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4. 在压力不变的情况下,某物体所受到的压强 $p$(单位:$\mathrm{Pa}$)与它的受力面积 $S$(单位:$\mathrm{m}^2$)之间成反比例函数关系,且当 $S=0.1$ 时,$p=1\ 000$. 下列说法错误的是（
A.$p$ 与 $S$ 之间的函数表达式为 $p=\dfrac{100}{S}(S＞0)$
B.当 $S=0.4$ 时,$p=250$
C.当受力面积小于 $0.2\ \mathrm{m}^2$ 时,压强大于 $500\ \mathrm{Pa}$
D.该物体所受到的压强随着它的受力面积的增大而增大
D
）A.$p$ 与 $S$ 之间的函数表达式为 $p=\dfrac{100}{S}(S＞0)$
B.当 $S=0.4$ 时,$p=250$
C.当受力面积小于 $0.2\ \mathrm{m}^2$ 时,压强大于 $500\ \mathrm{Pa}$
D.该物体所受到的压强随着它的受力面积的增大而增大
答案
D 解析:$∵$ 当 $S=0.1$ 时,$p=1\ 000,∴p=\dfrac{100}{S}(S＞0)$,当 $S=0.4$ 时,$p=\dfrac{100}{0.4}=250$,故 A、B 选项不符合题意;当 $S=0.2$ 时,$p=\dfrac{100}{0.2}=500,∴$ 当受力面积小于 $0.2\ \mathrm{m}^2$ 时,压强大于 500 Pa,故 C 选项不符合题意;该物体所受到的压强随着它的受力面积的增大而减小,故 D 选项符合题意.
解析
【分析】首先，根据题意可知压强$ p $与受力面积$ S $成反比例函数关系，因此先设反比例函数表达式为$ p=\frac{k}{S} $（$ k≠0 $，$ S＞0 $，受力面积为正）；接着代入已知的$ S=0.1 $、$ p=1000 $求出常数$ k $，得到函数表达式后，逐一分析每个选项的正确性，最终找出错误选项。
【解析】
1. 确定反比例函数表达式：
设$ p=\frac{k}{S} $（$ S＞0 $），将$ S=0.1 $，$ p=1000 $代入得：
$ 1000=\frac{k}{0.1} $，解得$ k=1000×0.1=100 $，因此函数表达式为$ p=\frac{100}{S}(S＞0) $，故A选项正确，不符合题意。
2. 分析B选项：
当$ S=0.4 $时，代入函数表达式得$ p=\frac{100}{0.4}=250 $，故B选项正确，不符合题意。
3. 分析C选项：
当$ S=0.2 $时，$ p=\frac{100}{0.2}=500 $；由于反比例函数$ p=\frac{100}{S} $在$ S＞0 $时，$ p $随$ S $的增大而减小，因此当受力面积$ S＜0.2 $时，压强$ p＞500 $，故C选项正确，不符合题意。
4. 分析D选项：
反比例函数$ p=\frac{100}{S} $中$ k=100＞0 $，在$ S＞0 $的范围内，压强$ p $随受力面积$ S $的增大而减小，并非增大，故D选项错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数的应用；反比例函数的性质
【点评】
本题结合压强的实际场景考查反比例函数的应用，核心是先通过待定系数法确定函数解析式，再利用反比例函数的性质分析各选项，需注意自变量的取值范围对函数增减性的影响。
【难度系数】
0.7
【解析】
1. 确定反比例函数表达式：
设$ p=\frac{k}{S} $（$ S＞0 $），将$ S=0.1 $，$ p=1000 $代入得：
$ 1000=\frac{k}{0.1} $，解得$ k=1000×0.1=100 $，因此函数表达式为$ p=\frac{100}{S}(S＞0) $，故A选项正确，不符合题意。
2. 分析B选项：
当$ S=0.4 $时，代入函数表达式得$ p=\frac{100}{0.4}=250 $，故B选项正确，不符合题意。
3. 分析C选项：
当$ S=0.2 $时，$ p=\frac{100}{0.2}=500 $；由于反比例函数$ p=\frac{100}{S} $在$ S＞0 $时，$ p $随$ S $的增大而减小，因此当受力面积$ S＜0.2 $时，压强$ p＞500 $，故C选项正确，不符合题意。
4. 分析D选项：
反比例函数$ p=\frac{100}{S} $中$ k=100＞0 $，在$ S＞0 $的范围内，压强$ p $随受力面积$ S $的增大而减小，并非增大，故D选项错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数的应用；反比例函数的性质
【点评】
本题结合压强的实际场景考查反比例函数的应用，核心是先通过待定系数法确定函数解析式，再利用反比例函数的性质分析各选项，需注意自变量的取值范围对函数增减性的影响。
【难度系数】
0.7
5. 验光师通过检测发现近视眼镜的度数$y$(单位:度)与镜片焦距$x$(单位:$\mathrm{m}$)成反比例,$y$关于$x$的函数图象如图所示.经过一段时间的矫正治疗后,小雪的镜片焦距由$0.25\ \mathrm{m}$调整到$0.5\ \mathrm{m}$,求小雪的近视眼镜的度数减少了多少度.
