一、选择题
1. 正多边形的一部分如图所示,若$∠ ACB=18°$,则该正多边形的边数为 （）

A.7
B.8
C.9
D.10

1. D 解析:如图,连接OA、OB,
∵∠ACB=18°,
∴∠AOB=2∠ACB=36°,即$\frac{360°}{n}=36°$,
∴n=10,即这个正多边形是正十边形.

【分析】
要计算该正多边形的边数，需利用圆周角定理和正多边形中心角的性质。首先连接正多边形的中心与弧AB对应的两个顶点，得到圆心角；再根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，求出圆心角的度数；最后利用正多边形中心角之和为360°，计算边数。
【解析】
连接OA、OB，
∵∠ACB是弧AB所对的圆周角，∠AOB是弧AB所对的圆心角，
根据圆周角定理：同弧所对的圆心角等于同弧所对圆周角的2倍，
∴∠AOB = 2∠ACB = 2×18° = 36°。
设该正多边形的边数为n，正多边形的中心角之和为360°，则每个中心角为$\frac{360°}{n}$，因此：
$\frac{360°}{n} = 36°$，
解得n=10，故该正多边形的边数为10，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
圆周角定理、正多边形中心角
【点评】
本题结合正多边形考查圆周角定理的应用，解题核心是利用圆周角定理求出正多边形的中心角，再通过中心角与边数的关系计算结果，属于基础题型，难度适中。
【难度系数】
0.6

2. 如图,$AB$是半圆$O$的直径,点$C$、$D$在半圆$O$上.若$∠ CAB=28°$,则$∠ ADC$的度数为 （）

A.$152°$
B.$142°$
C.$118°$
D.$108°$

2. C 解析:如图,连接BC.
∵AB是半圆O的直径,
∴∠ACB=90°,
∴∠BAC+∠ABC=90°.又
∵∠CAB=28°,
∴∠ABC=62°.又
∵A、B、D、C四点共圆,
∴∠ABC+∠ADC=180°,
∴∠ADC=180°−∠ABC=180°−62°=118°.

【分析】要解决该问题，需利用圆周角相关性质逐步推导：首先，AB是半圆直径，根据直径所对圆周角为直角，连接辅助线BC构造直角三角形，求出∠ABC的度数；再依据圆内接四边形的对角互补，计算出∠ADC的度数。具体思路：1. 连接BC，利用直径性质得∠ACB=90°；2. 在Rt△ABC中，结合已知∠CAB=28°算出∠ABC；3. 利用圆内接四边形对角互补，由∠ABC求出∠ADC。
【解析】连接BC，
∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角为直角），
在Rt△ABC中，∠BAC + ∠ABC = 90°，
又
∵∠CAB=28°，
∴∠ABC=90°−28°=62°，
∵A、B、C、D四点共圆，
∴四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠ABC + ∠ADC=180°（圆内接四边形的对角互补），
∴∠ADC=180°−62°=118°。
【答案】C
【知识点】圆周角定理，圆内接四边形性质
【点评】本题考查圆周角定理与圆内接四边形的性质，解题关键是添加辅助线BC，利用直径的直角性质和圆内接四边形对角互补的规律求解，属于基础题型，难度适中。
【难度系数】0.6

3. 如图,$AB$是$\odot O$的直径,$PA$与$\odot O$相切于点$A$,$BC// OP$交$\odot O$于点$C$.若$∠ B=70°$,则$∠ OPC$的度数为（）

A.$10°$
B.$20°$
C.$30°$
D.$40°$

3. B 解析:如图,连接OC.
∵PA与$\odot O$相切,
∴∠PAO=90°.
∵OC=OB,
∴∠OCB=∠B=70°.
∵BC//OP,
∴∠AOP=∠B=70°,∠COP=∠OCB=70°,
∴∠OPA=180°−∠PAO−∠AOP=180°−90°−70°=20°.在$△ AOP$和$△ COP$中,$\begin{cases} OA=OC, \\ ∠AOP=∠COP=70°, \\ OP=OP, \end{cases}$
∴$△ AOP≌△ COP(\mathrm{SAS})$,
∴∠OPC=∠OPA=20°.

