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7. 如图,$M$是反比例函数$y=\dfrac{k}{x}(k≠0)$图象上的一点,$MN⊥ x$轴于点$N$.若$S_{△ MNO}=2$,则$k$的值为
-4
.答案
7. -4 解析:设M($a$,$\frac{k}{a}$),
∵MN⊥x轴,垂足为N,
∴MN=$\frac{k}{a}$,ON=-a,
∴$S_{△MON}=\frac{1}{2}ON·MN=\frac{1}{2}·(-a)·\frac{k}{a}=-\frac{k}{2}=2$,
∴k=-4.
∵MN⊥x轴,垂足为N,
∴MN=$\frac{k}{a}$,ON=-a,
∴$S_{△MON}=\frac{1}{2}ON·MN=\frac{1}{2}·(-a)·\frac{k}{a}=-\frac{k}{2}=2$,
∴k=-4.
解析
【分析】
要解决本题，需利用反比例函数中k的几何意义：过反比例函数图象上任意一点作x轴（或y轴）的垂线，该点与垂足、原点构成的三角形面积为$\frac{1}{2}|k|$。解题时先设出点M的坐标，结合点所在象限确定坐标符号，再根据三角形面积公式建立关于k的方程，进而求出k的值。
【解析】
设点M的坐标为$(a, \frac{k}{a})$，
因为$MN⊥x$轴，垂足为N，所以N点坐标为$(a,0)$，
由图象可知点M在第二象限，因此$a＜0$，$\frac{k}{a}＞0$，可得$k＜0$，
则$ON=|a|=-a$，$MN=|\frac{k}{a}|=\frac{k}{a}$，
根据三角形面积公式，$S_{△MNO}=\frac{1}{2}·ON·MN=\frac{1}{2}·(-a)·\frac{k}{a}=-\frac{k}{2}$，
已知$S_{△MNO}=2$，所以$-\frac{k}{2}=2$，
解得$k=-4$。
【答案】
-4
【知识点】
反比例函数k的几何意义，三角形面积计算
【点评】
本题考查反比例函数中k的几何意义，解题关键是注意点所在象限对应的坐标符号，避免符号错误导致结果偏差，属于基础题型，难度适中。
【难度系数】
0.6
要解决本题，需利用反比例函数中k的几何意义：过反比例函数图象上任意一点作x轴（或y轴）的垂线，该点与垂足、原点构成的三角形面积为$\frac{1}{2}|k|$。解题时先设出点M的坐标，结合点所在象限确定坐标符号，再根据三角形面积公式建立关于k的方程，进而求出k的值。
【解析】
设点M的坐标为$(a, \frac{k}{a})$，
因为$MN⊥x$轴，垂足为N，所以N点坐标为$(a,0)$，
由图象可知点M在第二象限，因此$a＜0$，$\frac{k}{a}＞0$，可得$k＜0$，
则$ON=|a|=-a$，$MN=|\frac{k}{a}|=\frac{k}{a}$，
根据三角形面积公式，$S_{△MNO}=\frac{1}{2}·ON·MN=\frac{1}{2}·(-a)·\frac{k}{a}=-\frac{k}{2}$，
已知$S_{△MNO}=2$，所以$-\frac{k}{2}=2$，
解得$k=-4$。
【答案】
-4
【知识点】
反比例函数k的几何意义，三角形面积计算
【点评】
本题考查反比例函数中k的几何意义，解题关键是注意点所在象限对应的坐标符号，避免符号错误导致结果偏差，属于基础题型，难度适中。
【难度系数】
0.6
8. 如图,一次函数$y_{1}=k_{1}x+b_{1}$的图象与反比例函数$y_{2}=\dfrac{k_{2}}{x}$的图象相交于$A(5,m)$、$B(-1,n)$两点,则不等式$k_{1}(x-1)+b_{1}＞\dfrac{k_{2}}{x-1}$的解集是
$x＞6$或$0＜x＜1$
.答案
8. $x＞6$或$0＜x＜1$ 解析:
∵一次函数$y_1=k_1x+b_1$的图象与反比例函数$y_2=\frac{k_2}{x}$的图象相交于A(5,m)、B(-1,n)两点,
∴当$y_1＞y_2$时,x的取值范围为$x＞5$或$-1＜x＜0$,
∵一次函数$y_1=k_1x+b_1$的图象向右平移1个单位长度得到$y=k_1(x-1)+b_1$,反比例函数$y_2=\frac{k_2}{x}$的图象向右平移1个单位长度得到$y=\frac{k_2}{x-1}$,
∴不等式$k_1(x-1)+b_1＞\frac{k_2}{x-1}$的解集是$x＞6$或$0＜x＜1$.