答案
设 $y$ 与 $x$ 的函数关系式为 $y=\dfrac{k}{x}(k≠0)$,把$(0.2,500)$代入 $y=\dfrac{k}{x}(k≠0)$,得 $k=0.2×500=100,∴y$ 与 $x$ 的函数关系式为 $y=\dfrac{100}{x}$,当 $x=0.25$ 时,$y=\dfrac{100}{0.25}=400$,当 $x=0.5$ 时,$y=\dfrac{100}{0.5}=200,∴$ 度数减少了 $400-200=200$(度).答:度数减少了 200 度.
解析
【分析】首先根据题目中“度数$y$与镜片焦距$x$成反比例”，确定函数为反比例函数，设其解析式为$y=\dfrac{k}{x}(k≠0)$；再利用图像中给出的点$(0.2,500)$求出$k$的值，得到具体的函数关系式；接着分别将调整前后的焦距$x=0.25$和$x=0.5$代入解析式，计算对应的度数；最后用调整前的度数减去调整后的度数，即可得到度数减少的数值。
【解析】解：设$y$与$x$的函数关系式为$y=\dfrac{k}{x}(k≠0)$，
把点$(0.2,500)$代入函数式，得$k=0.2×500=100$，
因此$y$与$x$的函数关系式为$y=\dfrac{100}{x}$。
当$x=0.25$时，$y=\dfrac{100}{0.25}=400$（度）；
当$x=0.5$时，$y=\dfrac{100}{0.5}=200$（度）。
度数减少了$400 - 200 = 200$（度）。
答：小雪的近视眼镜的度数减少了200度。
【答案】度数减少了200度
【知识点】反比例函数的应用；反比例函数解析式的确定
【点评】本题是反比例函数在实际生活中的典型应用，解题关键是先根据题意设出反比例函数，利用已知点求出解析式，再代入计算，属于基础应用题，难度适中。
【难度系数】0.7
【解析】解：设$y$与$x$的函数关系式为$y=\dfrac{k}{x}(k≠0)$，
把点$(0.2,500)$代入函数式，得$k=0.2×500=100$，
因此$y$与$x$的函数关系式为$y=\dfrac{100}{x}$。
当$x=0.25$时，$y=\dfrac{100}{0.25}=400$（度）；
当$x=0.5$时，$y=\dfrac{100}{0.5}=200$（度）。
度数减少了$400 - 200 = 200$（度）。
答：小雪的近视眼镜的度数减少了200度。
【答案】度数减少了200度
【知识点】反比例函数的应用；反比例函数解析式的确定
【点评】本题是反比例函数在实际生活中的典型应用，解题关键是先根据题意设出反比例函数，利用已知点求出解析式，再代入计算，属于基础应用题，难度适中。
【难度系数】0.7
6. 有一款蓄电池,其电压为定值,使用该蓄电池时,电流 $ I $ (单位:A) 与电阻 $ R $ (单位:$ \Omega $) 是反比例函数关系,它的图象和几组数据如图表所示.
(1)求这个反比例函数的表达式.
(2)直接写出上表中 $ a $、$ b $ 的值.
(3)如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不能超过 10 A,那么用电器可变电阻应控制在什么范围?
(1)求这个反比例函数的表达式.
(2)直接写出上表中 $ a $、$ b $ 的值.
(3)如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不能超过 10 A,那么用电器可变电阻应控制在什么范围?
答案
(1)设反比例函数的表达式为 $I=\dfrac{k}{R}$. 根据题意,得 $4=\dfrac{k}{9}$,解得 $k=4×9=36,∴$ 反比例函数的表达式为 $I=\dfrac{36}{R}$.
(2)$a=\dfrac{36}{3}=12,b=\dfrac{36}{10}=3.6$.
(3)$∵I≤10,I=\dfrac{36}{R},∴\dfrac{36}{R}≤10,∴R≥3.6$.答:用电器可变电阻应控制在 $3.6\ \Omega$ 及以上的范围内.
(2)$a=\dfrac{36}{3}=12,b=\dfrac{36}{10}=3.6$.
