1. (2026·盐城期中)在学习《直角三角形》这一章时,爱动脑筋的小明同学发现了一组有规律的勾股数,并将它们记录在如下的表格中.按照这个规律,当$a=35$时,$b$的值是 （）


A.611
B.612
C.613
D.614

1. B 解析:由表格中的数据得 $a^2+b^2=c^2$,$c=b+1$,$\therefore a^2+b^2=(b+1)^2$,$\therefore$ 当 $a=35$ 时,则 $35^2+b^2=(b+1)^2$,解得 $b=612$,故选 B.

2. (2026·连云港月考)观察下表,并解决问题.

(1) 随着数 $ a $ 的小数点的移动,它的算术平方根的小数点是怎样移动的? 请归纳总结这一规律.
(2) ① 已知 $\sqrt{2} \approx 1.414$ , $\sqrt{20} \approx 4.47$ , 则 $\sqrt{0.2} \approx \_\_\_\_\_\_$ .
② 已知 $\sqrt{4.24} \approx 2.059$ , $\sqrt{a} \approx 20.59$ , 则 $ a = \_\_\_\_\_\_ $ .
(3) ①猜想数 $ a $ 的小数点移动和它的立方根的小数点移动有怎样的关系? 写出你的猜想.
②已知 $\sqrt[3]{m} \approx 2\ 024$ , $\sqrt[3]{n} \approx 20.24$ , 用含 $ n $ 的代数式表示 $ m $.

(1) 观察表格可知数 $a$ 的小数点每向右(或左)移两位,它的算术平方根 $\sqrt{a}$ 的小数点相应向右(或左)移一位.
(2) ① 0.447 ② 424 解析: ① $\because 0.2=20÷100$,$\therefore \sqrt{0.2}\approx0.447$. ② $\because 20.59=10×2.059$,$\therefore a=4.24×100=424$.
(3) ① $\because \sqrt[3]{0.001}=0.1$,$\sqrt[3]{1}=1$,$\sqrt[3]{1\ 000}=10$,$\sqrt[3]{1\ 000\ 000}=100$,$···$,$\therefore$ 规律是:被开方数的小数点每向右(或左)移三位,它的立方根的小数点相应向右(或左)移一位.
② $\because \sqrt[3]{n}\approx20.24$,$\sqrt[3]{m}\approx2\ 024$,$\therefore m=1\ 000\ 000n=n×10^6$.

3. 如图①是第七届国际数学教育大会(ICME-7)的会徽图案,它近似的可以看成是由一串有公共顶点O的直角三角形演化而成的.若图②中的$OA_{1}=A_{1}A_{2}=A_{2}A_{3}=A_{3}A_{4}=\dots=1$,按此规律继续演化,则$OA_{9}$的长为（）


A.$\dfrac{3}{2}$
B.$3$
C.$5$
D.$\dfrac{3}{4}$

3. B 解析:由题意和勾股定理,得 $OA_2=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$,$OA_3=\sqrt{(\sqrt{2})^2+1^2}=\sqrt{3}$,$OA_4=\sqrt{(\sqrt{3})^2+1^2}=\sqrt{4}=2$,$···$,$\therefore OA_n=\sqrt{n}$,$\therefore OA_9=\sqrt{9}=3$. 故选 B.

4. (2025 · 扬州月考) 如图, 在射线 $OA,OB$ 上分别截取 $OA_1=OB_1$, 连接 $A_1B_1$, 在 $B_1A_1$, $B_1B$ 上分别截取 $B_1A_2=B_1B_2$, 连接 $A_2B_2,···$, 按此规律作下去, 若 $∠ A_1B_1O=α$, 则 $∠ A_{2\,026}B_{2\,026}O=$.(用含 $α$ 的代数式表示)

4. $\frac{1}{2^{2\ 025}}α$ 解析: $\because B_1A_2=B_1B_2$,$∠ A_1B_1O=α$,$\therefore ∠ A_2B_2O=\frac{1}{2}α$,同理 $∠ A_3B_3O=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}α=\frac{1}{2^2}α$,$\therefore ∠ A_nB_nO=\frac{1}{2^{n-1}}α$,$\therefore ∠ A_{2\ 026}B_{2\ 026}O=\frac{1}{2^{2\ 025}}α$.

5. (2026·徐州期中)如图,在平面直角坐标系中,有若干个相同的直角三角形,$∠ A_{1}=∠ A_{3}=$$∠ A_{5}=\dots=90°$,$OA_{1}=A_{3}A_{4}=A_{4}A_{5}=\dots=4$,$A_{1}A_{2}=A_{2}A_{3}=A_{5}A_{6}=\dots=3$,按如图中的规律摆放.动点$P$从原点$O$出发,第一次运动到$A_{1}$,第二次运动到$A_{2}$,第三次运动到$A_{3}$,$\dots$,按这样的运动规律,动点$P$第 101 次运动到点$A_{101}$的坐标为.

5. $(253\ \frac{1}{5},\frac{12}{5})$ 解析:如图所示,过点 $A_1$ 作 $A_1E⊥ x$ 轴于 $E$,在 $\mathrm{Rt}△ OA_1A_2$ 中,由勾股定理得 $OA_2=\sqrt{OA_1^2+A_1A_2^2}=5$,$\because S_{△ OA_1A_2}=\frac{1}{2}OA_1· A_1A_2=\frac{1}{2}OA_2· A_1E$,$\therefore A_1E=\frac{OA_1· A_1A_2}{OA_2}=\frac{12}{5}$,$\therefore OE=\sqrt{OA_1^2-A_1E^2}=\frac{16}{5}$,$\therefore A_1(\frac{16}{5},\frac{12}{5})$,$A_2(5,0)$,同理,得 $A_3(\frac{34}{5},-\frac{12}{5})$,$A_4(10,0)$,观察可知,点 $A_n$ 的纵坐标是 $\frac{12}{5}$,$0$,$-\frac{12}{5}$,$0$ 循环出现,点 $A_n$ 的横坐标是每 4 次一个循环,每个循环横坐标增加 10. $\because 101÷4=25······1$,$\therefore A_{101}$ 的纵坐标与 $A_1$ 相同,即为 $\frac{12}{5}$,$A_{101}$ 的横坐标为 $\frac{16}{5}+25×10=253\ \frac{1}{5}$,$\therefore A_{101}(253\ \frac{1}{5},\frac{12}{5})$.