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20. (8分)如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,过点A作BC的垂线,垂足为E,延长BC到点F,使$CF=BE$,连接DF.
(1)求证:四边形AEFD是矩形;
(2)连接OE,若$AD=25$,$OE=7$,则$AE=$
(1)求证:四边形AEFD是矩形;
(2)连接OE,若$AD=25$,$OE=7$,则$AE=$
$\frac{336}{25}$
.(直接写出答案)答案
20.【点拨】本题考查矩形的判定和性质、直角三角形斜边上中线的性质、勾股定理、菱形的性质,掌握矩形的判定和性质是解题的关键.
【解析】(1)证明:$\because$ 四边形ABCD是菱形,
$\therefore AD// BC$且$AD=BC$.
$\because BE=CF$,$\therefore BC=EF$,$\therefore AD=EF$.
$\because AD// EF$,$\therefore$ 四边形AEFD是平行四边形.
$\because AE⊥ BC$,$\therefore ∠ AEF=90°$,$\therefore$ 四边形AEFD是矩形.
(2)$\because$ 四边形ABCD是菱形,
$\therefore AC⊥ BD$,$AO=CO$,$BC=AD=25$.
$\because AE⊥ BC$,$\therefore ∠ AEB=∠ AEC=90°$,$\therefore AC=2OE=14$.
$\because AB^2-BE^2=AC^2-CE^2=AE^2$,$AB=AD=25$,
$\therefore 25^2-BE^2=14^2-(25-BE)^2$,$\therefore BE=\frac{527}{25}$,
$\therefore AE=\sqrt{AB^2-BE^2}=\sqrt{25^2-(\frac{527}{25})^2}=\frac{336}{25}$.
故答案为$\frac{336}{25}$.
【解析】(1)证明:$\because$ 四边形ABCD是菱形,
$\therefore AD// BC$且$AD=BC$.
$\because BE=CF$,$\therefore BC=EF$,$\therefore AD=EF$.
$\because AD// EF$,$\therefore$ 四边形AEFD是平行四边形.
$\because AE⊥ BC$,$\therefore ∠ AEF=90°$,$\therefore$ 四边形AEFD是矩形.
(2)$\because$ 四边形ABCD是菱形,
$\therefore AC⊥ BD$,$AO=CO$,$BC=AD=25$.
$\because AE⊥ BC$,$\therefore ∠ AEB=∠ AEC=90°$,$\therefore AC=2OE=14$.
$\because AB^2-BE^2=AC^2-CE^2=AE^2$,$AB=AD=25$,
$\therefore 25^2-BE^2=14^2-(25-BE)^2$,$\therefore BE=\frac{527}{25}$,
$\therefore AE=\sqrt{AB^2-BE^2}=\sqrt{25^2-(\frac{527}{25})^2}=\frac{336}{25}$.
故答案为$\frac{336}{25}$.