∵一次函数$y_1=k_1x+b_1$的图象与反比例函数$y_2=\frac{k_2}{x}$的图象相交于A(5,m)、B(-1,n)两点,
∴当$y_1＞y_2$时,x的取值范围为$x＞5$或$-1＜x＜0$,
∵一次函数$y_1=k_1x+b_1$的图象向右平移1个单位长度得到$y=k_1(x-1)+b_1$,反比例函数$y_2=\frac{k_2}{x}$的图象向右平移1个单位长度得到$y=\frac{k_2}{x-1}$,
∴不等式$k_1(x-1)+b_1＞\frac{k_2}{x-1}$的解集是$x＞6$或$0＜x＜1$.
解析
【分析】
要解不等式$k_{1}(x-1)+b_{1}＞\dfrac{k_{2}}{x-1}$，可利用函数图象平移的性质：目标不等式是原一次函数、原反比例函数同时向右平移1个单位后得到的新函数的大小关系，因此只需先求出原函数$y_1＞y_2$的解集，再将解集中的$x$替换为$x-1$，即可得到目标不等式的解集。
【解析】
1. 由一次函数$y_1=k_1x+b_1$与反比例函数$y_2=\dfrac{k_2}{x}$的交点$A(5,m)$、$B(-1,n)$，结合图象可得：当$y_1＞y_2$时，$x$的取值范围为$x＞5$或$-1＜x＜0$。
2. 目标不等式$k_{1}(x-1)+b_{1}＞\dfrac{k_{2}}{x-1}$，对应原函数向右平移1个单位后的大小关系，因此将原不等式解集中的$x$替换为$x-1$，得到：
令$x-1＞5$，解得$x＞6$；
令$-1＜x-1＜0$，两边加1得$0＜x＜1$。
3. 综上，不等式的解集为$x＞6$或$0＜x＜1$。
【答案】
$x＞6$或$0＜x＜1$
【知识点】
函数图象平移、反比例函数与不等式、一次函数性质
【点评】
本题通过函数平移转化不等式，核心是理解平移后函数与原函数的对应关系，将陌生问题转化为熟悉问题，考查了函数与不等式的结合应用，需要掌握图象平移的规律。
【难度系数】
0.5
要解不等式$k_{1}(x-1)+b_{1}＞\dfrac{k_{2}}{x-1}$，可利用函数图象平移的性质：目标不等式是原一次函数、原反比例函数同时向右平移1个单位后得到的新函数的大小关系，因此只需先求出原函数$y_1＞y_2$的解集，再将解集中的$x$替换为$x-1$，即可得到目标不等式的解集。
【解析】
1. 由一次函数$y_1=k_1x+b_1$与反比例函数$y_2=\dfrac{k_2}{x}$的交点$A(5,m)$、$B(-1,n)$，结合图象可得：当$y_1＞y_2$时，$x$的取值范围为$x＞5$或$-1＜x＜0$。
2. 目标不等式$k_{1}(x-1)+b_{1}＞\dfrac{k_{2}}{x-1}$，对应原函数向右平移1个单位后的大小关系，因此将原不等式解集中的$x$替换为$x-1$，得到：
令$x-1＞5$，解得$x＞6$；
令$-1＜x-1＜0$，两边加1得$0＜x＜1$。
3. 综上，不等式的解集为$x＞6$或$0＜x＜1$。
【答案】
$x＞6$或$0＜x＜1$
【知识点】
函数图象平移、反比例函数与不等式、一次函数性质
【点评】
本题通过函数平移转化不等式，核心是理解平移后函数与原函数的对应关系，将陌生问题转化为熟悉问题，考查了函数与不等式的结合应用，需要掌握图象平移的规律。
【难度系数】
0.5
9. 已知反比例函数 $y=-\dfrac{8}{x}(x＜0)$ 与一次函数 $y=-2x+1$ 的图象交于点 $A(m,n)$，则代数式
$\dfrac{1}{m}+\dfrac{2}{n}$ 的值为
$\dfrac{1}{m}+\dfrac{2}{n}$ 的值为
$-\dfrac{1}{8}$
.答案
