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基础知识·预习
问题1 过平面内任意一点能不能作圆？如果能，能作多少个圆？
问题2 过平面内任意两点能不能作圆？如果能，圆心的位置有何特点？
问题3 应用反证法的一般步骤是什么？
问题1 过平面内任意一点能不能作圆？如果能，能作多少个圆？
问题2 过平面内任意两点能不能作圆？如果能，圆心的位置有何特点？
问题3 应用反证法的一般步骤是什么？
答案
1. 能作圆，过平面内任意一点可以作无数个圆。
2. 能作圆，可以作无数个圆，所有圆心都在这两点所连线段的垂直平分线上。
3. 反证法的一般步骤：① 假设命题的结论不成立；② 从这个假设出发，经过推理论证，得出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果；③ 由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确。
2. 能作圆，可以作无数个圆，所有圆心都在这两点所连线段的垂直平分线上。
3. 反证法的一般步骤：① 假设命题的结论不成立；② 从这个假设出发，经过推理论证，得出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果；③ 由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确。
解析
【分析】
思考问题1时，需结合圆的两大构成要素：圆心和半径，过平面内一点作圆，仅需保证圆心到该点的距离等于半径即可，圆心可任选除该点外的任意位置，半径随圆心变化，由此可判断作圆的个数；
思考问题2时，过两点作圆需保证圆心到两个点的距离相等（均为圆的半径），根据线段垂直平分线的性质：到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，即可推导圆心的位置特点，进而判断作圆的个数；
思考问题3时，回忆反证法的逻辑顺序：先对原命题结论做反向假设，再从假设出发推导矛盾，最后通过矛盾否定假设、肯定原结论，按步骤梳理即可。
【解析】
1. 过平面内任意一点作圆，只要满足圆心到该点的距离为半径即可，圆心可以取平面内除该点外的任意位置，因此可以作无数个圆；
2. 过平面内任意两点作圆，要求圆心到两点的距离相等（均为半径），根据线段垂直平分线的性质，所有符合要求的圆心都在两点连线的垂直平分线上，垂直平分线上有无数个点，因此可以作无数个圆；
3. 反证法的推导逻辑为反向假设、推导矛盾、肯定原结论，按逻辑整理为三个标准步骤即可。
【答案】
1. 能作圆，过平面内任意一点可以作无数个圆。
2. 能作圆，可以作无数个圆，所有圆心都在这两点所连线段的垂直平分线上。
3. 反证法的一般步骤：① 假设命题的结论不成立；② 从这个假设出发，经过推理论证，得出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果；③ 由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确。
【知识点】
1. 确定圆的条件
2. 线段垂直平分线的性质
3. 反证法
【点评】
本题属于基础概念类题目，主要考查圆的作图条件和反证法的基础步骤，解题核心是明确确定圆的两大要素为圆心和半径，理解反证法的逻辑推导思路，相关结论是后续学习三点共圆、圆的证明题的基础，需熟练掌握。
【难度系数】
0.8
思考问题1时，需结合圆的两大构成要素：圆心和半径，过平面内一点作圆，仅需保证圆心到该点的距离等于半径即可，圆心可任选除该点外的任意位置，半径随圆心变化，由此可判断作圆的个数；
思考问题2时，过两点作圆需保证圆心到两个点的距离相等（均为圆的半径），根据线段垂直平分线的性质：到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，即可推导圆心的位置特点，进而判断作圆的个数；
思考问题3时，回忆反证法的逻辑顺序：先对原命题结论做反向假设，再从假设出发推导矛盾，最后通过矛盾否定假设、肯定原结论，按步骤梳理即可。
【解析】
1. 过平面内任意一点作圆，只要满足圆心到该点的距离为半径即可，圆心可以取平面内除该点外的任意位置，因此可以作无数个圆；
2. 过平面内任意两点作圆，要求圆心到两点的距离相等（均为半径），根据线段垂直平分线的性质，所有符合要求的圆心都在两点连线的垂直平分线上，垂直平分线上有无数个点，因此可以作无数个圆；
3. 反证法的推导逻辑为反向假设、推导矛盾、肯定原结论，按逻辑整理为三个标准步骤即可。
【答案】
1. 能作圆，过平面内任意一点可以作无数个圆。
2. 能作圆，可以作无数个圆，所有圆心都在这两点所连线段的垂直平分线上。
