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基础知识·预习
问题1 结合上一节课的学习，总结一下如何求二次函数的最大(小)值？
问题2 结合实际生活，谈一下如何计算调整价格时销售商品的利润。
问题1 结合上一节课的学习，总结一下如何求二次函数的最大(小)值？
问题2 结合实际生活，谈一下如何计算调整价格时销售商品的利润。
答案
解：
1. 求二次函数最大（小）值的方法：
对于二次函数$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$）：
① 当自变量的取值范围是全体实数时：
若$a＞0$，抛物线开口向上，当$x=-\frac{b}{2a}$时，函数取得最小值$y=\frac{4ac-b^2}{4a}$，无最大值；
若$a＜0$，抛物线开口向下，当$x=-\frac{b}{2a}$时，函数取得最大值$y=\frac{4ac-b^2}{4a}$，无最小值。
② 当自变量的取值范围是限定的闭区间$m≤ x≤ n$时：
先判断对称轴$x=-\frac{b}{2a}$与该区间的位置关系：
若对称轴落在区间内，函数的一个最值在顶点处取得，另一个最值在离对称轴更远的区间端点处取得；
若对称轴落在区间外，函数在该区间上单调，直接将区间两个端点的$x$值代入函数解析式，计算得到的两个函数值即为该范围内的最大值和最小值。
2. 调整价格时销售商品的利润计算方法：
① 先确定已知基础量：商品单件成本、原定售价、原定销量，以及每涨价/降价1单位时销量的对应变化量；
② 设合理的变量（通常设涨价或降价的金额为$x$），用含$x$的代数式表示：调整后的单件利润 = 调整后售价 - 单件成本，调整后的实际销量 = 原销量 ± 随价格变动的销量变化量；
③ 依据“总利润 = 单件利润 × 销售总数量”，列出总利润关于变量$x$的函数关系式，同时结合实际约束（售价不低于成本、销量非负等）确定自变量$x$的取值范围，即可得到对应利润的计算表达式，后续可进一步求解最大利润。
1. 求二次函数最大（小）值的方法：
对于二次函数$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$）：
① 当自变量的取值范围是全体实数时：
若$a＞0$，抛物线开口向上，当$x=-\frac{b}{2a}$时，函数取得最小值$y=\frac{4ac-b^2}{4a}$，无最大值；
若$a＜0$，抛物线开口向下，当$x=-\frac{b}{2a}$时，函数取得最大值$y=\frac{4ac-b^2}{4a}$，无最小值。
② 当自变量的取值范围是限定的闭区间$m≤ x≤ n$时：
先判断对称轴$x=-\frac{b}{2a}$与该区间的位置关系：
若对称轴落在区间内，函数的一个最值在顶点处取得，另一个最值在离对称轴更远的区间端点处取得；
若对称轴落在区间外，函数在该区间上单调，直接将区间两个端点的$x$值代入函数解析式，计算得到的两个函数值即为该范围内的最大值和最小值。
2. 调整价格时销售商品的利润计算方法：
① 先确定已知基础量：商品单件成本、原定售价、原定销量，以及每涨价/降价1单位时销量的对应变化量；
② 设合理的变量（通常设涨价或降价的金额为$x$），用含$x$的代数式表示：调整后的单件利润 = 调整后售价 - 单件成本，调整后的实际销量 = 原销量 ± 随价格变动的销量变化量；
③ 依据“总利润 = 单件利润 × 销售总数量”，列出总利润关于变量$x$的函数关系式，同时结合实际约束（售价不低于成本、销量非负等）确定自变量$x$的取值范围，即可得到对应利润的计算表达式，后续可进一步求解最大利润。
解析
【分析】
本题围绕二次函数最值及实际利润应用两个核心基础问题展开，思考路径如下：
1. 求解二次函数最值：首先回忆二次函数的图像特征（开口方向由二次项系数a决定，顶点为最值点），分两种情况讨论：①自变量取值为全体实数时，直接通过顶点坐标判断最值；②自变量有区间限制时，先判断对称轴和区间的位置关系，结合函数单调性确定最值在顶点还是区间端点处取得。