9. $-\frac{1}{8}$ 解析:由题意可知,$n=-\frac{8}{m}$,$n=-2m+1$,
∴$mn=-8$,$n+2m=1$,
∴$\frac{1}{m}+\frac{2}{n}=\frac{n+2m}{mn}=\frac{1}{-8}=-\frac{1}{8}$.
∴$mn=-8$,$n+2m=1$,
∴$\frac{1}{m}+\frac{2}{n}=\frac{n+2m}{mn}=\frac{1}{-8}=-\frac{1}{8}$.
解析
【分析】
要解决这个问题，需利用函数交点的性质：交点坐标同时满足两个函数的解析式，由此得到关于m、n的关系式，再将所求代数式通分，整体代入计算即可，无需单独求出m、n的具体值。
【解析】
解：
∵点A(m,n)是反比例函数$y=-\dfrac{8}{x}(x＜0)$与一次函数$y=-2x+1$的交点，
∴点A的坐标同时满足两个函数解析式，即：
$n=-\dfrac{8}{m}$，$n=-2m+1$。
由$n=-\dfrac{8}{m}$，两边同乘m（m≠0）得：$mn=-8$；
由$n=-2m+1$，移项得：$2m + n = 1$。
对代数式$\dfrac{1}{m}+\dfrac{2}{n}$通分，得：
$\dfrac{1}{m}+\dfrac{2}{n}=\dfrac{n + 2m}{mn}$。
将$mn=-8$，$2m + n=1$代入上式，得：
$\dfrac{1}{m}+\dfrac{2}{n}=\dfrac{1}{-8}=-\dfrac{1}{8}$。
【答案】
$-\dfrac{1}{8}$
【知识点】
反比例函数交点、代数式求值
【点评】
本题考查函数交点性质与代数式整体代入求值，核心是利用交点坐标满足函数解析式得到m、n的关系，通过通分化简代数式，整体代入简化运算，避免了求解方程的繁琐，属于基础的函数与代数结合题。
【难度系数】
0.5
要解决这个问题，需利用函数交点的性质：交点坐标同时满足两个函数的解析式，由此得到关于m、n的关系式，再将所求代数式通分，整体代入计算即可，无需单独求出m、n的具体值。
【解析】
解：
∵点A(m,n)是反比例函数$y=-\dfrac{8}{x}(x＜0)$与一次函数$y=-2x+1$的交点，
∴点A的坐标同时满足两个函数解析式，即：
$n=-\dfrac{8}{m}$，$n=-2m+1$。
由$n=-\dfrac{8}{m}$，两边同乘m（m≠0）得：$mn=-8$；
由$n=-2m+1$，移项得：$2m + n = 1$。
对代数式$\dfrac{1}{m}+\dfrac{2}{n}$通分，得：
$\dfrac{1}{m}+\dfrac{2}{n}=\dfrac{n + 2m}{mn}$。
将$mn=-8$，$2m + n=1$代入上式，得：
$\dfrac{1}{m}+\dfrac{2}{n}=\dfrac{1}{-8}=-\dfrac{1}{8}$。
【答案】
$-\dfrac{1}{8}$
【知识点】
反比例函数交点、代数式求值
【点评】
本题考查函数交点性质与代数式整体代入求值，核心是利用交点坐标满足函数解析式得到m、n的关系，通过通分化简代数式，整体代入简化运算，避免了求解方程的繁琐，属于基础的函数与代数结合题。
【难度系数】
0.5
10. 如图,矩形$ABCD$的顶点$A$、$C$分别在第二、四象限,顶点$B$、$D$在反比例函数$y=\dfrac{k}{x}(k＞0)$的图象上,且$BD$经过原点$O$.点$E$在$x$轴的正半轴上,$DE$的中点$F$也在该反比例函数的图象上,且$DC$平分$∠ BDE$.若$△ ADE$的面积为$9$,则$k$的值为
6
.答案
10. 6 解析:如图,连接AC,过点D作DP⊥x轴于点P,过点F作FH⊥x轴于点H.
