12. 如图,一次函数 $y=2x+b$ 与反比例函数 $y=\dfrac{k}{x}(k ≠ 0)$ 的图象相交于点 $A(3,10)$,与 $y$ 轴相交于点 $B$.
(1)求 $k$、$b$ 的值.
(2)$C$ 是 $x$ 轴上一点,若 $△ ABC$ 的面积为 24 ,求点 $C$ 的坐标.

12. (1)将点A(3,10)代入$y=\frac{k}{x}$,得k=30,将点A(3,10)代入$y=2x+b$,得$10=2×3+b$,解得b=4.
(2)对于$y=2x+4$,当x=0时,y=4,当y=0时,x=-2,
∴点B的坐标为(0,4),$y=2x+4$与x轴的交点E的坐标为(-2,0).过点A作AD⊥x轴于点D.
∵点A(3,10),B(0,4),E(-2,0),
∴AD=10,OD=3,OB=4,OE=2.
∵C是x轴上的一点,设点C的坐标为(t,0).分两种情况讨论如下:①如图1,当点C在x轴的正半轴上时,则OC=t,CE=t+2.
∵$S_{△ABC}=S_{△AEC}-S_{△BEC}=24$,
∴$\frac{1}{2}CE·AD-\frac{1}{2}CE·OB=24$,即$\frac{1}{2}(t+2)×10-\frac{1}{2}(t+2)×4=24$,解得t=6,
∴点C的坐标为(6,0);②如图2,当点C在x轴的负半轴上时,则OC=-t,CE=OC-OE=-t-2.
∵$S_{△ABC}=S_{△AEC}-S_{△BEC}=24$,
∴$\frac{1}{2}CE·AD-\frac{1}{2}CE·OB=24$,即$\frac{1}{2}(-t-2)×10-\frac{1}{2}(-t-2)×4=24$,解得t=-10,
∴点C的坐标为(-10,0).综上所述,点C的坐标为(6,0)或(-10,0).

【分析】
本题分为两小问，第(1)问利用函数图象上的点满足函数解析式，将交点A分别代入反比例函数和一次函数，即可求出k和b的值；第(2)问先求出一次函数与y轴交点B、与x轴交点E的坐标，再设x轴上点C的坐标为(t,0)，利用割补法将△ABC的面积转化为两个同底三角形（以CE为底）的面积差，结合面积为24列方程，分C在x轴正半轴和负半轴两种情况求解，即可得到点C的坐标。
【解析】
(1) 求k、b的值：
∵点A(3,10)在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上，
∴将A(3,10)代入得：$10=\frac{k}{3}$，解得$k=30$；
又
∵点A(3,10)在一次函数$y=2x+b$的图象上，
∴将A(3,10)代入得：$10=2×3 + b$，解得$b=4$。
(2) 求点C的坐标：
对于一次函数$y=2x+4$，
当$x=0$时，$y=4$，故B点坐标为$(0,4)$；
当$y=0$时，$0=2x+4$，解得$x=-2$，故一次函数与x轴交点E的坐标为$(-2,0)$。
设点C的坐标为$(t,0)$，分两种情况讨论：
① 当点C在x轴正半轴时，$t＞0$，此时$CE=t - (-2)=t+2$，
过A作$AD⊥x$轴于D，则$AD=10$，$OB=4$，
$S_{△ABC}=S_{△AEC}-S_{△BEC}=\frac{1}{2}×CE×AD - \frac{1}{2}×CE×OB$，
代入得：$\frac{1}{2}(t+2)×10 - \frac{1}{2}(t+2)×4=24$，
化简得：$3(t+2)=24$，解得$t=6$，故C点坐标为$(6,0)$；
② 当点C在x轴负半轴时，$t＜-2$，此时$CE=-2 - t$，
同理$S_{△ABC}=\frac{1}{2}(-t-2)×10 - \frac{1}{2}(-t-2)×4=24$，
化简得：$3(-t-2)=24$，解得$t=-10$，故C点坐标为$(-10,0)$。
综上，点C的坐标为$(6,0)$或$(-10,0)$。
【答案】
$k=30$，$b=4$；点C的坐标为$(6,0)$或$(-10,0)$