3. 反证法的一般步骤：① 假设命题的结论不成立；② 从这个假设出发，经过推理论证，得出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果；③ 由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确。
【知识点】
1. 确定圆的条件
2. 线段垂直平分线的性质
3. 反证法
【点评】
本题属于基础概念类题目，主要考查圆的作图条件和反证法的基础步骤，解题核心是明确确定圆的两大要素为圆心和半径，理解反证法的逻辑推导思路，相关结论是后续学习三点共圆、圆的证明题的基础，需熟练掌握。
【难度系数】
0.8
【典型例题1】如图，点A，B，C在同一条直线上，点M在直线AC外。经过图中任意三个点作圆，可以作个。
【答案】3
规律方法 经过一点作圆，只要以该点以外任意一点为圆心，以这两点间的距离为半径，就可以作出，这样的圆有无数个。
经过两点作圆，圆心在这两点所连线段的垂直平分线上，这样的圆有无数个。
不在同一条直线上的三个点确定一个圆。
【答案】3
规律方法 经过一点作圆，只要以该点以外任意一点为圆心，以这两点间的距离为半径，就可以作出，这样的圆有无数个。
经过两点作圆，圆心在这两点所连线段的垂直平分线上，这样的圆有无数个。
不在同一条直线上的三个点确定一个圆。
答案
$\boldsymbol{3}$
解析
【分析】
要解决本题，首先需明确确定圆的核心条件：不在同一条直线上的三个点确定一个圆。解题时先列出图中所有的三点组合，再排除共线的三点组合，剩余每组不共线的三点均可确定1个圆，统计符合条件的组合数即可得到答案。
【解析】
根据“不在同一条直线上的三个点确定一个圆”的原理，先列出图中四个点A、B、C、M的所有三点组合：
1. 组合A、B、C：三点在同一条直线上，无法确定圆；
2. 组合A、B、M：三点不在同一直线上，可确定1个圆；
3. 组合A、C、M：三点不在同一直线上，可确定1个圆；
4. 组合B、C、M：三点不在同一直线上，可确定1个圆。
综上，一共可以作出3个圆。
【答案】
3
【知识点】
确定圆的条件，分类讨论思想
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对确定圆的条件的掌握，解题时要注意先排除共线的三点组合，避免多算，熟练掌握相关定理即可快速得出正确结果。
【难度系数】
0.8
要解决本题，首先需明确确定圆的核心条件：不在同一条直线上的三个点确定一个圆。解题时先列出图中所有的三点组合，再排除共线的三点组合，剩余每组不共线的三点均可确定1个圆，统计符合条件的组合数即可得到答案。
【解析】
根据“不在同一条直线上的三个点确定一个圆”的原理，先列出图中四个点A、B、C、M的所有三点组合：
1. 组合A、B、C：三点在同一条直线上，无法确定圆；
2. 组合A、B、M：三点不在同一直线上，可确定1个圆；
3. 组合A、C、M：三点不在同一直线上，可确定1个圆；
4. 组合B、C、M：三点不在同一直线上，可确定1个圆。
综上，一共可以作出3个圆。
【答案】
3
【知识点】
确定圆的条件，分类讨论思想
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对确定圆的条件的掌握，解题时要注意先排除共线的三点组合，避免多算，熟练掌握相关定理即可快速得出正确结果。
【难度系数】
0.8
1. 下列条件中,不能确定一个圆的是(
A.圆心的位置与半径
B.直径
C.同一平面内的三个点
D.三角形的三个顶点
C
)A.圆心的位置与半径
B.直径
C.同一平面内的三个点
D.三角形的三个顶点
答案
1. C
解析
【分析】
要判断哪个条件不能确定一个圆，首先要明确确定圆的核心要素：圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小，只要能同时确定唯一的圆心和半径，就能确定唯一的圆。我们可以结合圆的相关判定结论，逐一分析每个选项是否满足确定唯一圆的要求即可。
【解析】
结合确定圆的条件逐一分析选项：
A. 已知圆心位置和半径，圆的位置和大小都被唯一确定，能确定一个圆，不符合题意；
B. 已知直径时，直径的中点就是圆心，直径长度的一半就是半径，圆心和半径都被唯一确定，能确定一个圆，不符合题意；
C. 同一平面内的三个点，如果三个点在同一条直线上，不存在同时经过这三个点的圆，只有三个点不在同一直线上时才能确定一个圆，因此该条件不能确定一个圆，符合题意；
D. 三角形的三个顶点一定不在同一条直线上，因此可以确定唯一的外接圆，不符合题意。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
确定圆的条件；三点共圆的判定；三角形外接圆
【点评】
本题属于基础概念考查题，易错点是容易忽略“三个点不在同一直线上”这个前提，误认为同一平面内任意三个点都能确定一个圆，解题时要牢记确定圆的相关判定条件，注意排除特殊情况。