2. 计算调价销售的利润：核心是抓住“总利润=单件利润×销量”的等量关系，第一步先梳理已知的成本、原售价、原销量、销量随价格的变化规律等基础量；第二步设调价金额为自变量，用含自变量的式子表示调价后的单件利润和销量；第三步代入等量关系列函数式，再结合实际意义确定自变量的取值范围即可。
【解析】
分两个问题解答如下：
1. 求二次函数最大（小）值的方法：
对于二次函数$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$）：
① 当自变量的取值范围是全体实数时：
若$a＞0$，抛物线开口向上，当$x=-\frac{b}{2a}$时，函数取得最小值$y=\frac{4ac-b^2}{4a}$，无最大值；
若$a＜0$，抛物线开口向下，当$x=-\frac{b}{2a}$时，函数取得最大值$y=\frac{4ac-b^2}{4a}$，无最小值。
② 当自变量的取值范围是限定的闭区间$m≤ x≤ n$时：
先判断对称轴$x=-\frac{b}{2a}$与该区间的位置关系：
若对称轴落在区间内，函数的一个最值在顶点处取得，另一个最值在离对称轴更远的区间端点处取得；
若对称轴落在区间外，函数在该区间上单调，直接将区间两个端点的$x$值代入函数解析式，计算得到的两个函数值即为该范围内的最大值和最小值。
2. 调整价格时销售商品的利润计算方法：
① 先确定已知基础量：商品单件成本、原定售价、原定销量，以及每涨价/降价1单位时销量的对应变化量；
② 设合理的变量（通常设涨价或降价的金额为$x$），用含$x$的代数式表示：调整后的单件利润 = 调整后售价 - 单件成本，调整后的实际销量 = 原销量 ± 随价格变动的销量变化量；
③ 依据“总利润 = 单件利润 × 销售总数量”，列出总利润关于变量$x$的函数关系式，同时结合实际约束（售价不低于成本、销量非负等）确定自变量$x$的取值范围，即可得到对应利润的计算表达式，后续可进一步求解最大利润。
【答案】
1. 求二次函数最大（小）值的方法：
对于二次函数$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$）：
① 当自变量的取值范围是全体实数时：
若$a＞0$，抛物线开口向上，当$x=-\frac{b}{2a}$时，函数取得最小值$y=\frac{4ac-b^2}{4a}$，无最大值；
若$a＜0$，抛物线开口向下，当$x=-\frac{b}{2a}$时，函数取得最大值$y=\frac{4ac-b^2}{4a}$，无最小值。
② 当自变量的取值范围是限定的闭区间$m≤ x≤ n$时：
先判断对称轴$x=-\frac{b}{2a}$与该区间的位置关系：
若对称轴落在区间内，函数的一个最值在顶点处取得，另一个最值在离对称轴更远的区间端点处取得；
若对称轴落在区间外，函数在该区间上单调，直接将区间两个端点的$x$值代入函数解析式，计算得到的两个函数值即为该范围内的最大值和最小值。
2. 调整价格时销售商品的利润计算方法：
① 先确定已知基础量：商品单件成本、原定售价、原定销量，以及每涨价/降价1单位时销量的对应变化量；
② 设合理的变量（通常设涨价或降价的金额为$x$），用含$x$的代数式表示：调整后的单件利润 = 调整后售价 - 单件成本，调整后的实际销量 = 原销量 ± 随价格变动的销量变化量；
③ 依据“总利润 = 单件利润 × 销售总数量”，列出总利润关于变量$x$的函数关系式，同时结合实际约束（售价不低于成本、销量非负等）确定自变量$x$的取值范围，即可得到对应利润的计算表达式，后续可进一步求解最大利润。
【知识点】
1. 二次函数最值求解
2. 销售利润计算
3. 二次函数实际应用
【点评】
本题是二次函数实际应用的基础内容，既考查对二次函数基本性质的理解掌握，也要求具备将实际销售问题转化为函数模型的能力，是解决各类实际最值应用题的必备基础。
【难度系数】
0.8
本题围绕二次函数最值及实际利润应用两个核心基础问题展开，思考路径如下：
1. 求解二次函数最值：首先回忆二次函数的图像特征（开口方向由二次项系数a决定，顶点为最值点），分两种情况讨论：①自变量取值为全体实数时，直接通过顶点坐标判断最值；②自变量有区间限制时，先判断对称轴和区间的位置关系，结合函数单调性确定最值在顶点还是区间端点处取得。
