24. (12分)【提出问题】某数学活动小组对多项式乘法进行如下探究:
①$(x+2)(x+3)=x^{2}+5x+6$;
②$(x-4)(x+1)=x^{2}-3x-4$;
③$(y-5)(y-3)=y^{2}-8y+15$.
通过以上计算发现,形如$(x+p)(x+q)$的两个多项式相乘,其结果一定为$x^{2}+(p+q)x+pq$. (p,q为整数)
因为因式分解是与整式乘法是方向相反的变形,所以一定有$x^{2}+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)$,即可将形如$x^{2}+(p+q)x+pq$的多项式因式分解成$(x+p)(x+q)$(p,q为整数).
例如:$x^{2}+3x+2=x^{2}+(1+2)x+1×2=(x+1)(x+2)$.
【初步应用】(1)用上面的方法分解因式:
$x^{2}+6x+8=$。
【类比应用】(2)规律应用:若$x^{2}+mx+8$可用以上方法进行因式分解,则整数 m 的所有可能值是。
【拓展应用】(3)分解因式:$(x^{2}-4x)^{2}-2(x^{2}-4x)-15$.

24.解:(1)$x^{2}+6x+8=x^{2}+(2+4)x+2×4=$
$(x+2)(x+4),$
故答案为$(x+2)(x+4).$
(2)因为$8=1×8=2×4=(-1)×(-8)=$
$(-2)×(-4),$
所以$x^{2}+(8+1)x+8=(x+8)(x+1),$
$x^{2}+(2+4)x+8=(x+2)(x+4),$
$x^{2}+(-1-8)x+8=(x-1)(x-8),$
$x^{2}+(-2-4)x+8=(x-2)(x-4),$
所以$m=8+1=9$或$2+4=6$或$-1-8=$
$-9$或$-2-4=-6,$
所以整数m的值可能是$\pm 6$或$\pm 9,$
故答案为$\pm 6$或$\pm 9.$
(3)$(x^{2}-4x)^{2}-2(x^{2}-4x)-15,$
$=(x^{2}-4x)^{2}+(-5+3)(x^{2}-4x)+(-5)$
$×3$
$=(x^{2}-4x-5)(x^{2}-4x+3)$
$=[x^{2}+(-5+1)x+(-5)×1][x^{2}+(-3$
$-1)x+(-3)×(-1)]$
$=(x-5)(x+1)(x-3)(x-1).$

25. (14分)下面是小涵同学用换元法对多项式$(x^{2}-4x+1)(x^{2}-4x+7)+9$进行因式分解的过程.
解:设$x^{2}-4x=y$,
原式$=(y+1)(y+7)+9$(第一步)
$=y^{2}+8y+16$(第二步)
$=(y+4)^{2}$(第三步)
$=(x^{2}-4x+4)^{2}$.(第四步)
请根据上述材料回答下列问题:
(1)小涵同学的解法中,第二步到第三步运用了因式分解的 ()
A. 提公因式法
B. 平方差公式法
C. 完全平方公式法
(2)老师说,小涵同学因式分解的结果不彻底,请你写出该因式分解的最终结果:。
(3)请你用换元法对多项式$(x^{2}+2x)(x^{2}+2x+2)+1$进行因式分解.

25.解:(1)C
(2)$(x-2)^{4}$
(3)设$x^{2}+2x=y,$
原式$=y(y+2)+1=y^{2}+2y+1=(y+1)^{2}$
$=(x^{2}+2x+1)^{2}=(x+1)^{4}.$