∵点B、D都在反比例函数$y=\frac{k}{x}(k＞0)$的图象上,BD经过原点,
∴OB=OD,
∵四边形ABCD是矩形,
∴AC经过原点O,
∴OD=OC,
∴∠ODC=∠OCD,
∵DC平分∠BDE,
∴∠ODC=∠EDC,
∴∠OCD=∠EDC,
∴DE//AC,
∴△ADE和△ODE的公共边DE上的高相同,
∴△ADE和△ODE的面积相等,
∵△ADE的面积为9,
∴△ODE的面积为9,
∵DP⊥x轴,FH⊥x轴,
∴FH//DP,
∵F是DE的中点,
∴FH是△DPE的中位线,
∴EH=PH,DP=2FH,设FH=a,则DP=2FH=2a,
∴F的纵坐标为a,点D的纵坐标为2a,
∵点F、D都在反比例函数$y=\frac{k}{x}(k＞0)$的图象上,
∴点F的坐标为$(\frac{k}{a},a)$,点D的坐标为$(\frac{k}{2a},2a)$,
∴OP=$\frac{k}{2a}$,OH=$\frac{k}{a}$,
∴PH=OH-OP=$\frac{k}{a}-\frac{k}{2a}=\frac{k}{2a}$,
∴EH=PH=$\frac{k}{2a}$,
∴OE=OP+EH+PH=$\frac{3k}{2a}$,
∵△ODE的面积为9,
∴$\frac{1}{2}OE·DP=9$,
∴$\frac{1}{2}·\frac{3k}{2a}·2a=9$,解得k=6.
解析
【分析】
首先利用反比例函数的对称性与矩形的性质，得出BD、AC均过原点，进而通过角平分线条件推导出DE//AC，将△ADE的面积转化为△ODE的面积；再结合F是DE中点，利用中位线性质得到DP与FH的数量关系，设坐标结合反比例函数表达式，最后通过△ODE的面积建立关于k的方程，求解得到k的值。
【解析】
如图，连接AC，过点D作DP⊥x轴于点P，过点F作FH⊥x轴于点H。
∵点B、D在反比例函数$ y=\frac{k}{x}(k＞0) $的图象上，且BD经过原点O，
∴由反比例函数的对称性得：$ OB=OD $。
∵四边形ABCD是矩形，
∴矩形对角线相等且互相平分，故AC经过原点O，且$ OD=OC $，
∴$ ∠ODC=∠OCD $。
又
∵DC平分$ ∠BDE $，
∴$ ∠ODC=∠EDC $，
∴$ ∠OCD=∠EDC $，
∴$ DE // AC $。
∵△ADE和△ODE同底DE，且高相同（平行线间的距离相等），
∴$ S_{△ADE}=S_{△ODE}=9 $。
∵F是DE的中点，$ DP⊥x轴 $，$ FH⊥x轴 $，
∴FH是△DPE的中位线，
∴$ DP=2FH $，$ PH=EH $。
设$ FH=a $，则$ DP=2a $，
∵F、D在反比例函数$ y=\frac{k}{x} $上，
∴F点坐标为$ (\frac{k}{a},a) $，D点坐标为$ (\frac{k}{2a},2a) $，
∴$ OP=\frac{k}{2a} $，$ OH=\frac{k}{a} $，
∴$ PH=OH-OP=\frac{k}{a}-\frac{k}{2a}=\frac{k}{2a} $，
∴$ EH=PH=\frac{k}{2a} $，
∴$ OE=OP+PH+EH=\frac{3k}{2a} $。
∵$ S_{△ODE}=9 $，