2. 计算调价销售的利润：核心是抓住“总利润=单件利润×销量”的等量关系，第一步先梳理已知的成本、原售价、原销量、销量随价格的变化规律等基础量；第二步设调价金额为自变量，用含自变量的式子表示调价后的单件利润和销量；第三步代入等量关系列函数式，再结合实际意义确定自变量的取值范围即可。
【解析】
分两个问题解答如下：
1. 求二次函数最大（小）值的方法：
对于二次函数$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$）：
① 当自变量的取值范围是全体实数时：
若$a＞0$，抛物线开口向上，当$x=-\frac{b}{2a}$时，函数取得最小值$y=\frac{4ac-b^2}{4a}$，无最大值；
若$a＜0$，抛物线开口向下，当$x=-\frac{b}{2a}$时，函数取得最大值$y=\frac{4ac-b^2}{4a}$，无最小值。
② 当自变量的取值范围是限定的闭区间$m≤ x≤ n$时：
先判断对称轴$x=-\frac{b}{2a}$与该区间的位置关系：
若对称轴落在区间内，函数的一个最值在顶点处取得，另一个最值在离对称轴更远的区间端点处取得；
若对称轴落在区间外，函数在该区间上单调，直接将区间两个端点的$x$值代入函数解析式，计算得到的两个函数值即为该范围内的最大值和最小值。
2. 调整价格时销售商品的利润计算方法：
① 先确定已知基础量：商品单件成本、原定售价、原定销量，以及每涨价/降价1单位时销量的对应变化量；
② 设合理的变量（通常设涨价或降价的金额为$x$），用含$x$的代数式表示：调整后的单件利润 = 调整后售价 - 单件成本，调整后的实际销量 = 原销量 ± 随价格变动的销量变化量；
③ 依据“总利润 = 单件利润 × 销售总数量”，列出总利润关于变量$x$的函数关系式，同时结合实际约束（售价不低于成本、销量非负等）确定自变量$x$的取值范围，即可得到对应利润的计算表达式，后续可进一步求解最大利润。
【答案】
1. 求二次函数最大（小）值的方法：
对于二次函数$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$）：
① 当自变量的取值范围是全体实数时：
若$a＞0$，抛物线开口向上，当$x=-\frac{b}{2a}$时，函数取得最小值$y=\frac{4ac-b^2}{4a}$，无最大值；
若$a＜0$，抛物线开口向下，当$x=-\frac{b}{2a}$时，函数取得最大值$y=\frac{4ac-b^2}{4a}$，无最小值。
② 当自变量的取值范围是限定的闭区间$m≤ x≤ n$时：
先判断对称轴$x=-\frac{b}{2a}$与该区间的位置关系：
若对称轴落在区间内，函数的一个最值在顶点处取得，另一个最值在离对称轴更远的区间端点处取得；
若对称轴落在区间外，函数在该区间上单调，直接将区间两个端点的$x$值代入函数解析式，计算得到的两个函数值即为该范围内的最大值和最小值。
2. 调整价格时销售商品的利润计算方法：
① 先确定已知基础量：商品单件成本、原定售价、原定销量，以及每涨价/降价1单位时销量的对应变化量；
② 设合理的变量（通常设涨价或降价的金额为$x$），用含$x$的代数式表示：调整后的单件利润 = 调整后售价 - 单件成本，调整后的实际销量 = 原销量 ± 随价格变动的销量变化量；
③ 依据“总利润 = 单件利润 × 销售总数量”，列出总利润关于变量$x$的函数关系式，同时结合实际约束（售价不低于成本、销量非负等）确定自变量$x$的取值范围，即可得到对应利润的计算表达式，后续可进一步求解最大利润。
【知识点】
1. 二次函数最值求解
2. 销售利润计算
3. 二次函数实际应用
【点评】
本题是二次函数实际应用的基础内容，既考查对二次函数基本性质的理解掌握，也要求具备将实际销售问题转化为函数模型的能力，是解决各类实际最值应用题的必备基础。
【难度系数】
0.8
【典型例题】某超市以20元/个的价格购入一批新型玩具，当售价为34元/个时，超市平均每天可售出100个。经调查发现：在一定范围内，玩具的单价每降低1元，超市每天可多售出10个。设玩具的单价降低了x元，超市每天销售该批玩具的利润为w元。
(1)降价后超市平均每天可售出
(2)求w关于x的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围.