【分析】
要解决本题，需先添加辅助线OC，结合切线性质、等腰三角形性质、平行线性质推导角度，再通过全等三角形的判定与性质转化所求角，最终计算出结果。步骤为：1. 利用切线性质得∠PAO=90°；2. 由OC=OB得∠OCB=∠B=70°；3. 根据BC//OP，得∠AOP=∠B、∠COP=∠OCB，均为70°；4. 证明△AOP≌△COP，得∠OPC=∠OPA；5. 在Rt△AOP中计算∠OPA，得到∠OPC的度数。
【解析】
如图，连接OC。
∵PA与⊙O相切于点A，
∴∠PAO=90°。
∵OC=OB（均为⊙O的半径），
∴△OCB为等腰三角形，∠OCB=∠B=70°。
∵BC//OP，
∴∠AOP=∠B=70°，∠COP=∠OCB=70°。
在△AOP和△COP中：
$\begin{cases} OA=OC, \\ ∠AOP=∠COP=70°, \\ OP=OP, \end{cases}$
∴△AOP≌△COP（SAS），
∴∠OPC=∠OPA。
在Rt△AOP中，∠OPA=180°−∠PAO−∠AOP=180°−90°−70°=20°，
∴∠OPC=20°。
【答案】
B
【知识点】
切线的性质、全等三角形的判定、平行线的性质
【点评】
本题综合考查圆的性质与三角形相关知识，辅助线OC的添加是解题突破口，通过全等三角形转化角度简化计算，属于中等难度的几何题。
【难度系数】
0.4

4. 如图,等边三角形$ABC$内接于$\odot O$,若$\odot O$的半径为3,则图中阴影部分的面积等于（）

A.$3π$
B.$4π$
C.$\dfrac{3}{2}π$
D.$2π$

4. A 解析:如图,连接OC,则OB=OC.又
∵$△ ABC$是等边三角形,
∴∠ABC=60°,AB=AC.在$△ AOB$和$△ AOC$中,$\begin{cases} AB=AC, \\ OA=OA, \\ OB=OC, \end{cases}$
∴$△ AOB≌△ AOC(\mathrm{SSS})$,
∴$S_{△ AOB}=S_{△ AOC}$,
∴图中阴影部分面积等于扇形AOC的面积.又
∵∠AOC=2∠ABC=2×60°=120°,
∴$S_{\mathrm{阴影部分}}=\frac{120π×3^2}{360}=3π$.

【分析】
要计算阴影部分面积，可利用转化思想，结合全等三角形的性质将不规则阴影面积转化为规则扇形的面积。先连接OC，利用等边三角形性质和全等三角形判定得到△AOB与△AOC面积相等，从而将阴影部分面积转化为扇形AOC的面积；再通过圆周角定理求出扇形圆心角，最后代入扇形面积公式计算即可。
【解析】
连接OC，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠ABC=60°，
又
∵OA、OB、OC均为⊙O的半径，即OA=OB=OC，
在△AOB和△AOC中，
$\begin{cases} AB=AC \\ OA=OA \\ OB=OC \end{cases}$
∴△AOB≌△AOC（SSS），
∴$S_{△AOB}=S_{△AOC}$，
因此图中阴影部分的面积等于扇形AOC的面积。
根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，
∴∠AOC=2∠ABC=2×60°=120°，
代入扇形面积公式$S=\frac{nπr^2}{360}$（n为圆心角度数，r为半径），其中n=120°，r=3，
得：$S_{阴影}=\frac{120π×3^2}{360}=3π$。
【答案】
A
【知识点】
扇形面积计算、圆周角定理、全等三角形判定
【点评】
本题通过转化思想简化阴影面积计算，结合等边三角形性质、全等三角形判定和圆周角定理，考查几何图形面积的综合运用，难度适中。
【难度系数】
0.6

5. 若圆锥的底面半径为6，侧面展开扇形的圆心角为$120^{\circ }$，则圆锥的母线长是.

5. 18 解析:设圆锥的母线长为l.根据题意,得$2π×6=\frac{120πl}{180}$,解得l=18,
∴圆锥的母线长为18.