解析
【分析】
本题分为两小问，(1)需证明四边形AEFD是矩形，核心思路是先证其为平行四边形，再结合直角条件判定矩形；(2)求AE的长度，需利用菱形性质、直角三角形斜边中线性质及勾股定理建立方程求解。
(1) 利用菱形对边平行且相等的性质，结合BE=CF可推得AD与EF平行且相等，得到平行四边形，再由AE⊥BC得直角，即可证矩形；
(2) 由菱形对角线互相平分，结合直角三角形斜边中线等于斜边一半求出AC，再设BE为未知数，在两个直角三角形中用勾股定理列方程，求解后计算AE。
【解析】
(1) 证明：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD//BC且AD=BC。
∵BE=CF，
∴BC=BE+EC=CF+EC=EF，
∴AD=EF。
又
∵AD//EF，
∴四边形AEFD是平行四边形。
∵AE⊥BC，
∴∠AEF=90°，
∴四边形AEFD是矩形。
(2) 解：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO=CO，BC=AD=25。
∵AE⊥BC，
∴△AEC是直角三角形，O为AC中点，
∴AC=2OE=2×7=14。
设BE=x，则CE=25 - x，
在Rt△ABE中，AE²=25² - x²，
在Rt△ACE中，AE²=14² - (25 - x)²，
∴25² - x²=14² - (25 - x)²，
展开化简得：625 - x²=196 - 625 + 50x - x²，
解得x=527/25，
∴AE=√(25² - (527/25)²)=336/25。
【答案】(1) 证明见解析；(2) $\frac{336}{25}$
【知识点】菱形的性质、矩形的判定、勾股定理
【点评】本题综合考查特殊四边形的性质与判定，解题关键是利用线段等量关系和勾股定理建立方程，需熟练掌握相关几何定理，难度适中。
【难度系数】0.6
本题分为两小问，(1)需证明四边形AEFD是矩形，核心思路是先证其为平行四边形，再结合直角条件判定矩形；(2)求AE的长度，需利用菱形性质、直角三角形斜边中线性质及勾股定理建立方程求解。
(1) 利用菱形对边平行且相等的性质，结合BE=CF可推得AD与EF平行且相等，得到平行四边形，再由AE⊥BC得直角，即可证矩形；
(2) 由菱形对角线互相平分，结合直角三角形斜边中线等于斜边一半求出AC，再设BE为未知数，在两个直角三角形中用勾股定理列方程，求解后计算AE。
【解析】
(1) 证明：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD//BC且AD=BC。
∵BE=CF，
∴BC=BE+EC=CF+EC=EF，
∴AD=EF。
又
∵AD//EF，
∴四边形AEFD是平行四边形。
∵AE⊥BC，
∴∠AEF=90°，
∴四边形AEFD是矩形。
(2) 解：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO=CO，BC=AD=25。
∵AE⊥BC，
∴△AEC是直角三角形，O为AC中点，
∴AC=2OE=2×7=14。
设BE=x，则CE=25 - x，
在Rt△ABE中，AE²=25² - x²，
在Rt△ACE中，AE²=14² - (25 - x)²，
∴25² - x²=14² - (25 - x)²，
展开化简得：625 - x²=196 - 625 + 50x - x²，
解得x=527/25，
∴AE=√(25² - (527/25)²)=336/25。
【答案】(1) 证明见解析；(2) $\frac{336}{25}$
【知识点】菱形的性质、矩形的判定、勾股定理
【点评】本题综合考查特殊四边形的性质与判定，解题关键是利用线段等量关系和勾股定理建立方程，需熟练掌握相关几何定理，难度适中。
【难度系数】0.6
21.（8分）如图是由小正方形组成的$8×6$网格，每个小正方形的顶点叫作格点，每个小正方形的边长为1 cm. 四边形$ABCD$的四个顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线，画图结果用实线.
（1）四边形$ABCD$的周长为________cm；
（2）在图1中的$CD$上作点$E$，使$∠ABE=45°$；
（3）在图2中的$CD$上作点$G$，使$CG=AD$；
（4）在图3中，$H$是$AB$上一点，在$CD$上作点$M$，使$HM// AD$.
（1）四边形$ABCD$的周长为________cm；
（2）在图1中的$CD$上作点$E$，使$∠ABE=45°$；
（3）在图2中的$CD$上作点$G$，使$CG=AD$；
（4）在图3中，$H$是$AB$上一点，在$CD$上作点$M$，使$HM// AD$.
答案
21.【点拨】本题考查作图——应用与设计作图、平行线的判定、勾股定理.
【解析】(1)由勾股定理得,$AB=CD=\sqrt{3^2+4^2}=5(\mathrm{cm})$.
$\therefore$ 四边形ABCD的周长为$4+4+5+5=18(\mathrm{cm})$.故答案为18.
(2)如图1,取格点F,使$AF⊥ AB$,且$AF=AB$,连接BF交CD于点E,则点E即为所求.