【知识点】
反比例函数、一次函数、三角形面积计算
【点评】
本题综合考查反比例函数与一次函数的交点问题，涉及待定系数法求函数解析式、三角形面积的割补法，解题时需注意分情况讨论点C的位置，避免漏解，是中等难度的常规题型。
【难度系数】
0.5

13. 如图,在平面直角坐标系中,直线 $y=mx+1$ 与双曲线 $y=\dfrac{k}{x}(x＞0)$ 相交于点 $A$,点 $C$ 在 $x$ 轴的正半轴上,点 $B(2,-3)$,连接 $AO、OB、BC、CA$,四边形 $AOB C$ 是菱形.
(1)求 $m$ 和 $k$ 的值.
(2)设 $P$ 是 $x$ 轴上的点,且 $S_{△ AOP}=S_{\mathrm{菱形}AOBC}$,求点 $P$ 的坐标.

13. (1)
∵点C在x轴的正半轴上,点B(2,-3),四边形AOBC是菱形,
∴点A与点B关于x轴对称,
∴A(2,3),
∵直线$y=mx+1$与双曲线$y=\frac{k}{x}(x＞0)$相交于点A,
∴k=6,$3=2m+1$,
∴m=1.
(2)
∵四边形AOBC是菱形,A(2,3),
∴C(4,0),
∴$S_{菱形AOBC}=2S_{△AOC}=2×\frac{1}{2}×4×3=12$,设点P的坐标为(x,0),
∴$S_{△AOP}=\frac{1}{2}×|x|×3=12$,解得$x=±8$,
∴P(8,0)或(-8,0).

【分析】
首先利用菱形的对称性确定点A的坐标，再将A点坐标代入直线和双曲线解析式求出m、k的值；接着根据菱形性质求出点C坐标，计算菱形面积，再结合三角形面积公式，通过面积相等建立方程求解点P的坐标。
【解析】
(1)
∵四边形AOBC是菱形，菱形的对角线互相垂直平分，OC在x轴上，
∴点A与点B关于x轴对称。已知B(2,-3)，则A(2,3)。
将A(2,3)代入直线$y=mx+1$，得$3=2m+1$，解得$m=1$；
将A(2,3)代入双曲线$y=\frac{k}{x}$，得$3=\frac{k}{2}$，解得$k=6$。
(2)
∵四边形AOBC是菱形，A(2,3)，菱形对角线OC与AB互相垂直平分，
∴OC长度为$2×2=4$，即C(4,0)。
菱形AOBC的面积：$S_{菱形AOBC}=2S_{△AOC}=2×\frac{1}{2}×4×3=12$。
设P(x,0)，则$S_{△AOP}=\frac{1}{2}×|x|×3$，由$S_{△AOP}=S_{菱形AOBC}$得：
$\frac{1}{2}×|x|×3=12$，解得$|x|=8$，即$x=8$或$x=-8$，故P(8,0)或(-8,0)。
【答案】
(1) $m=1$，$k=6$；(2) $P(8,0)$或$(-8,0)$
【知识点】
反比例函数解析式、一次函数解析式、菱形的性质
【点评】
本题结合一次函数、反比例函数与菱形性质，考查坐标与图形的关系，解题关键是利用菱形对称性确定点A坐标，通过面积相等建立方程，综合性适中，需掌握函数解析式求法和菱形面积计算。
【难度系数】
0.6

14. 如图,在平面直角坐标系中,一次函数$y=kx+b$与反比例函数$y=\dfrac{3}{x}(x＞0)$的图象交于$A(1,m)$、$B(n,1)$两点,与$y$轴交于点$M$,与$x$轴交于点$N$.
(1)求直线$AB$的表达式.
(2)当$kx+b-\dfrac{3}{x}＜0$时,$x$的取值范围为.
(3)如图,$y$轴正半轴上有一点$P$,$OP=2$,连接$AP$、$OB$,求四边形$OPAB$的面积.

