六、发展题。（共5分）
1. 先观察规律，再在()里填上适当的数。（2分）
$\frac{1}{2}=\frac{1}{3}+\frac{1}{6}$
$\frac{1}{3}=\frac{1}{4}+\frac{1}{12}$
$\frac{1}{4}=\frac{1}{5}+\frac{1}{20}$
(1)$\frac{1}{5}=\frac{1}{(\quad)}+\frac{1}{(\quad)}$
(2)$\frac{1}{(\quad)}=\frac{1}{8}+\frac{1}{(\quad)}$

(1)$\frac{1}{5}=\frac{1}{6}+\frac{1}{30}$ (2)$\frac{1}{7}=\frac{1}{8}+\frac{1}{56}$ 解析:$\frac{1}{n}=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n(n+1)}$,据此填空。

【分析】
先观察给出的三个等式，发现每个等式左边是分母为n的分数，右边是两个分数相加，其中第一个分数的分母比左边分数的分母大1，第二个分数的分母是左边分数分母与右边第一个分数分母的乘积，由此归纳出通用规律，再根据规律完成填空即可。
【解析】
通过观察已知等式，总结规律：对于n为大于1的自然数，有$\frac{1}{n}=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n(n+1)}$。
(1) 对于$\frac{1}{5}$，这里n=5，右边第一个分数的分母为$5+1=6$，第二个分数的分母为$5×6=30$，因此$\frac{1}{5}=\frac{1}{6}+\frac{1}{30}$；
(2) 已知右边第一个分数是$\frac{1}{8}$，即$n+1=8$，则$n=7$，第二个分数的分母为$7×8=56$，因此$\frac{1}{7}=\frac{1}{8}+\frac{1}{56}$。
【答案】(1)$\frac{1}{5}=\frac{1}{6}+\frac{1}{30}$；(2)$\frac{1}{7}=\frac{1}{8}+\frac{1}{56}$
【知识点】找规律、分数运算
【点评】本题是分数形式的规律探究题，通过观察已知等式的分母变化归纳拆分规律，考查学生的观察能力与归纳总结能力，属于基础题型。
【难度系数】0.6

2.棱长为2cm的正方体重叠放置(如下图所示)。(3分)
(1)请你仔细观察,求出各个几何体的表面积。

24cm² ()cm² ()cm²
(2)如果继续叠,叠到10层时,这个几何体的表面积是()cm²。

(1)72 144 解析:第2幅图表面积是3个正方体的表面积,第3幅图是6个正方体的表面积。(2)1320 解析:叠到10层时表面积是55个正方体的表面积。

【分析】首先观察堆叠的正方体几何体，从前后、左右、上下六个方向看，每个方向的正方形面数等于该层数的三角形数（即1+2+…+n）。单个正方体表面积为24cm²，可通过计算六个方向的总面数求表面积，也能归纳出规律：第n层时，正方体总个数为1+2+…+n，表面积等于总个数乘以单个正方体表面积，据此逐步求解。
【解析】1. 单个正方体每个面的面积：24÷6=4(cm²)。2. 第2个几何体（2层）：每个方向的面数为1+2=3，总面数=6×3=18，表面积=18×4=72(cm²)。3. 第3个几何体（3层）：每个方向的面数为1+2+3=6，总面数=6×6=36，表面积=36×4=144(cm²)。4. 推导规律：第n层时，正方体总个数为1+2+…+n = n(n+1)/2，因此表面积=总个数×24 = [n(n+1)/2]×24 =12n(n+1)。当n=10时，表面积=12×10×11=1320(cm²)。
【答案】(1)72；144 (2)1320
【知识点】立体图形表面积、找规律
【点评】本题结合正方体堆叠考查表面积计算，核心是通过空间观察归纳层数与表面积的规律，需要学生具备空间想象和总结能力，是几何与规律结合的典型题目。
【难度系数】0.4