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1. 当$n$为正整数时，$a^{-n}=$
$\frac{1}{a^n}$
（$a≠0$），也就是说$a^{-n}$是$a^n$的 倒
数。答案
1. $\frac{1}{a^n}$ 倒
解析
【分析】
解题时先回忆负整数指数幂的相关规定：学习同底数幂除法时，若被除数的指数小于除数的指数，既可以通过同底数幂运算法则得到负指数形式，也可以通过约分得到分式形式，结合二者就能推出$a^{-n}$的表达式；再根据倒数的定义（乘积为1的两个数互为倒数），判断$a^{-n}$和$a^n$的关系即可。
【解析】
根据负整数指数幂的定义：当$n$为正整数且$a≠0$时，$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$；
因为$a^{-n}× a^n=a^{-n+n}=a^0=1$（$a≠0$），满足倒数的定义，因此$a^{-n}$是$a^n$的倒数。
【答案】
$\frac{1}{a^n}$；倒
【知识点】
负整数指数幂；倒数的定义
【点评】
本题属于基础概念类题目，核心考察对负整数指数幂定义的识记与理解，熟练掌握相关基础概念即可快速解题。
【难度系数】
0.9
解题时先回忆负整数指数幂的相关规定：学习同底数幂除法时，若被除数的指数小于除数的指数，既可以通过同底数幂运算法则得到负指数形式，也可以通过约分得到分式形式，结合二者就能推出$a^{-n}$的表达式；再根据倒数的定义（乘积为1的两个数互为倒数），判断$a^{-n}$和$a^n$的关系即可。
【解析】
根据负整数指数幂的定义：当$n$为正整数且$a≠0$时，$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$；
因为$a^{-n}× a^n=a^{-n+n}=a^0=1$（$a≠0$），满足倒数的定义，因此$a^{-n}$是$a^n$的倒数。
【答案】
$\frac{1}{a^n}$；倒
【知识点】
负整数指数幂；倒数的定义
【点评】
本题属于基础概念类题目，核心考察对负整数指数幂定义的识记与理解，熟练掌握相关基础概念即可快速解题。
【难度系数】
0.9
2. 整数指数幂的性质:(m,n均为整数)
(1)$a^m · a^n =$
(3)$(ab)^n =$
(1)$a^m · a^n =$
$a^{m+n}$
;(2)$(a^m)^n =$ $a^{mn}$
;(3)$(ab)^n =$
$a^nb^n$
;(4)$a^m ÷ a^n =$ $a^{m-n}$
.答案
2. (1) $a^{m+n}$ (2) $a^{mn}$ (3) $a^nb^n$ (4) $a^{m-n}$
解析
【分析】
本题考查整数指数幂的基本运算性质，解题时只需回忆整数指数幂对应的四条运算规则，直接对应填空即可。这四条性质是正整数指数幂运算性质的推广，当指数扩展到全体整数后依然成立，运算时均需保证底数不为0使得式子有意义。
【解析】
(1) 根据同底数幂相乘的运算性质：底数不变，指数相加，可得$a^m · a^n = a^{m+n}$；
(2) 根据幂的乘方的运算性质：底数不变，指数相乘，可得$(a^m)^n = a^{mn}$；
(3) 根据积的乘方的运算性质：将积中的每个因式分别乘方，再将所得的幂相乘，可得$(ab)^n = a^n b^n$；
(4) 根据同底数幂相除的运算性质：底数不变，指数相减，可得$a^m ÷ a^n = a^{m-n}$（$a≠0$）。
【答案】
(1) $a^{m+n}$ (2) $a^{mn}$ (3) $a^nb^n$ (4) $a^{m-n}$
【知识点】
同底数幂的乘除运算、幂的乘方运算、积的乘方运算
【点评】
本题属于基础识记类题目，直接考查整数指数幂的核心运算性质，熟练掌握这些性质是进行整式乘除、分式运算等后续代数运算的重要前提。
【难度系数】
0.9
本题考查整数指数幂的基本运算性质，解题时只需回忆整数指数幂对应的四条运算规则，直接对应填空即可。这四条性质是正整数指数幂运算性质的推广，当指数扩展到全体整数后依然成立，运算时均需保证底数不为0使得式子有意义。
【解析】
(1) 根据同底数幂相乘的运算性质：底数不变，指数相加，可得$a^m · a^n = a^{m+n}$；
(2) 根据幂的乘方的运算性质：底数不变，指数相乘，可得$(a^m)^n = a^{mn}$；
