1. 已知在平面直角坐标系中，点$P(a-1,a+1)$在某条定直线上，则该直线的函数表达式为（）

A.$y=x-1$
B.$y=x+1$
C.$y=x-2$
D.$y=x+2$

1. D

2. 已知一条公路旁依次有A,B,C三个村庄,甲、乙两人骑自行车分别从A村、B村同时出发前往C村,甲、乙两人之间的距离s(km)与骑行时间t(h)之间的函数关系如图所示.有下列结论:① A,B两村相距10 km;② 甲出发2 h后到达C村;③ 甲每小时比乙多骑行8 km;④ 相遇后,乙又骑行了30 min或55 min时两人相距4 km.其中正确的是 ()

A.①③④
B.①②③
C.①②④
D.①②③④

(第2题) (第3题)

2. D 解析:由题图,得 A,B两村相距 10 km.故①正确;甲出发2 h后到达C村.故②正确;甲每小时比乙多骑行 $10÷1.25=8(\mathrm{km})$.故③正确;当 $1.25≤ t≤ 2$ 时,设 $s(\mathrm{km})$ 关于 $t(\mathrm{h})$ 的函数表达式为 $s = kt + b$, 则
$\begin{cases}1.25k+b=0,\\2k+b=6,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}k=8,\\b=-10.\end{cases}$ 则 $s=8t-10(1.25≤ t≤2)$. 当 $s=4$ 时, $8t-10=4$, 解得 $t=\frac{7}{4}$. 则 $\frac{7}{4}-\frac{5}{4}=\frac{1}{2}(\mathrm{h})$. 同理, 得 $s=-12t+30(2＜t≤2.5)$. 当 $s=4$ 时, $-12t+30=4$, 解得 $t=\frac{13}{6}$. 则 $\frac{13}{6}-\frac{5}{4}=\frac{11}{12}(\mathrm{h})$. 因为 $60×\frac{1}{2}=30(\mathrm{min})$,$60×\frac{11}{12}=55(\mathrm{min})$,所以相遇后,乙又骑行了 30 min 或 55 min 时两人相距4 km. 故④正确. 综上, 正确的是①②③④.

3. 如图①，在长方形$ABCD$中，$AB=10\ \mathrm{cm}$，$BC=8\ \mathrm{cm}$，动点$P$从点$A$出发，沿$A→B→C→D$的路线运动，到点$D$停止。点$P$出发时的速度为$1\ \mathrm{cm/s}$，$a\ \mathrm{s}$时点$P$的速度变为$b\ \mathrm{cm/s}$，$a\ \mathrm{s}$后点$P$以$b\ \mathrm{cm/s}$的速度匀速运动。如图②是点$P$出发$x\ \mathrm{s}$后，$△ APD$的面积$S(\mathrm{cm}^2)$与时间$x(\mathrm{s})$之间的关系图象。有下列结论：① $a=6$，$b=2$；② $c=14$；③ 点$P$从点$B$运动到点$C$用时$4\ \mathrm{s}$；④ 当$x$的值为$10$时，点$P$运动的路程为$20\ \mathrm{cm}$；⑤ 当$△ APD$的面积是长方形$ABCD$面积的$\frac{1}{5}$时，$x$的值为$4$或$12$。其中正确的个数是（）

A.1
B.2
C.3
D.4

3. B 解析:因为四边形 $ABCD$ 是长方形,$AB=10\ \mathrm{cm}$,$BC=8\ \mathrm{cm}$, 所以 $CD=AB=10\ \mathrm{cm},AD=BC=8\ \mathrm{cm}$. 由题图, 得 $\frac{1}{2}×8a=24$, 解得 $a=6$. 则 $b=\frac{10-1×6}{8-6}=2$. 所以 $c=\frac{10+8}{2}+8=17$. 故①正确,②错误;点 $P$ 从点 $B$ 运动到点 $C$ 用时 $8÷2=4(\mathrm{s})$. 故③正确; 因为 $1×6+2×(10-6)=14(\mathrm{cm})$, 所以当 $x$ 的值为 10 时, 点 $P$ 运动的路程为 14 cm. 故④错误; 因为 $S_{\mathrm{长方形}ABCD}=AB· AD=80\ \mathrm{cm}^2$, 所以当 $△ APD$ 的面积是长方形 $ABCD$ 面积的 $\frac{1}{5}$ 时,$S=16$. 当 $0≤ x≤6$ 时, $\frac{1}{2}×8x=16$, 解得 $x=4$. 因为 $8+4=12(\mathrm{s})$, 所以点 $P$ 出发 12 s 时, 点 $P$ 运动到点 $C$. 所以当 $12≤ x≤17$ 时, $\frac{1}{2}×8[10-2(x-12)]=16$, 解得 $x=15$. 故⑤错误. 综上, 正确的个数是 2.