(3)当超市将玩具的单价定为多少元时，可使每天获得的利润最大？最大利润是多少元？
【解】(1)$(10x+100)$
(2)根据题意，得$w=(10x+100)(34-20-x)$,
即$w=-10x^2+40x+1400$.
其中，$0≤ x≤14$.
(3)$w=-10x^2+40x+1400=-10(x-2)^2+1440$.
当$x=2$时，$w$取最大值，最大值为1440.
此时玩具的单价为$34-2=32$(元).
因此，当超市将玩具的单价定为32元时，可使每天获得的利润最大，最大利润是1440元.
规律方法 最大利润问题常用的数量关系：
利润$=$售价$-$进价.
利润$=$进价$×$利润率.
利润率$=\dfrac{售价-进价}{进价}×100\%=\dfrac{利润}{进价}×100\%$.
【即学即练】
某商店销售一种水杯，进价为每个40元，当售价为每个60元时，每天可售出200个.经市场调研发现：在此定价基础上，单价每上涨1元，每天的销售量减少5个；单价每下降1元，每天的销售量增加10个.设这种水杯的售价为每个$x(x≥40)$元，每天的销售利润为$y$元.当售价定为多少
时，每天的销售利润最大？
(1)降价后超市平均每天可售出
(10x+100)
个玩具.(用含x的式子表示)(2)求w关于x的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围.
(3)当超市将玩具的单价定为多少元时，可使每天获得的利润最大？最大利润是多少元？
【解】(1)$(10x+100)$
(2)根据题意，得$w=(10x+100)(34-20-x)$,
即$w=-10x^2+40x+1400$.
其中，$0≤ x≤14$.
(3)$w=-10x^2+40x+1400=-10(x-2)^2+1440$.
当$x=2$时，$w$取最大值，最大值为1440.
此时玩具的单价为$34-2=32$(元).
因此，当超市将玩具的单价定为32元时，可使每天获得的利润最大，最大利润是1440元.
规律方法 最大利润问题常用的数量关系：
利润$=$售价$-$进价.
利润$=$进价$×$利润率.
利润率$=\dfrac{售价-进价}{进价}×100\%=\dfrac{利润}{进价}×100\%$.
【即学即练】
某商店销售一种水杯，进价为每个40元，当售价为每个60元时，每天可售出200个.经市场调研发现：在此定价基础上，单价每上涨1元，每天的销售量减少5个；单价每下降1元，每天的销售量增加10个.设这种水杯的售价为每个$x(x≥40)$元，每天的销售利润为$y$元.当售价定为多少
时，每天的销售利润最大？
答案
1. (10x+100)
2. w关于x的函数解析式为$w=-10x^2+40x+1400$，自变量x的取值范围是$0≤ x≤14$
3. 当超市将玩具的单价定为32元时，可使每天获得的利润最大，最大利润是1440元
即学即练解答：
分两种情况讨论.
①当 $x＞60$ 时,销售量为 $200-5(x-60)$.
此时 $y=(x-40)[200-5(x-60)]$,
即 $y=-5x^2+700x-20 000=-5(x-70)^2+4 500$.
当 $x=70$ 时,$y$ 取最大值,最大值为 4 500.
②当 $40≤x≤60$ 时,销售量为 $200+10(60-x)$.
此时 $y=(x-40)[200+10(60-x)]$,
即 $y=-10x^2+1 200x-32 000=-10(x-60)^2+4 000$.
当 $x=60$ 时,$y$ 取最大值,最大值为 4 000.
$\because 4\ 500＞4\ 000$,
$\therefore$ 当售价定为每个 70 元时,每天的销售利润最大.
2. w关于x的函数解析式为$w=-10x^2+40x+1400$，自变量x的取值范围是$0≤ x≤14$
3. 当超市将玩具的单价定为32元时，可使每天获得的利润最大，最大利润是1440元
即学即练解答：
分两种情况讨论.
①当 $x＞60$ 时,销售量为 $200-5(x-60)$.
此时 $y=(x-40)[200-5(x-60)]$,
即 $y=-5x^2+700x-20 000=-5(x-70)^2+4 500$.
当 $x=70$ 时,$y$ 取最大值,最大值为 4 500.
②当 $40≤x≤60$ 时,销售量为 $200+10(60-x)$.
此时 $y=(x-40)[200+10(60-x)]$,
即 $y=-10x^2+1 200x-32 000=-10(x-60)^2+4 000$.