(3) 根据积的乘方的运算性质：将积中的每个因式分别乘方，再将所得的幂相乘，可得$(ab)^n = a^n b^n$；
(4) 根据同底数幂相除的运算性质：底数不变，指数相减，可得$a^m ÷ a^n = a^{m-n}$（$a≠0$）。
【答案】
(1) $a^{m+n}$ (2) $a^{mn}$ (3) $a^nb^n$ (4) $a^{m-n}$
【知识点】
同底数幂的乘除运算、幂的乘方运算、积的乘方运算
【点评】
本题属于基础识记类题目，直接考查整数指数幂的核心运算性质，熟练掌握这些性质是进行整式乘除、分式运算等后续代数运算的重要前提。
【难度系数】
0.9
1. 计算 $2^{-1}$ 的结果是 （
A.2
B.$\frac{1}{2}$
C.$-2$
D.$-\frac{1}{2}$
B
）A.2
B.$\frac{1}{2}$
C.$-2$
D.$-\frac{1}{2}$
答案
1. B
解析
【分析】
解题时首先回忆负整数指数幂的运算法则，明确非零数的负整数次幂等于这个数正整数次幂的倒数，将$2^{-1}$按照法则转化为正指数幂的倒数形式，再计算即可得到结果。
【解析】
根据负整数指数幂的运算法则：$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$a≠0$，$p$为正整数），
可得$2^{-1}=\frac{1}{2^{1}}=\frac{1}{2}$。
因此本题选B。
【答案】
B
【知识点】
负整数指数幂运算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对负整数指数幂运算法则的记忆与简单应用，熟练掌握相关运算规则即可快速得出正确答案。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆负整数指数幂的运算法则，明确非零数的负整数次幂等于这个数正整数次幂的倒数，将$2^{-1}$按照法则转化为正指数幂的倒数形式，再计算即可得到结果。
【解析】
根据负整数指数幂的运算法则：$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$a≠0$，$p$为正整数），
可得$2^{-1}=\frac{1}{2^{1}}=\frac{1}{2}$。
因此本题选B。
【答案】
B
【知识点】
负整数指数幂运算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对负整数指数幂运算法则的记忆与简单应用，熟练掌握相关运算规则即可快速得出正确答案。
【难度系数】
0.9
2. 下列各式中,与$2a^{-1}$相等的是 （
A.$2a$
B.$\dfrac{2}{a}$
C.$\dfrac{a}{2}$
D.$-2a$
B
）A.$2a$
B.$\dfrac{2}{a}$
C.$\dfrac{a}{2}$
D.$-2a$
答案
2. B
解析
【分析】
本题考查负整数指数幂的运算，解题时首先回忆负整数指数幂的运算法则，明确$a^{-p}$（$a≠0$，$p$为正整数）的转化方法，再对$2a^{-1}$进行化简，最后和各选项对比即可得到答案。注意运算时不要将系数2也放入分母中，避免出错。
【解析】
根据负整数指数幂的运算法则：对于非零实数$a$，正整数$n$，有$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$。
对$2a^{-1}$进行化简：
$2a^{-1}=2× a^{-1}=2×\frac{1}{a^1}=\frac{2}{a}$
对比选项，只有B选项符合化简结果。
【答案】
B
【知识点】
负整数指数幂的运算
【点评】
本题属于基础概念题，核心是对负整数指数幂转化规则的掌握，运算时要注意仅将带负指数的底数转化为倒数形式，前面的系数保持不变，避免因混淆运算规则选错答案。
【难度系数】
0.9
本题考查负整数指数幂的运算，解题时首先回忆负整数指数幂的运算法则，明确$a^{-p}$（$a≠0$，$p$为正整数）的转化方法，再对$2a^{-1}$进行化简，最后和各选项对比即可得到答案。注意运算时不要将系数2也放入分母中，避免出错。
【解析】
根据负整数指数幂的运算法则：对于非零实数$a$，正整数$n$，有$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$。