14. (1)把A(1,m)、B(n,1)分别代入$y=\frac{3}{x}(x＞0)$,得$m=\frac{3}{1}$,$1=\frac{3}{n}$,
∴m=3,n=3,
∴A(1,3),B(3,1).把A(1,3)、B(3,1)代入$y=kx+b$,得$\begin{cases}3=k+b,\\1=3k+b,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-1,\\b=4,\end{cases}$
∴直线AB的表达式为$y=-x+4$.
(2)$0＜x＜1$或$x＞3$
(3)如图,过点B作BE⊥y轴于点E,过点A作AF⊥y轴于点F,
∵直线AB的表达式为$y=-x+4$,
∴点M的坐标为(0,4),
∴PM=OM-OP=4-2=2,
∵A(1,3),B(3,1),
∴AF=1,BE=3,
∴四边形OPAB的面积=$S_{△OBM}-S_{△PAM}=\frac{1}{2}OM·BE-\frac{1}{2}PM·AF=\frac{1}{2}×4×3-\frac{1}{2}×2×1=5$.

【分析】
本题为一次函数与反比例函数的综合题，解题思路如下：
1. 求直线AB的表达式：利用反比例函数上的点满足解析式，先求出A、B两点坐标，再用待定系数法代入一次函数解析式，解方程组得到k、b的值，即可确定直线表达式；
2. 求不等式的x范围：不等式$kx+b-\dfrac{3}{x}＜0$等价于一次函数值小于反比例函数值，结合两函数交点A、B的横坐标，观察图像中一次函数在反比例函数下方的x区间，即可得到取值范围；
3. 求四边形OPAB的面积：通过作辅助线（过A、B作y轴垂线）确定各点坐标，用割补法将四边形面积转化为两个三角形面积的差，计算线段长度后代入面积公式求解。
【解析】
(1) 因为点$A(1,m)$、$B(n,1)$在反比例函数$y=\dfrac{3}{x}(x＞0)$的图象上，
将A代入得：$m=\dfrac{3}{1}=3$，将B代入得：$1=\dfrac{3}{n}$，解得$n=3$，
故$A(1,3)$，$B(3,1)$。
把A、B代入一次函数$y=kx+b$，得方程组：
$\begin{cases}3 = k + b \\1 = 3k + b\end{cases}$
用减法消元：$1-3=3k + b - (k + b)$，即$-2=2k$，解得$k=-1$；
将$k=-1$代入$3 = k + b$，得$3=-1 + b$，解得$b=4$，
因此直线AB的表达式为$y=-x+4$。
(2) 不等式$kx+b-\dfrac{3}{x}＜0$即一次函数值小于反比例函数值，
观察$x＞0$时两函数图像，交点为$A(1,3)$、$B(3,1)$，
当$0＜x＜1$或$x＞3$时，一次函数图像在反比例函数下方，
故x的取值范围为$0＜x＜1$或$x＞3$。
(3) 求四边形OPAB的面积：
直线AB与y轴交于M，令$x=0$，代入$y=-x+4$得$y=4$，故$M(0,4)$；
已知$OP=2$，P在y轴正半轴，故$P(0,2)$，则$PM=OM - OP=4-2=2$；
过A作$AF⊥y$轴于F，过B作$BE⊥y$轴于E，由$A(1,3)$得$AF=1$，由$B(3,1)$得$BE=3$；
根据割补法，$S_{四边形OPAB}=S_{△ OBM}-S_{△ PAM}$，
计算得：$S_{△ OBM}=\dfrac{1}{2}×OM×BE=\dfrac{1}{2}×4×3=6$，$S_{△ PAM}=\dfrac{1}{2}×PM×AF=\dfrac{1}{2}×2×1=1$，
故四边形OPAB的面积为$6-1=5$。
【答案】
(1) $y=-x+4$；(2) $0＜x＜1$或$x＞3$；(3) $5$
【知识点】
反比例函数、一次函数、图形面积计算
【点评】
本题融合了反比例函数与一次函数的解析式求解、函数不等式的图像对应关系，以及割补法求图形面积，考查学生对函数图像性质的应用能力，属于中等难度的函数综合题。
【难度系数】
0.5