(3)$∵I≤10,I=\dfrac{36}{R},∴\dfrac{36}{R}≤10,∴R≥3.6$.答:用电器可变电阻应控制在 $3.6\ \Omega$ 及以上的范围内.
解析
【分析】
本题是反比例函数在实际生活中的应用，解题思路如下：
1. 第一问，根据电流I与电阻R成反比例关系，设反比例函数表达式为$I=\dfrac{k}{R}$，利用已知的一组对应值（I=4A，R=9Ω）代入表达式求出常数k，进而得到反比例函数的表达式；
2. 第二问，将表格中对应的电阻值或电流值代入已求出的反比例函数表达式，计算即可得到a、b的值；
3. 第三问，根据“电流不超过10A”的限制条件，得到不等式$I≤10$，将$I=\dfrac{36}{R}$代入该不等式，结合电阻R为正数的实际意义解不等式，得到R的取值范围，即可确定可变电阻的控制范围。
【解析】
(1) 设反比例函数的表达式为$I=\dfrac{k}{R}$（k≠0）。
已知当$R=9\ \Omega$时，$I=4\ A$，代入表达式得：
$4=\dfrac{k}{9}$，解得$k=4×9=36$。
因此，反比例函数的表达式为$I=\dfrac{36}{R}$。
(2) 当$R=3\ \Omega$时，代入表达式得$a=\dfrac{36}{3}=12$；
当$I=10\ A$时，代入表达式得$10=\dfrac{36}{b}$，解得$b=\dfrac{36}{10}=3.6$。
(3) 由题意，限制电流不超过10A，即$I≤10$，将$I=\dfrac{36}{R}$代入得：
$\dfrac{36}{R}≤10$。
因为电阻$R＞0$，两边同时乘$R$，不等号方向不变，得$36≤10R$，解得$R≥3.6$。
答：用电器可变电阻应控制在$3.6\ \Omega$及以上的范围内。
【答案】
(1) $I=\dfrac{36}{R}$；
(2) $a=12$，$b=3.6$；
(3) 用电器可变电阻应控制在$3.6\ \Omega$及以上的范围内。
【知识点】
反比例函数表达式、反比例函数的实际应用、不等式的应用
【点评】
本题结合蓄电池的实际场景考查反比例函数的应用，属于基础题型，主要考查反比例函数解析式的确定、利用解析式求对应值以及结合实际意义解不等式的能力，解题思路清晰，步骤明确，学生易掌握。
【难度系数】
0.7
本题是反比例函数在实际生活中的应用，解题思路如下：
1. 第一问，根据电流I与电阻R成反比例关系，设反比例函数表达式为$I=\dfrac{k}{R}$，利用已知的一组对应值（I=4A，R=9Ω）代入表达式求出常数k，进而得到反比例函数的表达式；
2. 第二问，将表格中对应的电阻值或电流值代入已求出的反比例函数表达式，计算即可得到a、b的值；
3. 第三问，根据“电流不超过10A”的限制条件，得到不等式$I≤10$，将$I=\dfrac{36}{R}$代入该不等式，结合电阻R为正数的实际意义解不等式，得到R的取值范围，即可确定可变电阻的控制范围。
【解析】
(1) 设反比例函数的表达式为$I=\dfrac{k}{R}$（k≠0）。
已知当$R=9\ \Omega$时，$I=4\ A$，代入表达式得：
$4=\dfrac{k}{9}$，解得$k=4×9=36$。
因此，反比例函数的表达式为$I=\dfrac{36}{R}$。
(2) 当$R=3\ \Omega$时，代入表达式得$a=\dfrac{36}{3}=12$；
当$I=10\ A$时，代入表达式得$10=\dfrac{36}{b}$，解得$b=\dfrac{36}{10}=3.6$。
(3) 由题意，限制电流不超过10A，即$I≤10$，将$I=\dfrac{36}{R}$代入得：
$\dfrac{36}{R}≤10$。
因为电阻$R＞0$，两边同时乘$R$，不等号方向不变，得$36≤10R$，解得$R≥3.6$。
答：用电器可变电阻应控制在$3.6\ \Omega$及以上的范围内。
【答案】
(1) $I=\dfrac{36}{R}$；
(2) $a=12$，$b=3.6$；
(3) 用电器可变电阻应控制在$3.6\ \Omega$及以上的范围内。
【知识点】
反比例函数表达式、反比例函数的实际应用、不等式的应用
【点评】
本题结合蓄电池的实际场景考查反比例函数的应用，属于基础题型，主要考查反比例函数解析式的确定、利用解析式求对应值以及结合实际意义解不等式的能力，解题思路清晰，步骤明确，学生易掌握。
【难度系数】
0.7
