4.「2026江苏盐城射阳期末」如图,点O在直线AB上,过O作射线OC,∠BOC=120°,直角三角板的直角顶点与点O重合,边OM与OB重合,边ON在直线AB的下方.若直角三角板绕点O按每秒20°的速度沿逆时针方向旋转一周,在旋转的过程中,第s时,直线ON平分∠AOC.

设第t s时,直线ON平分∠AOC,
因为$∠BOC=120°$,所以$∠AOC=180°-120°=60°$,
当ON在AB下方时,在NO的延长线上取一点P,见,
所以$∠BON=∠AOP=\frac{1}{2}∠AOC=30°$,
所以直角三角板旋转的角度为$90°-30°=60°$,
所以$t=60°÷20°=3$;
当ON在AB上方时,在NO的延长线上取一点Q,见,
所以$∠BOQ=∠AON=\frac{1}{2}∠AOC=30°$,
$∠MOQ=180°-∠MON=90°$,
所以直线三角板旋转的角度为$360°-90°-30°=240°$,
所以$t=240°÷20°=12$.
综上所述,t的值为3或12.

5.「2026河北石家庄期中节选」如图，直线AB,CD相交于点O，直角三角板EOF的直角顶点与点O重合，回答下列问题：
(1)若OE平分∠AOC，判断OF是否平分∠AOD，请说明理由.
(2)绕点O转动直角三角板.在直角三角板转动的过程中，若∠AOC：∠BOC=2：3，且∠DOF=50°，求∠AOE的度数.

(1)OF平分$∠AOD$.理由如下：
因为$∠EOF=90°$,所以$∠AOE+∠AOF=90°$,$∠COE+∠DOF=180°-∠EOF=90°$,
所以$∠AOE=90°-∠AOF$,$∠COE=90°-∠DOF$,
因为OE平分$∠AOC$,所以$∠COE=∠AOE$,
所以$∠DOF=∠AOF$(等角的余角相等),
所以OF平分$∠AOD$.
(2)因为$∠AOC+∠BOC=180°$,$∠AOC:∠BOC=2:3$,
所以$∠AOC=180°×\frac{2}{5}=72°$,$∠BOC=180°×\frac{3}{5}=108°$,
因为$∠BOD=∠AOC$,$∠AOD=∠BOC$,
所以$∠BOD=72°$,$∠AOD=108°$,
当OF在CD左侧时,见,
因为$∠AOF+∠DOF=∠AOD=108°$,$∠DOF=50°$,
所以$∠AOF=∠AOD-∠DOF=108°-50°=58°$,
因为$∠EOF=90°$,所以$∠AOE=∠EOF-∠AOF=32°$;
当OF在CD右侧时,见,
因为$∠EOF=90°$,$∠DOF=50°$,
所以$∠EOD=∠EOF-∠DOF=40°$,
所以$∠AOE=∠AOD-∠EOD=108°-40°=68°$.
综上所述,$∠AOE$的度数为$32°$或$68°$.

6. 聚焦 中考 项目式学习 「2026江苏镇江期末」钟面上的数学.
【基本概念】钟面角是指时钟的时针与分针所成的角.如图1,∠AOB即为某一时刻的钟面角(时针用OA表示,分针用OB表示),一般地,0°≤∠AOB≤180°.时针和分针一直绕点O顺时针旋转,时针每小时转动的角度是30°,分针每小时转动一周,角度为360°,由此可知:
(1)时针每分钟转动 °,分针每分钟转动 °.八点时,时针和分针形成的钟面角为 °.
【深入探究】
(2)如图2,记钟面上刻度为1的点为C,若现在钟面显示时间为12:00,在13:00之前,经过多少分钟,射线OA,OB,OC中,恰有一条是另两条射线所成角的平分线?
【实际应用】
(3)小明为了研究钟面角便观察教室墙上的钟,但由于电池电量较低,小明教室时钟的时针和分针比正常的钟走的要慢(但仍保持匀速转动).小明发现第一节课的上课时间为8:00,但上课铃响时,钟面显示时间为7:55,第一节课的下课铃响时,钟面显示时间为8:25,已知一节课时长为40分钟,从小明发现教室的钟面显示时间为8:00时,再经过 分钟,时针和分针第一次重合.

(1)0.5；6；120
(2)设经过x分钟满足题意,记钟面上刻度为12的点为D,则$∠DOC=30°$,
由题意知,有OC平分∠AOB,OB平分∠AOC两种情况.
①当OC平分∠AOB时,
$∠AOC=(30-0.5x)°$,$∠BOC=(6x-30)°$,
则$30-0.5x=6x-30$,解得$x=\frac{120}{13}$.
②当OB平分∠AOC时,
$∠AOB=(6x-0.5x)°$,$∠BOC=(30-6x)°$,
则$6x-0.5x=30-6x$,解得$x=\frac{60}{23}$.
综上所述,经过$\frac{120}{13}$分钟或$\frac{60}{23}$分钟,射线OA,OB,OC中,恰有一条是另两条射线所成角的平分线.
(3)由题意知实际时间40分钟慢钟走了30分钟,
所以慢钟速度为正常时钟速度的$\frac{30}{40}=\frac{3}{4}$,
则慢钟时针每分钟转$0.5°×\frac{3}{4}=(\frac{3}{8})°$,
慢钟分针每分钟转$6°×\frac{3}{4}=(\frac{9}{2})°$,
8:00时,时针与分针夹角为$4×30°=120°$,
设再经过t分钟,时针与分针第一次重合,
则$\frac{9}{2}t-\frac{3}{8}t=360-120$,解得$t=\frac{640}{11}$.