当 $x=60$ 时,$y$ 取最大值,最大值为 4 000.
$\because 4\ 500＞4\ 000$,
$\therefore$ 当售价定为每个 70 元时,每天的销售利润最大.
解析
【分析】
本题是销售利润类的二次函数最值问题，解题时需先根据售价的不同范围分类讨论：首先明确售价高于60元时属于涨价区间，单价每涨1元销量减少5个；售价在40元到60元之间属于降价区间，单价每降1元销量增加10个。分别写出两个区间内的销量表达式，再根据“总利润=单个利润×销售量”列出对应的二次函数解析式，结合二次函数的开口方向和顶点坐标求出每个区间的最大利润，最后比较两个最大值，取较大值对应的售价即可。
【解析】
根据题意分两种情况讨论：
①当 $x＞60$ 时，单价上涨了$(x-60)$元，此时每天的销售量为 $200-5(x-60)$ 个，单个利润为$(x-40)$元，
因此总利润 $y=(x-40)[200-5(x-60)]$，
化简得：
$y=-5x^2+700x-20000=-5(x-70)^2+4500$，
$\because -5＜0$，二次函数开口向下，
$\therefore$ 当 $x=70$ 时，$y$ 取得最大值，最大值为4500元；
②当 $40\le x\le60$ 时，单价下降了$(60-x)$元，此时每天的销售量为 $200+10(60-x)$ 个，单个利润为$(x-40)$元，
因此总利润 $y=(x-40)[200+10(60-x)]$，
化简得：
$y=-10x^2+1200x-32000=-10(x-60)^2+4000$，
$\because -10＜0$，二次函数开口向下，且对称轴为$x=60$，
$\therefore$ 当 $x=60$ 时，$y$ 取得最大值，最大值为4000元；
$\because 4500＞4000$，
$\therefore$ 售价为70元时利润最大。
【答案】
当售价定为每个70元时，每天的销售利润最大。
【知识点】
二次函数的应用；销售利润计算；二次函数的最值
【点评】
本题考查二次函数在实际销售问题中的应用，解题的核心是根据售价的不同变化规律分类讨论，正确列出对应区间的函数解析式，再结合二次函数的性质求最值，注意不要遗漏分类情况。
【难度系数】
0.6
本题是销售利润类的二次函数最值问题，解题时需先根据售价的不同范围分类讨论：首先明确售价高于60元时属于涨价区间，单价每涨1元销量减少5个；售价在40元到60元之间属于降价区间，单价每降1元销量增加10个。分别写出两个区间内的销量表达式，再根据“总利润=单个利润×销售量”列出对应的二次函数解析式，结合二次函数的开口方向和顶点坐标求出每个区间的最大利润，最后比较两个最大值，取较大值对应的售价即可。
【解析】
根据题意分两种情况讨论：
①当 $x＞60$ 时，单价上涨了$(x-60)$元，此时每天的销售量为 $200-5(x-60)$ 个，单个利润为$(x-40)$元，
因此总利润 $y=(x-40)[200-5(x-60)]$，
化简得：
$y=-5x^2+700x-20000=-5(x-70)^2+4500$，
$\because -5＜0$，二次函数开口向下，
$\therefore$ 当 $x=70$ 时，$y$ 取得最大值，最大值为4500元；
②当 $40\le x\le60$ 时，单价下降了$(60-x)$元，此时每天的销售量为 $200+10(60-x)$ 个，单个利润为$(x-40)$元，
因此总利润 $y=(x-40)[200+10(60-x)]$，
化简得：
$y=-10x^2+1200x-32000=-10(x-60)^2+4000$，
$\because -10＜0$，二次函数开口向下，且对称轴为$x=60$，
$\therefore$ 当 $x=60$ 时，$y$ 取得最大值，最大值为4000元；
$\because 4500＞4000$，
$\therefore$ 售价为70元时利润最大。
【答案】
当售价定为每个70元时，每天的销售利润最大。
【知识点】
二次函数的应用；销售利润计算；二次函数的最值
【点评】
本题考查二次函数在实际销售问题中的应用，解题的核心是根据售价的不同变化规律分类讨论，正确列出对应区间的函数解析式，再结合二次函数的性质求最值，注意不要遗漏分类情况。
【难度系数】
0.6