对$2a^{-1}$进行化简：
$2a^{-1}=2× a^{-1}=2×\frac{1}{a^1}=\frac{2}{a}$
对比选项，只有B选项符合化简结果。
【答案】
B
【知识点】
负整数指数幂的运算
【点评】
本题属于基础概念题，核心是对负整数指数幂转化规则的掌握，运算时要注意仅将带负指数的底数转化为倒数形式，前面的系数保持不变，避免因混淆运算规则选错答案。
【难度系数】
0.9
3.若式子$2(3x-6)^{-3}$有意义，那么$x$的取值范围是（
A.$x＞2$
B.$x＜2$
C.$x≠2$
D.$x≥2$
C
）A.$x＞2$
B.$x＜2$
C.$x≠2$
D.$x≥2$
答案
3. C
解析
【分析】
要判断式子有意义时x的取值范围，首先观察式子含负整数指数幂，根据负整数指数幂的意义，负指数幂可以转化为正指数幂的倒数，而倒数的分母不能为0，因此只需令负指数幂的底数不等于0，解对应的不等式即可得到x的取值范围。
【解析】
根据负整数指数幂的定义：$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$a≠0$，$p$是正整数），
要使$2(3x-6)^{-3}$有意义，需满足底数$3x-6≠0$，
解不等式：
$3x-6≠0$
移项得：$3x≠6$
系数化为1得：$x≠2$
因此x的取值范围是$x≠2$。
【答案】
C
【知识点】
1. 负整数指数幂的意义
2. 解一元一次不等式
【点评】
本题是基础概念考查题，解题核心是牢记负整数指数幂的底数不能为0的限制条件，避免因忽略该条件导致解题错误。
【难度系数】
0.85
要判断式子有意义时x的取值范围，首先观察式子含负整数指数幂，根据负整数指数幂的意义，负指数幂可以转化为正指数幂的倒数，而倒数的分母不能为0，因此只需令负指数幂的底数不等于0，解对应的不等式即可得到x的取值范围。
【解析】
根据负整数指数幂的定义：$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$a≠0$，$p$是正整数），
要使$2(3x-6)^{-3}$有意义，需满足底数$3x-6≠0$，
解不等式：
$3x-6≠0$
移项得：$3x≠6$
系数化为1得：$x≠2$
因此x的取值范围是$x≠2$。
【答案】
C
【知识点】
1. 负整数指数幂的意义
2. 解一元一次不等式
【点评】
本题是基础概念考查题，解题核心是牢记负整数指数幂的底数不能为0的限制条件，避免因忽略该条件导致解题错误。
【难度系数】
0.85
4.计算:(1)$(\frac{1}{4})^{-1}=$
4
;(2)$(\frac{3}{2})^{-2}=$$\frac{4}{9}$
.答案
4. (1) 4 (2) $\frac{4}{9}$
解析
【分析】
本题考查负整数指数幂的运算，解题时先回忆负整数指数幂的运算法则：任何非零数的-p（p为正整数）次幂，等于这个数的p次幂的倒数，即$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$a≠0$，p是正整数）。对于分数的负指数运算，也可以直接将分数的分子、分母颠倒位置，同时把负指数变为正指数再计算，更加简便。第一问计算$(\frac{1}{4})^{-1}$，直接将底数$\frac{1}{4}$的分子分母颠倒，指数变为正1即可；第二问计算$(\frac{3}{2})^{-2}$，先颠倒底数的分子分母得到$\frac{2}{3}$，再计算$\frac{2}{3}$的2次幂即可得到结果。
【解析】
根据负整数指数幂的运算法则$a^{-p}=\frac{1}{a^p}(a≠0,p为正整数)$计算：
(1) $(\frac{1}{4})^{-1}=\frac{1}{(\frac{1}{4})^{1}}=4$
(2) $(\frac{3}{2})^{-2}=\frac{1}{(\frac{3}{2})^{2}}=\frac{1}{\frac{9}{4}}=\frac{4}{9}$
【答案】
(1) $\boxed{4}$；(2) $\boxed{\dfrac{4}{9}}$
【知识点】
负整数指数幂的运算，分数乘方运算
【点评】
本题属于基础运算题，核心考查负整数指数幂的运算法则，解题时需注意负指数转换为正指数时，底数的分子分母要正确颠倒，乘方计算要避免失误，熟练掌握法则即可快速得分。
【难度系数】