【难度系数】
0.7
要判断哪个条件不能确定一个圆，首先要明确确定圆的核心要素：圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小，只要能同时确定唯一的圆心和半径，就能确定唯一的圆。我们可以结合圆的相关判定结论，逐一分析每个选项是否满足确定唯一圆的要求即可。
【解析】
结合确定圆的条件逐一分析选项：
A. 已知圆心位置和半径，圆的位置和大小都被唯一确定，能确定一个圆，不符合题意；
B. 已知直径时，直径的中点就是圆心，直径长度的一半就是半径，圆心和半径都被唯一确定，能确定一个圆，不符合题意；
C. 同一平面内的三个点，如果三个点在同一条直线上，不存在同时经过这三个点的圆，只有三个点不在同一直线上时才能确定一个圆，因此该条件不能确定一个圆，符合题意；
D. 三角形的三个顶点一定不在同一条直线上，因此可以确定唯一的外接圆，不符合题意。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
确定圆的条件；三点共圆的判定；三角形外接圆
【点评】
本题属于基础概念考查题，易错点是容易忽略“三个点不在同一直线上”这个前提，误认为同一平面内任意三个点都能确定一个圆，解题时要牢记确定圆的相关判定条件，注意排除特殊情况。
【难度系数】
0.7
【典型例题 2】如图, 在$△ ABC$中, $AB = AC = 13$, $BC = 10$, 求$△ ABC$的外接圆的半径长.
【解】如图, 作$AD ⊥ BC$, 垂足为$D$, $AD$所在直线即为线段$BC$的垂直平分线, 作线段$AB$的垂直平分线$l$交$AD$于点$O$,
以点$O$为圆心,$OA$为半径作$\odot O$,$\odot O$即为$△ ABC$的外接圆,连接$OB$.
设$OA=OB=r$.
由作图可知$BD=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×10=5$.
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中, 根据勾股定理, 得$AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{13^2-5^2}=12$.
$\therefore OD=AD-OA=12-r$.
在$\mathrm{Rt}△ OBD$中, 根据勾股定理, 得$OD^2+BD^2=OB^2$,即$(12-r)^2+5^2=r^2$.
解得$r=\frac{169}{24}$.
$\therefore △ ABC$的外接圆的半径长为$\frac{169}{24}$.
规律方法 特殊三角形的外接圆的半径:
(1)边长为$a$的等边三角形的外接圆的半径为$\frac{\sqrt{3}}{3}a$.
(2)斜边长为$b$的直角三角形的外接圆的半径为$\frac{b}{2}$.
(3)腰长为$m$,底边长为$n$的等腰三角形的外接圆的半径为$\frac{m^2}{2\sqrt{m^2-(\frac{n}{2})^2}}$.
【解】如图, 作$AD ⊥ BC$, 垂足为$D$, $AD$所在直线即为线段$BC$的垂直平分线, 作线段$AB$的垂直平分线$l$交$AD$于点$O$,
以点$O$为圆心,$OA$为半径作$\odot O$,$\odot O$即为$△ ABC$的外接圆,连接$OB$.
设$OA=OB=r$.
由作图可知$BD=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×10=5$.
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中, 根据勾股定理, 得$AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{13^2-5^2}=12$.
$\therefore OD=AD-OA=12-r$.
在$\mathrm{Rt}△ OBD$中, 根据勾股定理, 得$OD^2+BD^2=OB^2$,即$(12-r)^2+5^2=r^2$.
解得$r=\frac{169}{24}$.
$\therefore △ ABC$的外接圆的半径长为$\frac{169}{24}$.
规律方法 特殊三角形的外接圆的半径:
(1)边长为$a$的等边三角形的外接圆的半径为$\frac{\sqrt{3}}{3}a$.
(2)斜边长为$b$的直角三角形的外接圆的半径为$\frac{b}{2}$.
(3)腰长为$m$,底边长为$n$的等腰三角形的外接圆的半径为$\frac{m^2}{2\sqrt{m^2-(\frac{n}{2})^2}}$.
