1. 聚焦中考 过程性学习 「2026江苏苏州昆山月考」通过研究发现，数轴上的点A和点B分别表示有理数a和b，那么线段AB的中点表示的数为$\frac{a+b}{2}$，点A,B之间的距离AB=|a−b|.
如图，A,B两点在数轴上分别表示有理数−3,9，点O为原点，点C在数轴上O,B两点之间，且OC=2.
(1)线段AB的中点表示的数为，线段BC=.
(2)动点P从点C出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动，运动时间为t秒.
①若PC=3CQ，求t的值.
②若动点M同时从点A出发，以每秒4个单位长度的速度向右运动，与点Q相遇后，动点M立即以同样的速度返回.在此过程中，当t为何值时，点M恰好是线段PQ的中点？

(1) 3；7
①根据题意,得P表示的数为2−t,Q表示的数为9−2t,
所以PC=|2−2+t|=t,CQ=|9−2t−2|=|7−2t|,
因为PC=3CQ,
所以t=3|7−2t|,
所以t=3(7−2t)或t=−3(7−2t),
解得t=3或t=4.2.
②根据题意,得M,Q经过$\frac{9-(-3)}{4+2}=2$(秒)相遇,
当t≤2时,M表示的数是−3+4t,
所以$-3+4t=\frac{(2-t)+(9-2t)}{2}$,解得$t=\frac{17}{11}$;
当t＞2时,M表示的数为$-3+4×2-4(t-2)=13-4t$,
所以$13-4t=\frac{(2-t)+(9-2t)}{2}$,解得t=3.
所以当t的值为$\frac{17}{11}$或3时,点M恰好是线段PQ的中点.

2.「2026江苏南通启东期末节选」如图,已知线段AB,延长线段BA至点C,使$CB=\frac{4}{3}AB$.
(1)请根据题意将图形补充完整,直接写出AC=AB.
(2)设$AB=9\ \mathrm{cm}$,点D从点B出发,同时点E从点A出发,分别以$3\ \mathrm{cm/s}$,$1\ \mathrm{cm/s}$的速度沿直线AB向左运动.当点D在线段AB上运动时,求AD与CE的数量关系,并说明理由.

(1) 补充图形见
因为$CB=\frac{4}{3}AB$,所以$CA=BC-AB=\frac{1}{3}AB$.
(2)$AD=3CE$.理由:由(1)得$CA=\frac{1}{3}AB=3\ \mathrm{cm}$,
设运动的时间为t秒,则$DA=9-3t=3(3-t)\ \mathrm{cm}$,$CE=(3-t)\ \mathrm{cm}$,
所以$AD=3CE$.

3.「2026 四川成都七中期中节选」已知点 C 在线段 AB 上,AC=2BC,线段 DE 在线段 AB 上移动,且点 D 在点 E 的左侧,AB=18,DE=8.
(1)如图,当 E 为 BC 的中点时,求 AD 的长.
(2)点 F(异于 A,B,C 三点)在线段 AB 上,AF=3AD,CE+EF=3,求 AD 的长.

(1) 因为$AC=2BC$,$AB=18$,
所以$BC=\frac{1}{3}AB=6$,$AC=\frac{2}{3}AB=12$,
因为E为BC的中点,所以$CE=BE=3$,
因为$DE=8$,所以$CD=DE-CE=8-3=5$,
所以$AD=AC-CD=12-5=7$.
(2)设$AD=x$,则$AF=3x$,$DF=2x$,$AE=x+8$,
由(1)得$BC=6$,$AC=12$.
当点F与点C重合时,$3x=12$,解得$x=4$,
所以当$x＜4$时,点E和点F均在线段AC上(不与A,C重合),且$AF-AE=3x-(x+8)=2x-8＜0$,
所以$AF＜AE$,见,
所以$CE=AC-AE=12-(x+8)=4-x$,
$EF=AE-AF=(x+8)-3x=8-2x$,
由$CE+EF=3$,得$4-x+8-2x=3$,解得$x=3$;
当$x＞4$时,点E和点F均在线段BC上(不与B,C重合),且$AF-AE=3x-(x+8)=2x-8＞0$,所以$AF＞AE$,见,
所以$CE=AE-AC=(x+8)-12=x-4$,
$EF=AF-AE=3x-(x+8)=2x-8$,
由$CE+EF=3$,得$x-4+2x-8=3$,解得$x=5$.
综上所述,AD的长为3或5.