【分析】
解决本题的关键是明确圆锥侧面展开图的核心性质：圆锥的侧面展开图是一个扇形，该扇形的弧长等于圆锥底面的周长。我们可以设圆锥的母线长为$ l $，分别计算出圆锥底面的周长和侧面展开扇形的弧长，再根据“两者相等”的等量关系列方程求解。
【解析】
设圆锥的母线长为$ l $。
1. 计算圆锥底面周长：已知底面半径为6，根据圆的周长公式，底面周长$ C = 2π r = 2π × 6 = 12π $。
2. 计算侧面展开扇形的弧长：扇形圆心角为$ 120° $，根据扇形弧长公式$ L = \frac{nπ l}{180} $（$ n $为圆心角度数），得弧长$ L = \frac{120π l}{180} $。
3. 列方程求解：因为扇形弧长等于圆锥底面周长，所以$ 12π = \frac{120π l}{180} $，两边同除以$ π $得$ 12 = \frac{120l}{180} $，化简后解得$ l = 18 $。
【答案】
18
【知识点】
圆锥的侧面展开图、弧长公式
【点评】
本题考查圆锥侧面展开图的基础性质，核心是掌握“扇形弧长等于圆锥底面周长”的关键关系，属于初中数学圆锥部分的基础常考题，难度较低。
【难度系数】
0.7

6. 如图,正方形$ABCD$的边长是2,延长$AB$到点$E$,以点$A$为圆心、$AE$的长为半径的弧恰好经过正方形的顶点$C$,则$\overset{\frown}{CE}$的长是.

6. $\frac{\sqrt{2}π}{2}$ 解析:如图,连接AC.
∵正方形ABCD的边长是2,
∴AB=BC=2,∠EAC=45°,
∴$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$,
∴$\overset{\frown}{CE}$的长度为$\frac{45π×2\sqrt{2}}{180}=\frac{\sqrt{2}π}{2}$.

【分析】要计算弧$\overset{\frown}{CE}$的长度，需先确定弧所在圆的半径和圆心角。根据题意，弧$\overset{\frown}{CE}$以点$A$为圆心，因此半径$AE=AC$，结合正方形的性质，先求出对角线$AC$的长度，再确定圆心角$∠ EAC$的度数，最后利用弧长公式计算即可。
【解析】连接$AC$，
∵ 四边形$ABCD$是正方形，边长为2，
∴ $AB=BC=2$，$∠ EAC=∠ BAC=45°$，
根据勾股定理，对角线$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，
根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$（其中$n$为圆心角度数，$r$为半径），
代入$n=45°$，$r=AC=2\sqrt{2}$，
得$\overset{\frown}{CE}$的长度为$\frac{45π × 2\sqrt{2}}{180}=\frac{\sqrt{2}π}{2}$。
【答案】$\frac{\sqrt{2}π}{2}$
【知识点】弧长计算、正方形性质
【点评】本题结合正方形的性质和弧长公式进行计算，关键是确定弧的半径和圆心角，属于基础几何计算题，难度适中。
【难度系数】0.6

7. 如图,将扇形$AOB$翻折,使点$A$与圆心$O$重合,展开后折痕所在直线$l$与$\overset{\frown}{AB}$交于点$C$,连接$AC$.若$OA=2$,则图中阴影部分的面积是.

7. $\frac{2π}{3}-\sqrt{3}$ 解析:如图,连接OC.设直线l与AO的交点为D.
∵在扇形AOB中,OA=2,
∴OC=OA=2.
∵翻折后点A与圆心O重合,
∴AD=OD=1,CD⊥AO,
∴OC=AC,
∴OA=OC=AC=2,
∴$△ OAC$是等边三角形,∠COD=60°.在$\mathrm{Rt}△ ODC$中,$CD=\sqrt{OC^2-OD^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$,
∴阴影部分的面积为$\frac{60}{360}×π×2^2-\frac{1}{2}×2×\sqrt{3}=\frac{2π}{3}-\sqrt{3}$.