答案
解：作$AD ⊥ BC$，垂足为$D$，
$\because AB=AC$，
$\therefore AD$所在直线即为线段$BC$的垂直平分线，
作线段$AB$的垂直平分线$l$交$AD$于点$O$，以点$O$为圆心，$OA$为半径作$\odot O$，$\odot O$即为$△ ABC$的外接圆，连接$OB$。
设$OA=OB=r$。
由等腰三角形性质得$BD=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2} × 10=5$。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，根据勾股定理，得
$AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{13^2-5^2}=12$，
$\therefore OD=AD-OA=12-r$。
在$\mathrm{Rt}△ OBD$中，根据勾股定理，得
$OD^2+BD^2=OB^2$，即$(12-r)^2+5^2=r^2$，
解得$r=\frac{169}{24}$。
$\therefore △ ABC$的外接圆的半径长为$\frac{169}{24}$。
$\because AB=AC$，
$\therefore AD$所在直线即为线段$BC$的垂直平分线，
作线段$AB$的垂直平分线$l$交$AD$于点$O$，以点$O$为圆心，$OA$为半径作$\odot O$，$\odot O$即为$△ ABC$的外接圆，连接$OB$。
设$OA=OB=r$。
由等腰三角形性质得$BD=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2} × 10=5$。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，根据勾股定理，得
$AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{13^2-5^2}=12$，
$\therefore OD=AD-OA=12-r$。
在$\mathrm{Rt}△ OBD$中，根据勾股定理，得
$OD^2+BD^2=OB^2$，即$(12-r)^2+5^2=r^2$，
解得$r=\frac{169}{24}$。
$\therefore △ ABC$的外接圆的半径长为$\frac{169}{24}$。
解析
【分析】
要计算等腰△ABC的外接圆半径，首先明确三角形外接圆的圆心（外心）是三边垂直平分线的交点。因为△ABC是AB=AC的等腰三角形，根据等腰三角形三线合一的性质，底边BC的高AD同时是BC的垂直平分线，因此外心一定在AD上。我们可以设外接圆半径为r，则OA=OB=r，先借助勾股定理求出AD的长度，再用含r的式子表示出OD的长度，最后在Rt△OBD中利用勾股定理列方程，解方程即可求出半径r的值。
【解析】
作$AD ⊥ BC$，垂足为$D$，
$\because AB=AC$，
$\therefore AD$所在直线即为线段$BC$的垂直平分线，
作线段$AB$的垂直平分线$l$交$AD$于点$O$，以点$O$为圆心，$OA$为半径作$\odot O$，$\odot O$即为$△ ABC$的外接圆，连接$OB$。
设$OA=OB=r$。
由等腰三角形性质得$BD=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2} × 10=5$。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，根据勾股定理，得
$AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{13^2-5^2}=12$，
$\therefore OD=AD-OA=12-r$。
在$\mathrm{Rt}△ OBD$中，根据勾股定理，得
$OD^2+BD^2=OB^2$，即$(12-r)^2+5^2=r^2$，
解得$r=\frac{169}{24}$。
【答案】
$\frac{169}{24}$
【知识点】
三角形外接圆与外心；等腰三角形的性质；勾股定理
【点评】
本题是三角形外接圆计算的典型例题，解题核心是利用等腰三角形的特殊性缩小外心的位置范围，再通过勾股定理构造方程求解，充分体现了方程思想在几何计算中的应用，掌握外心的定义是解题的基础。
【难度系数】
0.7
要计算等腰△ABC的外接圆半径，首先明确三角形外接圆的圆心（外心）是三边垂直平分线的交点。因为△ABC是AB=AC的等腰三角形，根据等腰三角形三线合一的性质，底边BC的高AD同时是BC的垂直平分线，因此外心一定在AD上。我们可以设外接圆半径为r，则OA=OB=r，先借助勾股定理求出AD的长度，再用含r的式子表示出OD的长度，最后在Rt△OBD中利用勾股定理列方程，解方程即可求出半径r的值。
【解析】
作$AD ⊥ BC$，垂足为$D$，
$\because AB=AC$，
$\therefore AD$所在直线即为线段$BC$的垂直平分线，
作线段$AB$的垂直平分线$l$交$AD$于点$O$，以点$O$为圆心，$OA$为半径作$\odot O$，$\odot O$即为$△ ABC$的外接圆，连接$OB$。
设$OA=OB=r$。
由等腰三角形性质得$BD=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2} × 10=5$。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，根据勾股定理，得
$AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{13^2-5^2}=12$，
$\therefore OD=AD-OA=12-r$。
在$\mathrm{Rt}△ OBD$中，根据勾股定理，得
$OD^2+BD^2=OB^2$，即$(12-r)^2+5^2=r^2$，
解得$r=\frac{169}{24}$。
【答案】
$\frac{169}{24}$
【知识点】
三角形外接圆与外心；等腰三角形的性质；勾股定理
【点评】
本题是三角形外接圆计算的典型例题，解题核心是利用等腰三角形的特殊性缩小外心的位置范围，再通过勾股定理构造方程求解，充分体现了方程思想在几何计算中的应用，掌握外心的定义是解题的基础。
【难度系数】
0.7