4. 如图,在平面直角坐标系中,直线 AB 的函数表达式为 $y=\frac{4}{3}x+4$,与 y 轴交于点 A,与 x 轴交于点 B,P 为线段 AB 上一个动点,过点 P 分别作 $PE⊥ y$ 轴于点 E,$PF⊥ x$ 轴于点 F,连接 EF,则线段 EF 的长的最小值为.

4. $\frac{12}{5}$ 解析:连接 $PO$, 易得 $△ PFE≌△ EOP$, 所以 $EF=PO$. 所以当 $PO$ 的长最小时, $EF$ 的长最小. 又点 $P$ 在线段 $AB$ 上运动, 所以当 $PO⊥ AB$ 时, $PO$ 的长最小. 对于 $y=\frac{4}{3}x+4$, 令 $x=0$, 得 $y=4$; 令 $y=0$, 得 $\frac{4}{3}x+4=0$, 解得 $x=-3$. 所以 $A(0,4),B(-3,0)$, 即 $OA=4,OB=3$. 又 $∠ AOB=90°$, 所以 $AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=5$. 当 $PO⊥ AB$ 时, $S_{△ AOB}=\frac{1}{2}OA· OB=\frac{1}{2}PO· AB$, 所以 $PO=\frac{OA· OB}{AB}=\frac{12}{5}$, 即线段 $EF$ 的长的最小值为 $\frac{12}{5}$.

5. (2026·江苏苏州期末)已知直线$ l $在平面直角坐标系中的位置如图所示，且直线$ l $还经过点$ C(3, -10) $。若直线$ l $分别与$ x $轴、$ y $轴交于$ A,B $两点，点$ P $在$ x $轴上，且$ S_{△ PAB}=6S_{△ OAB} $，则点$ P $的坐标是。

5. $(\frac{5}{3},0)$或$(-\frac{7}{3},0)$ 解析:设直线 $l$ 的函数表达式为 $y=kx+b$, 则 $\begin{cases}-k+b=2,\\3k+b=-10,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}k=-3,\\b=-1.\end{cases}$ 所以 $y=-3x-1$. 令 $y=0$, 得 $-3x-1=0$, 解得 $x=-\frac{1}{3}$. 所以 $OA=\frac{1}{3}$. 因为 $S_{△ PAB}=6S_{△ OAB}$, 所以 $AP=6OA=2$. 所以点 $P$ 的坐标是 $(-\frac{1}{3}+2,0)$ 或 $(-\frac{1}{3}-2,0)$, 即 $(\frac{5}{3},0)$ 或 $(-\frac{7}{3},0)$.

6. 如图，直线$y=\frac{2}{3}x+4$分别与x轴、y轴交于A，B两点，C，D分别为线段AB，OB的中点，P为OA上一动点，连接PC，PD，当PC+PD的值最小时，点P的坐标为。

6. $(-\frac{3}{2},0)$ 解析:如图, 作点 $D$ 关于 $x$ 轴的对称点 $D'$, 连接 $PD',CD'$, 则 $PD=PD'$. 所以 $PC+PD=PC+PD'≥ CD'$, 即当点 $P$ 在 $CD'$ 上时, $PC+PD$ 的值最小, 且最小值为 $CD'$ 的长. 对于 $y=\frac{2}{3}x+4$, 令 $x=0$, 得 $y=4$; 令 $y=0$, 得 $\frac{2}{3}x+4=0$, 解得 $x=-6$. 所以 $A(-6,0),B(0,4)$. 因为 $C,D$ 两点分别为线段 $AB,OB$ 的中点, 所以 $C(-3,2),D(0,2)$. 所以 $D'(0,-2)$. 设直线 $CD'$ 的函数表达式为 $y=kx+b$, 所以 $\begin{cases}-3k+b=2,\\b=-2,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}k=-\frac{4}{3},\\b=-2.\end{cases}$ 所以直线 $CD'$ 的函数表达式为 $y=-\frac{4}{3}x-2$. 令 $y=0$, 得 $-\frac{4}{3}x-2=0$, 解得 $x=-\frac{3}{2}$. 所以点 $P$ 的坐标为 $(-\frac{3}{2},0)$.