∴$ \frac{1}{2}·OE·DP=9 $，
代入$ OE=\frac{3k}{2a} $，$ DP=2a $，
得$ \frac{1}{2}·\frac{3k}{2a}·2a=9 $，化简得$ \frac{3k}{2}=9 $，解得$ k=6 $。
【答案】
6
【知识点】
反比例函数性质、矩形性质、三角形中位线定理
【点评】
本题综合考查反比例函数、矩形的性质及三角形面积的转化，关键在于利用对称性和平行线性质实现面积转化，结合中位线与反比例函数坐标特征建立关系，需较强几何转化能力，难度适中。
【难度系数】
0.5
首先利用反比例函数的对称性与矩形的性质，得出BD、AC均过原点，进而通过角平分线条件推导出DE//AC，将△ADE的面积转化为△ODE的面积；再结合F是DE中点，利用中位线性质得到DP与FH的数量关系，设坐标结合反比例函数表达式，最后通过△ODE的面积建立关于k的方程，求解得到k的值。
【解析】
如图，连接AC，过点D作DP⊥x轴于点P，过点F作FH⊥x轴于点H。
∵点B、D在反比例函数$ y=\frac{k}{x}(k＞0) $的图象上，且BD经过原点O，
∴由反比例函数的对称性得：$ OB=OD $。
∵四边形ABCD是矩形，
∴矩形对角线相等且互相平分，故AC经过原点O，且$ OD=OC $，
∴$ ∠ODC=∠OCD $。
又
∵DC平分$ ∠BDE $，
∴$ ∠ODC=∠EDC $，
∴$ ∠OCD=∠EDC $，
∴$ DE // AC $。
∵△ADE和△ODE同底DE，且高相同（平行线间的距离相等），
∴$ S_{△ADE}=S_{△ODE}=9 $。
∵F是DE的中点，$ DP⊥x轴 $，$ FH⊥x轴 $，
∴FH是△DPE的中位线，
∴$ DP=2FH $，$ PH=EH $。
设$ FH=a $，则$ DP=2a $，
∵F、D在反比例函数$ y=\frac{k}{x} $上，
∴F点坐标为$ (\frac{k}{a},a) $，D点坐标为$ (\frac{k}{2a},2a) $，
∴$ OP=\frac{k}{2a} $，$ OH=\frac{k}{a} $，
∴$ PH=OH-OP=\frac{k}{a}-\frac{k}{2a}=\frac{k}{2a} $，
∴$ EH=PH=\frac{k}{2a} $，
∴$ OE=OP+PH+EH=\frac{3k}{2a} $。
∵$ S_{△ODE}=9 $，
∴$ \frac{1}{2}·OE·DP=9 $，
代入$ OE=\frac{3k}{2a} $，$ DP=2a $，
得$ \frac{1}{2}·\frac{3k}{2a}·2a=9 $，化简得$ \frac{3k}{2}=9 $，解得$ k=6 $。
【答案】
6
【知识点】
反比例函数性质、矩形性质、三角形中位线定理
【点评】
本题综合考查反比例函数、矩形的性质及三角形面积的转化，关键在于利用对称性和平行线性质实现面积转化，结合中位线与反比例函数坐标特征建立关系，需较强几何转化能力，难度适中。
【难度系数】
0.5
三、解答题
11. 政府计划建设一项水利工程,工程需要运送的土石方总量为 $72\ 000\ \mathrm{m}^3$,某运输公司承担了运送土石方的任务.