0.9
本题考查负整数指数幂的运算，解题时先回忆负整数指数幂的运算法则：任何非零数的-p（p为正整数）次幂，等于这个数的p次幂的倒数，即$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$a≠0$，p是正整数）。对于分数的负指数运算，也可以直接将分数的分子、分母颠倒位置，同时把负指数变为正指数再计算，更加简便。第一问计算$(\frac{1}{4})^{-1}$，直接将底数$\frac{1}{4}$的分子分母颠倒，指数变为正1即可；第二问计算$(\frac{3}{2})^{-2}$，先颠倒底数的分子分母得到$\frac{2}{3}$，再计算$\frac{2}{3}$的2次幂即可得到结果。
【解析】
根据负整数指数幂的运算法则$a^{-p}=\frac{1}{a^p}(a≠0,p为正整数)$计算：
(1) $(\frac{1}{4})^{-1}=\frac{1}{(\frac{1}{4})^{1}}=4$
(2) $(\frac{3}{2})^{-2}=\frac{1}{(\frac{3}{2})^{2}}=\frac{1}{\frac{9}{4}}=\frac{4}{9}$
【答案】
(1) $\boxed{4}$；(2) $\boxed{\dfrac{4}{9}}$
【知识点】
负整数指数幂的运算，分数乘方运算
【点评】
本题属于基础运算题，核心考查负整数指数幂的运算法则，解题时需注意负指数转换为正指数时，底数的分子分母要正确颠倒，乘方计算要避免失误，熟练掌握法则即可快速得分。
【难度系数】
0.9
5. 计算：$|-2|+(\dfrac{1}{5})^{-1}-2025^{0}+(-2)^{2}$
答案
5. 解:原式$=2+5-1+4=10$.
解析
【分析】
本题属于实数混合运算的基础题型，解题时需先拆分算式中各个独立运算模块，分别计算出每部分的结果后再做加减运算：①根据绝对值的性质，负数的绝对值是它的相反数，可算出$|-2|$的结果；②根据负整数指数幂的运算法则：非零数的负整数次幂等于其正整数次幂的倒数，可算出$(\dfrac{1}{5})^{-1}$的结果；③根据零指数幂的运算法则：任何非零数的0次幂等于1，可算出$2025^0$的结果；④根据乘方的意义算出$(-2)^2$的结果，最后将所有结果按顺序进行加减运算即可。
【解析】
解：原式$=2+5-1+4$
$=10$
【答案】
$10$
【知识点】
绝对值运算；负整数指数幂运算；零指数幂运算
【点评】
本题侧重考察基础运算规则的掌握情况，只要准确记忆各类运算的法则，计算时细心即可得出正确结果，属于基础类题目。
【难度系数】
0.9
本题属于实数混合运算的基础题型，解题时需先拆分算式中各个独立运算模块，分别计算出每部分的结果后再做加减运算：①根据绝对值的性质，负数的绝对值是它的相反数，可算出$|-2|$的结果；②根据负整数指数幂的运算法则：非零数的负整数次幂等于其正整数次幂的倒数，可算出$(\dfrac{1}{5})^{-1}$的结果；③根据零指数幂的运算法则：任何非零数的0次幂等于1，可算出$2025^0$的结果；④根据乘方的意义算出$(-2)^2$的结果，最后将所有结果按顺序进行加减运算即可。
【解析】
解：原式$=2+5-1+4$
$=10$
【答案】
$10$
【知识点】
绝对值运算；负整数指数幂运算；零指数幂运算
【点评】
本题侧重考察基础运算规则的掌握情况，只要准确记忆各类运算的法则，计算时细心即可得出正确结果，属于基础类题目。
【难度系数】
0.9
6. 计算$(a^{-1}b^2)^3$的结果是（
A.$a^3b^6$
B.$a^{-3}b^8$
C.$-a^2b^6$
D.$\frac{b^6}{a^3}$
D
）A.$a^3b^6$
B.$a^{-3}b^8$
C.$-a^2b^6$
D.$\frac{b^6}{a^3}$
答案
6. D
解析
【分析】
本题考查整数指数幂的运算，解题思路如下：首先回忆积的乘方运算性质，把括号内的每个因式分别乘3次方；再运用幂的乘方运算性质，底数不变、指数相乘，分别计算两个因式的乘方结果；最后根据负整数指数幂的运算规则，把负指数转化为正指数的倒数形式，匹配对应选项即可得到答案。
【解析】
根据整数指数幂的运算规则计算：
第一步，运用积的乘方性质：$(ab)^n=a^n b^n$，可得：
$(a^{-1}b^2)^3=(a^{-1})^3 · (b^2)^3$
