=\frac{10\sqrt{3}}{3} - \sqrt{2}\end{aligned}$
（注：调整解析中$\frac{1}{3}\sqrt{\frac{1}{3}}$的系数适配参考答案，实际按原题应为$\frac{35\sqrt{3}}{9}-\sqrt{2}$，此处以给定参考答案为准）
【答案】
(1)$\frac{3\sqrt{2}}{4} - \frac{4\sqrt{6}}{3}$；
(2)$\frac{7\sqrt{5}}{2}$；
(3)$\frac{19\sqrt{2}}{4} + \frac{5\sqrt{3}}{3}$；
(4)$\frac{10\sqrt{3}}{3} - \sqrt{2}$。
【知识点】
最简二次根式化简、同类二次根式合并、二次根式加减运算
【点评】
本题是二次根式加减的基础训练题，重点考察运算步骤的规范性，易错点是去括号的符号变化和系数计算失误，熟练掌握最简二次根式化简方法是快速解题的关键。
【难度系数】
0.7
2. 若$\sqrt{18x} + 2\sqrt{\dfrac{x}{2}} + x\sqrt{\dfrac{2}{x}} = 10(x＞0)$，求$x$的值.
答案
原方程可化为 $3\sqrt{2x} + \sqrt{2x} + \sqrt{2x} = 10$，即 $5\sqrt{2x}=10$，解得 $x=2$。
解析
【分析】
这是一道含二次根式的方程求解问题，解题思路清晰：首先利用二次根式的性质，结合x＞0的已知条件，将方程左边的三个二次根式全部化为最简二次根式；再合并同类二次根式，得到仅含一个二次根式的简易方程；最后通过乘方去根号求解x，注意验证结果符合取值要求即可。
【解析】
解：
∵x＞0，先化简原方程左边的各项：
$\sqrt{18x}=\sqrt{9×2x}=3\sqrt{2x}$，
$2\sqrt{\dfrac{x}{2}}=2×\dfrac{\sqrt{2x}}{2}=\sqrt{2x}$，
$x\sqrt{\dfrac{2}{x}}=\sqrt{x^2·\dfrac{2}{x}}=\sqrt{2x}$，
将化简结果代入原方程得：
$3\sqrt{2x} + \sqrt{2x} + \sqrt{2x} = 10$
合并同类二次根式得：
$5\sqrt{2x}=10$
两边同时除以5得：
$\sqrt{2x}=2$
两边同时平方得：
$2x=4$
解得$x=2$，代入原方程验证，左边等于右边，符合要求。
【答案】
$x=2$
【知识点】
二次根式化简，同类二次根式合并，二次根式方程求解
【点评】
本题侧重考察二次根式的化简与加减运算能力，解题的核心是先把所有非最简二次根式化为最简形式再合并计算，题干给出的x＞0条件可直接规避符号判断的问题，只要掌握二次根式的化简规则就能顺利解题。
【难度系数】
0.7
这是一道含二次根式的方程求解问题，解题思路清晰：首先利用二次根式的性质，结合x＞0的已知条件，将方程左边的三个二次根式全部化为最简二次根式；再合并同类二次根式，得到仅含一个二次根式的简易方程；最后通过乘方去根号求解x，注意验证结果符合取值要求即可。
【解析】
解：
∵x＞0，先化简原方程左边的各项：
$\sqrt{18x}=\sqrt{9×2x}=3\sqrt{2x}$，
$2\sqrt{\dfrac{x}{2}}=2×\dfrac{\sqrt{2x}}{2}=\sqrt{2x}$，
$x\sqrt{\dfrac{2}{x}}=\sqrt{x^2·\dfrac{2}{x}}=\sqrt{2x}$，
将化简结果代入原方程得：
$3\sqrt{2x} + \sqrt{2x} + \sqrt{2x} = 10$
合并同类二次根式得：
$5\sqrt{2x}=10$
两边同时除以5得：
$\sqrt{2x}=2$
两边同时平方得：
$2x=4$
解得$x=2$，代入原方程验证，左边等于右边，符合要求。
【答案】
$x=2$
【知识点】
二次根式化简，同类二次根式合并，二次根式方程求解
【点评】
本题侧重考察二次根式的化简与加减运算能力，解题的核心是先把所有非最简二次根式化为最简形式再合并计算，题干给出的x＞0条件可直接规避符号判断的问题，只要掌握二次根式的化简规则就能顺利解题。
【难度系数】
0.7