【分析】
要计算阴影部分面积，需利用折叠性质确定折痕是AO的垂直平分线，进而判断△OAC为等边三角形，将阴影部分面积转化为扇形OAC面积减去△OAC面积，再分别计算两部分面积即可。
【解析】
连接OC，设直线l与AO交于点D。
1. 由折叠性质可知，折痕l是线段AO的垂直平分线，因此AD=OD=½OA=1，且CD⊥AO。
2. 因为OC=OA=2（扇形半径），所以AC=OC=OA=2，故△OAC是等边三角形，∠AOC=60°。
3. 在Rt△ODC中，由勾股定理得：CD=√(OC² - OD²)=√(2² -1²)=√3。
4. 计算面积：
扇形OAC的面积：$\frac{60°}{360°}×π×OA^2=\frac{1}{6}×π×2^2=\frac{2π}{3}$；
△OAC的面积：$\frac{1}{2}×OA×CD=\frac{1}{2}×2×\sqrt{3}=\sqrt{3}$；
5. 阴影部分面积=扇形OAC面积 - △OAC面积=$\frac{2π}{3}-\sqrt{3}$。
【答案】

【知识点】
折叠的性质、等边三角形判定、扇形面积计算
【点评】
本题结合折叠性质，考查等边三角形判定及扇形面积计算，需掌握垂直平分线性质、勾股定理和扇形面积公式，是中等难度的几何面积计算问题。
【难度系数】
0.5

8. 如图,在矩形$ABCD$中,$AB=4$,$AD=3$,$M$、$N$分别是边$BC$、$DC$上的点.若$\odot O$经过点$A$,且分别与边$BC$、$DC$相切于点$M$、$N$,则$\odot O$的半径为.

8. $7-2\sqrt{6}$ 解析:如图,连接ON、OM,延长NO交AB于点E,设$\odot O$的半径为r.
∵$\odot O$与边BC、DC分别相切于点M、N,
∴OM⊥BC,ON⊥CD.
∵AB//CD,
∴NE⊥AB.
∵∠B=∠C=90°,
∴四边形BMOE和四边形OMCN都是矩形,
∴BE=OM=r,OE=BM,CM=ON=r,
∴OE=BM=BC−CM=3−r,AE=AB−BE=4−r.在$\mathrm{Rt}△ AEO$中,
∵$OE^2+AE^2=OA^2$,
∴$(3−r)^2+(4−r)^2=r^2$,解得$r_1=7−2\sqrt{6}$,$r_2=7+2\sqrt{6}$(不符合题意,舍去),
∴$\odot O$的半径为$7-2\sqrt{6}$.

【分析】
要解决这个问题，我们可以利用圆的切线性质和矩形的性质，通过设圆的半径为未知数，构造直角三角形，结合勾股定理建立方程求解。首先连接圆心与切点，利用切线垂直于过切点的半径得到垂直关系，再结合矩形的边平行推出辅助线垂直于AB，进而得到直角三角形，最后用勾股定理列方程解出半径，舍去不符合实际的解。
【解析】
设$\odot O$的半径为$r$，连接$OM$、$ON$，延长$NO$交$AB$于点$E$。
因为$\odot O$与边$BC$、$DC$分别相切于点$M$、$N$，根据切线的性质，得$OM ⊥ BC$，$ON ⊥ CD$。
又因为四边形$ABCD$是矩形，所以$AB // CD$，$∠ B = ∠ C = 90°$，因此$NE ⊥ AB$，四边形$BMOE$和四边形$OMCN$都是矩形。
由此可得：$BE = OM = r$，$CM = ON = r$，$OE = BM = BC - CM = 3 - r$，$AE = AB - BE = 4 - r$。
在$\mathrm{Rt}△ AEO$中，根据勾股定理，$OE^2 + AE^2 = OA^2$，其中$OA$是$\odot O$的半径，即$OA = r$，代入得：
$(3 - r)^2 + (4 - r)^2 = r^2$
展开并整理方程：
$9 - 6r + r^2 + 16 - 8r + r^2 = r^2$
$r^2 - 14r + 25 = 0$
解这个一元二次方程，得：
$r = \frac{14 \pm \sqrt{14^2 - 4 × 1 × 25}}{2} = \frac{14 \pm 4\sqrt{6}}{2} = 7 \pm 2\sqrt{6}$
因为$7 + 2\sqrt{6} ＞ 4$，不符合矩形边长的实际情况，舍去，所以$\odot O$的半径为$7 - 2\sqrt{6}$。
【答案】
$7 - 2\sqrt{6}$
【知识点】
切线性质、矩形性质、勾股定理
【点评】
本题结合圆的切线性质与矩形性质，通过构造直角三角形，利用勾股定理建立方程求解，关键在于辅助线的构造和各边长度的推导，需要学生具备一定的几何综合分析能力。
【难度系数】
0.4