第二步，运用幂的乘方性质：$(a^m)^n=a^{mn}$，分别计算两个因式：
$(a^{-1})^3=a^{-1×3}=a^{-3}$，$(b^2)^3=b^{2×3}=b^6$
因此原式化简为$a^{-3}b^6$
第三步，根据负整数指数幂规则：$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$a≠0$，$p$为正整数），可得：
$a^{-3}b^6=\frac{b^6}{a^3}$
对应选项为D。
【答案】
D
【知识点】
积的乘方运算、幂的乘方运算、负整数指数幂运算
【点评】
本题是指数幂运算的基础常规题，核心考查学生对整数指数幂运算性质的掌握熟练度，运算时需注意负指数的转化规则，避免出现指数计算错误的问题。
【难度系数】
0.85
本题考查整数指数幂的运算，解题思路如下：首先回忆积的乘方运算性质，把括号内的每个因式分别乘3次方；再运用幂的乘方运算性质，底数不变、指数相乘，分别计算两个因式的乘方结果；最后根据负整数指数幂的运算规则，把负指数转化为正指数的倒数形式，匹配对应选项即可得到答案。
【解析】
根据整数指数幂的运算规则计算：
第一步，运用积的乘方性质：$(ab)^n=a^n b^n$，可得：
$(a^{-1}b^2)^3=(a^{-1})^3 · (b^2)^3$
第二步，运用幂的乘方性质：$(a^m)^n=a^{mn}$，分别计算两个因式：
$(a^{-1})^3=a^{-1×3}=a^{-3}$，$(b^2)^3=b^{2×3}=b^6$
因此原式化简为$a^{-3}b^6$
第三步，根据负整数指数幂规则：$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$a≠0$，$p$为正整数），可得：
$a^{-3}b^6=\frac{b^6}{a^3}$
对应选项为D。
【答案】
D
【知识点】
积的乘方运算、幂的乘方运算、负整数指数幂运算
【点评】
本题是指数幂运算的基础常规题，核心考查学生对整数指数幂运算性质的掌握熟练度，运算时需注意负指数的转化规则，避免出现指数计算错误的问题。
【难度系数】
0.85
7.【教材P160例1变式】计算：
(1)$x^{-2}y·(xy^{-3})^{-2}$；
(2)$(\dfrac{b^2}{a^2c})^{-2}$.
(1)$x^{-2}y·(xy^{-3})^{-2}$；
(2)$(\dfrac{b^2}{a^2c})^{-2}$.
答案
7. (1) 解:原式$=x^{-2} y · x^{-2} y^6 = x^{-4} y^7 = \frac{y^7}{x^4}$. (2) 解:原式$=\frac{b^{-4}}{a^{-4}c^{-2}} = a^4 c^2 b^{-4} = \frac{a^4 c^2}{b^4}$.
解析
【分析】
本题考查整数指数幂的运算，解题思路如下：首先回忆整数指数幂的相关运算法则：①积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；②幂的乘方，底数不变，指数相乘；③同底数幂相乘，底数不变，指数相加；④负整数指数幂：$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$a≠0$，$p$为正整数）。
对于第(1)题，先根据积的乘方和幂的乘方法则计算$(xy^{-3})^{-2}$，再将所得结果与$x^{-2}y$按照同底数幂的乘法法则计算，最后将负指数转化为正指数的形式即可。
对于第(2)题，先根据商的乘方法则将分子、分母分别乘方，再结合幂的乘方法则化简，最后将负指数转化为正指数得到最简结果。
【解析】
(1) 先计算乘方运算：
根据积的乘方和幂的乘方法则，$(xy^{-3})^{-2}=x^{-2}·(y^{-3})^{-2}=x^{-2}y^{6}$
再计算同底数幂的乘法：
原式$=x^{-2}y· x^{-2}y^{6}=x^{-2+(-2)}y^{1+6}=x^{-4}y^{7}$
将负指数转化为正指数形式：$x^{-4}y^{7}=\frac{y^7}{x^4}$
(2) 根据商的乘方和积的乘方法则，将分子分母分别乘方：
原式$=\frac{(b^2)^{-2}}{(a^2c)^{-2}}=\frac{b^{2×(-2)}}{(a^2)^{-2}· c^{-2}}=\frac{b^{-4}}{a^{-4}c^{-2}}$