(1)运输公司平均运送速度 $v$(单位:$\mathrm{m}^3/$天)与完成运送任务所需时间 $t$(单位:天)之间具有怎样的函数关系?
(2)若这个运输公司每天可运送土石方 $8\ 000\ \mathrm{m}^3$,公司完成全部运输任务需要多长时间?
11. 政府计划建设一项水利工程,工程需要运送的土石方总量为 $72\ 000\ \mathrm{m}^3$,某运输公司承担了运送土石方的任务.
(1)运输公司平均运送速度 $v$(单位:$\mathrm{m}^3/$天)与完成运送任务所需时间 $t$(单位:天)之间具有怎样的函数关系?
(2)若这个运输公司每天可运送土石方 $8\ 000\ \mathrm{m}^3$,公司完成全部运输任务需要多长时间?
答案
11. (1)根据题意,得$vt=72\ 000$,
∴v与t之间的函数关系式为$v=\frac{72\ 000}{t}(t＞0)$.
(2)在$v=\frac{72\ 000}{t}$中,当$v=8\ 000$时,$t=\frac{72\ 000}{8\ 000}=9$.答:公司完成全部运输任务需要9天.
∴v与t之间的函数关系式为$v=\frac{72\ 000}{t}(t＞0)$.
(2)在$v=\frac{72\ 000}{t}$中,当$v=8\ 000$时,$t=\frac{72\ 000}{8\ 000}=9$.答:公司完成全部运输任务需要9天.
解析
【分析】首先明确工程问题的基本数量关系：运送土石方总量=平均运送速度×完成任务所需时间。第(1)问要求v与t的函数关系，根据总量为72000 m³，代入数量关系即可推导；第(2)问已知每天运送速度v，将v的值代入第(1)问得到的函数式，计算对应的t值即可。
【解析】(1)根据题意，运送土石方总量等于平均运送速度与完成时间的乘积，即 $ vt = 72000 $，整理得 $ v = \frac{72000}{t} $，由于时间t为正数，因此函数关系式为 $ v = \frac{72000}{t} (t＞0) $；(2)将 $ v = 8000 $ 代入 $ v = \frac{72000}{t} $，得 $ t = \frac{72000}{8000} = 9 $，即公司完成全部运输任务需要9天。
【答案】11. (1)v与t之间的函数关系式为$v=\frac{72\ 000}{t}(t＞0)$；(2)公司完成全部运输任务需要9天。
【知识点】反比例函数的应用，实际问题中的函数关系
【点评】本题结合工程实际问题考查反比例函数的应用，属于基础题型，主要考查学生对反比例函数概念的理解及简单代数运算能力，难度较低。
【难度系数】0.8
【解析】(1)根据题意，运送土石方总量等于平均运送速度与完成时间的乘积，即 $ vt = 72000 $，整理得 $ v = \frac{72000}{t} $，由于时间t为正数，因此函数关系式为 $ v = \frac{72000}{t} (t＞0) $；(2)将 $ v = 8000 $ 代入 $ v = \frac{72000}{t} $，得 $ t = \frac{72000}{8000} = 9 $，即公司完成全部运输任务需要9天。
【答案】11. (1)v与t之间的函数关系式为$v=\frac{72\ 000}{t}(t＞0)$；(2)公司完成全部运输任务需要9天。
【知识点】反比例函数的应用，实际问题中的函数关系
【点评】本题结合工程实际问题考查反比例函数的应用，属于基础题型，主要考查学生对反比例函数概念的理解及简单代数运算能力，难度较低。
【难度系数】0.8
