8. 在平面直角坐标系中有$M(a,b),N(c,d)$两点,规定$(a,b)\oplus(c,d)=(a+c,b+d)$,则称点$Q(a+c,b+d)$为$M,N$两点的“和点”.若以坐标原点$O$与任意两点及它们的“和点”为顶点能构成四边形,则称这个四边形为“和点四边形”.现有点$A(2,5)$和点$B(-1,3)$.若以$O,A,B,C$四点为顶点的四边形是“和点四边形”,则点$C$的坐标是________.

8. $(1,8)$或$(3,2)$或$(-3,-2)$ 解析:由题意,得点 $C$ 是 $A,B$ 两点的“和点”或点 $A$ 是 $B,C$ 两点的“和点”或点 $B$ 是 $A,C$ 两点的“和点”. 因为 $A(2,5),B(-1,3)$,所以当点 $C$ 是 $A,B$ 两点的“和点”时,点 $C$ 的坐标是 $(2+(-1),5+3)$,即 $(1,8)$;当点 $A$ 是 $B,C$ 两点的“和点”时,点 $C$ 的坐标是 $(2-(-1),5-3)$,即 $(3,2)$;当点 $B$ 是 $A,C$ 两点的“和点”时,点 $C$ 的坐标是 $(-1-2,3-5)$,即 $(-3,-2).$ 通过作图易知,无论哪种情况,$O,A,B,C$ 四点中任意三点都不共线,所以点 $C$ 的坐标是 $(1,8)$ 或 $(3,2)$ 或 $(-3,-2).$

9. 如图,在平面直角坐标系中,四边形ABCD的顶点坐标分别为$A(1,m+1)$,$B(a,m+1)$,$C(3,m+3)$,$D(1,m+a)$,其中$m＞0$,$1＜a＜3$,$P(n-m,n)$是四边形ABCD内部一点,连接$PA$,$PB$,$PC$,$PD$,且$△ PAD$与$△ PBC$的面积相等,则$n-m$的值为.

9. 2 解析:设 $n-m=t.$ 因为 $A(1,m+1),B(a,m+1),1＜a＜3$,所以 $AB=a-1,AB// x$ 轴. 又 $D(1,m+a)$,所以 $AD=a-1,AD// y$ 轴. 如图,过点 $P$ 作 $PE⊥ AB$ 于点 $E$,过点 $C$ 作 $CF⊥ AB$,交 $AB$ 的延长线于点 $F.$ 因为 $P(n-m,n),C(3,m+3)$,所以点 $P$ 到 $AD$ 的距离为 $n-m-1=t-1,PE=n-(m+1)=t-1,CF=(m+3)-(m+1)=2.$ 所以 $S_{△ PAD}=\frac{1}{2}(a-1)(t-1),S_{△ PBC}=S_{△ ABC}-S_{△ PAB}=\frac{1}{2}AB· CF-\frac{1}{2}AB· PE=\frac{1}{2}(a-1)×2-\frac{1}{2}(a-1)(t-1)=\frac{1}{2}(a-1)(3-t).$ 因为 $S_{△ PAD}=S_{△ PBC}$,所以 $\frac{1}{2}(a-1)(t-1)=\frac{1}{2}(a-1)(3-t).$ 因为 $1＜a＜3$,所以 $a-1≠0.$ 所以 $t-1=3-t$,即 $t=2.$ 所以 $n-m=2.$

10. 在平面直角坐标系中有$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$两点.若$x_2-x_1=y_2-y_1≠0$,则称$A,B$两点互为“对角点”,例如:已知$A(-1,3),B(2,6)$两点,因为$2-(-1)=6-3≠0$,所以$A,B$两点互为“对角点”.
(1) 若点$A$的坐标是$(4,-2)$,则在点$B_1(2,0),B_2(-1,-7),B_3(0,-6)$中,与点$A$互为“对角点”的是(填字母);
(2) 已知点$A(-2,4)$,它的“对角点”$B$在坐标轴上,求点$B$的坐标;
(3) 已知点$A(3,-1)$,点$B(m,n)$,且$A,B$两点互为“对角点”,点$B$在第四象限,求$m,n$的取值范围.

10. (1) $B_2,B_3$
(2) 设 $B(a,b).$ 由题意,得 $a=0$ 或 $b=0.$ 分类讨论如下:① 当 $a=0$ 时,$0-(-2)=b-4$,解得 $b=6.$ 所以 $B(0,6)$;② 当 $b=0$ 时,$a-(-2)=0-4$,解得 $a=-6.$ 所以 $B(-6,0).$ 综上,点 $B$ 的坐标为 $(0,6)$ 或 $(-6,0).$
(3) 由题意,得 $m-3=n-(-1)$,则 $m=n+4.$ 因为点 $B$ 在第四象限,所以 $m＞0,n＜0$,即 $n+4＞0,n＜0.$ 所以 $n$ 的取值范围为 $-4＜n＜0.$ 所以 $0＜n+4＜4$,即 $0＜m＜4.$ 又 $m-3=n-(-1)≠0$,所以 $m≠3,n≠-1.$ 综上,$m$ 的取值范围为 $0＜m＜4$ 且 $m≠3$,$n$ 的取值范围为 $-4＜n＜0$ 且 $n≠-1.$

11. 如图,在平面直角坐标系中有$A(0,1),B(2,0),C(4,3)$三点,$O$是坐标原点.
(1) 在平面直角坐标系中画出$△ ABC$;
(2) 若点$D$与点$C$关于$y$轴对称,则点$D$的坐标为________;
(3) 已知$P$为$y$轴上一点,当$BP+CP$的值最小时,这个最小值为________;
(4) 已知$Q$为$x$轴上一点.若$△ ABQ$的面积为$2$,求点$Q$的坐标.

11. (1) $△ ABC$ 如图所示:

(2) $(-4,3)$
(3) $\sqrt{45}$ 解析:作点 $B(2,0)$ 关于 $y$ 轴的对称点 $B'(-2,0)$,连接 $B'C$ 交 $y$ 轴于点 $P$,则此时 $BP+CP$ 的值最小,且最小值为 $B'C$ 的长. 因为 $C(4,3)$,所以 $B'C=\sqrt{(-2-4)^2+(0-3)^2}=\sqrt{45}.$
(4) 设 $Q(t,0).$ 因为 $S_{△ ABQ}=\frac{1}{2}BQ· OA=2$,所以 $\frac{1}{2}×|t-2|×1=2$,解得 $t=6$ 或 $-2.$ 所以点 $Q$ 的坐标为 $(6,0)$ 或 $(-2,0).$