将负指数转化为正指数，即把负指数的因式移到分数线另一侧，指数变正：
$\frac{b^{-4}}{a^{-4}c^{-2}}=\frac{a^4c^2}{b^4}$
【答案】
(1) $\frac{y^7}{x^4}$；(2) $\frac{a^4c^2}{b^4}$
【知识点】
整数指数幂运算，负整数指数幂转化，幂的乘方与积的乘方
【点评】
本题是整数指数幂运算的基础题型，解题核心是熟练掌握幂的各类运算法则，运算过程中要重点注意负指数的符号转换，避免因指数符号记错导致运算错误。
【难度系数】
0.8
本题考查整数指数幂的运算，解题思路如下：首先回忆整数指数幂的相关运算法则：①积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；②幂的乘方，底数不变，指数相乘；③同底数幂相乘，底数不变，指数相加；④负整数指数幂：$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$a≠0$，$p$为正整数）。
对于第(1)题，先根据积的乘方和幂的乘方法则计算$(xy^{-3})^{-2}$，再将所得结果与$x^{-2}y$按照同底数幂的乘法法则计算，最后将负指数转化为正指数的形式即可。
对于第(2)题，先根据商的乘方法则将分子、分母分别乘方，再结合幂的乘方法则化简，最后将负指数转化为正指数得到最简结果。
【解析】
(1) 先计算乘方运算：
根据积的乘方和幂的乘方法则，$(xy^{-3})^{-2}=x^{-2}·(y^{-3})^{-2}=x^{-2}y^{6}$
再计算同底数幂的乘法：
原式$=x^{-2}y· x^{-2}y^{6}=x^{-2+(-2)}y^{1+6}=x^{-4}y^{7}$
将负指数转化为正指数形式：$x^{-4}y^{7}=\frac{y^7}{x^4}$
(2) 根据商的乘方和积的乘方法则，将分子分母分别乘方：
原式$=\frac{(b^2)^{-2}}{(a^2c)^{-2}}=\frac{b^{2×(-2)}}{(a^2)^{-2}· c^{-2}}=\frac{b^{-4}}{a^{-4}c^{-2}}$
将负指数转化为正指数，即把负指数的因式移到分数线另一侧，指数变正：
$\frac{b^{-4}}{a^{-4}c^{-2}}=\frac{a^4c^2}{b^4}$
【答案】
(1) $\frac{y^7}{x^4}$；(2) $\frac{a^4c^2}{b^4}$
【知识点】
整数指数幂运算，负整数指数幂转化，幂的乘方与积的乘方
【点评】
本题是整数指数幂运算的基础题型，解题核心是熟练掌握幂的各类运算法则，运算过程中要重点注意负指数的符号转换，避免因指数符号记错导致运算错误。
【难度系数】
0.8
8. 下列计算中，正确的是（
A.$(ab^2)^{-1}=ab^2$
B.$(-a^{-5})^{-3}=\frac{1}{a^{15}}$
C.$(\frac{a}{b})^{-2}=\frac{b^2}{a^2}$
D.$(3x^3)^{-3}=-\frac{1}{27x^9}$
【点拨】分别按照积的乘方、幂的乘方和分式的乘方法则计算，再把负整数指数幂改写成正整数指数幂。
C
）A.$(ab^2)^{-1}=ab^2$
B.$(-a^{-5})^{-3}=\frac{1}{a^{15}}$
C.$(\frac{a}{b})^{-2}=\frac{b^2}{a^2}$
D.$(3x^3)^{-3}=-\frac{1}{27x^9}$
【点拨】分别按照积的乘方、幂的乘方和分式的乘方法则计算，再把负整数指数幂改写成正整数指数幂。
答案
8. C
解析
【分析】
解题时需逐个验证每个选项的计算是否正确，用到的核心规则有三个：1. 负整数指数幂规则：$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$a≠0$，$p$为正整数）；2. 积的乘方规则：$(ab)^n=a^n b^n$；3. 幂的乘方规则：$(a^m)^n=a^{mn}$。按照规则对每个选项逐一计算，排除错误选项即可得到正确答案。
【解析】
我们对每个选项分别计算：
选项A：根据积的乘方和负指数幂规则，$(ab^2)^{-1}=a^{-1}· (b^2)^{-1}=a^{-1}b^{-2}=\frac{1}{ab^2}≠ ab^2$，故A错误；