(3)如图2,在点C的上方取格点E,使$CE=CD=5\ \mathrm{cm}$,连接DE,在CE上取格点F,使$CF=4\ \mathrm{cm}$.过点F作DE的平行线,交CD于点G,此时$CF=4\ \mathrm{cm}$,即$CG=AD=4\ \mathrm{cm}$,则点G即为所求.
(4)如图3,取AD的中点E,BC的中点F,连接EF,连接CH交EF于点O,连接BO并延长,交CD于点M,则点M即为所求.
解析
【分析】
本题是网格中的几何计算与作图题，需结合网格特性、勾股定理、平行四边形性质、平行线判定等知识解题。（1）利用网格的直角，通过勾股定理计算平行四边形的边长，再依据平行四边形对边相等的性质求周长；（2）构造等腰直角三角形，使∠ABE为等腰直角三角形的底角，从而得到45°角；（3）利用平行线分线段成比例的性质，结合AD的长度确定点G；（4）通过构造中点连线，结合平行线的性质找到满足HM//AD的点M。
【解析】
（1）
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC=4cm，AB=CD。在网格中，AB的横向距离为3，纵向距离为4，由勾股定理得：AB=√(3²+4²)=5cm，
∴四边形ABCD的周长=2×(AD+AB)=2×(4+5)=18cm。
（2）如图1，取格点F，使AF⊥AB且AF=AB，连接BF，BF与CD交于点E，则点E即为所求（此时△ABF为等腰直角三角形，∠ABF=45°，即∠ABE=45°）。
（3）如图2，在点C上方取格点E，使CE=CD=5cm，连接DE；在CE上取格点F，使CF=4cm，过点F作DE的平行线，交CD于点G，由平行线分线段成比例得CG=CF=4cm，即CG=AD，故点G即为所求。
（4）如图3，取AD的中点E，BC的中点F，连接EF；连接CH交EF于点O，连接BO并延长，交CD于点M，此时HM//AD，故点M即为所求。
【答案】
18；（2）；（3）；（4）
【知识点】
勾股定理、平行四边形性质、平行线判定
【点评】
本题结合网格考查几何作图与计算，需灵活运用网格的直角特性、勾股定理及平行线相关性质，是综合性较强的网格作图题，对学生的几何构造能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
本题是网格中的几何计算与作图题，需结合网格特性、勾股定理、平行四边形性质、平行线判定等知识解题。（1）利用网格的直角，通过勾股定理计算平行四边形的边长，再依据平行四边形对边相等的性质求周长；（2）构造等腰直角三角形，使∠ABE为等腰直角三角形的底角，从而得到45°角；（3）利用平行线分线段成比例的性质，结合AD的长度确定点G；（4）通过构造中点连线，结合平行线的性质找到满足HM//AD的点M。
【解析】
（1）
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC=4cm，AB=CD。在网格中，AB的横向距离为3，纵向距离为4，由勾股定理得：AB=√(3²+4²)=5cm，
∴四边形ABCD的周长=2×(AD+AB)=2×(4+5)=18cm。
（2）如图1，取格点F，使AF⊥AB且AF=AB，连接BF，BF与CD交于点E，则点E即为所求（此时△ABF为等腰直角三角形，∠ABF=45°，即∠ABE=45°）。
（3）如图2，在点C上方取格点E，使CE=CD=5cm，连接DE；在CE上取格点F，使CF=4cm，过点F作DE的平行线，交CD于点G，由平行线分线段成比例得CG=CF=4cm，即CG=AD，故点G即为所求。
（4）如图3，取AD的中点E，BC的中点F，连接EF；连接CH交EF于点O，连接BO并延长，交CD于点M，此时HM//AD，故点M即为所求。
【答案】
18；（2）
；（3）；（4）【知识点】
勾股定理、平行四边形性质、平行线判定
【点评】
本题结合网格考查几何作图与计算，需灵活运用网格的直角特性、勾股定理及平行线相关性质，是综合性较强的网格作图题，对学生的几何构造能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