选项B：根据积的乘方和幂的乘方规则，$(-a^{-5})^{-3}=(-1)^{-3}· (a^{-5})^{-3}=\frac{1}{(-1)^3}· a^{(-5)×(-3)}=-a^{15}≠ \frac{1}{a^{15}}$，故B错误；
选项C：根据分式的乘方和负指数幂规则，$(\frac{a}{b})^{-2}=\frac{a^{-2}}{b^{-2}}=\frac{\frac{1}{a^2}}{\frac{1}{b^2}}=\frac{b^2}{a^2}$，故C正确；
选项D：根据积的乘方和幂的乘方规则，$(3x^3)^{-3}=3^{-3}· (x^3)^{-3}=\frac{1}{3^3}· x^{-9}=\frac{1}{27x^9}≠ -\frac{1}{27x^9}$，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
负整数指数幂运算，积的乘方运算，幂的乘方运算
【点评】
本题属于基础运算类题目，重点考查整数指数幂运算法则的应用，解题时要特别注意负号的处理、指数的乘法计算，熟练掌握相关运算规则是避免出错的关键。
【难度系数】
0.7
解题时需逐个验证每个选项的计算是否正确，用到的核心规则有三个：1. 负整数指数幂规则：$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$a≠0$，$p$为正整数）；2. 积的乘方规则：$(ab)^n=a^n b^n$；3. 幂的乘方规则：$(a^m)^n=a^{mn}$。按照规则对每个选项逐一计算，排除错误选项即可得到正确答案。
【解析】
我们对每个选项分别计算：
选项A：根据积的乘方和负指数幂规则，$(ab^2)^{-1}=a^{-1}· (b^2)^{-1}=a^{-1}b^{-2}=\frac{1}{ab^2}≠ ab^2$，故A错误；
选项B：根据积的乘方和幂的乘方规则，$(-a^{-5})^{-3}=(-1)^{-3}· (a^{-5})^{-3}=\frac{1}{(-1)^3}· a^{(-5)×(-3)}=-a^{15}≠ \frac{1}{a^{15}}$，故B错误；
选项C：根据分式的乘方和负指数幂规则，$(\frac{a}{b})^{-2}=\frac{a^{-2}}{b^{-2}}=\frac{\frac{1}{a^2}}{\frac{1}{b^2}}=\frac{b^2}{a^2}$，故C正确；
选项D：根据积的乘方和幂的乘方规则，$(3x^3)^{-3}=3^{-3}· (x^3)^{-3}=\frac{1}{3^3}· x^{-9}=\frac{1}{27x^9}≠ -\frac{1}{27x^9}$，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
负整数指数幂运算，积的乘方运算，幂的乘方运算
【点评】
本题属于基础运算类题目，重点考查整数指数幂运算法则的应用，解题时要特别注意负号的处理、指数的乘法计算，熟练掌握相关运算规则是避免出错的关键。
【难度系数】
0.7
9. 将$(\frac{1}{3})^{-1}, (-3)^0, (-3)^{-2}$这三个数按从小到大的顺序排列为（
A.$(-3)^0 ＜ (\frac{1}{3})^{-1} ＜ (-3)^{-2}$
B.$(\frac{1}{3})^{-1} ＜ (-3)^0 ＜ (-3)^{-2}$
C.$(-3)^{-2} ＜ (-3)^0 ＜ (\frac{1}{3})^{-1}$
D.$(-3)^0 ＜ (-3)^{-2} ＜ (\frac{1}{3})^{-1}$
C
）A.$(-3)^0 ＜ (\frac{1}{3})^{-1} ＜ (-3)^{-2}$
B.$(\frac{1}{3})^{-1} ＜ (-3)^0 ＜ (-3)^{-2}$
C.$(-3)^{-2} ＜ (-3)^0 ＜ (\frac{1}{3})^{-1}$
D.$(-3)^0 ＜ (-3)^{-2} ＜ (\frac{1}{3})^{-1}$
答案
9. C
解析
【分析】
要比较三个含指数幂的数的大小，需先根据零指数幂、负整数指数幂的运算法则，分别计算出三个数的具体数值，再对数值进行大小排序，最终匹配对应选项即可。
【解析】
首先明确指数幂相关运算法则：
1. 零指数幂：任何非零数的0次幂都等于1，即$a^0=1$（$a≠0$）；
2. 负整数指数幂：任何非零数的负$p$次幂（$p$为正整数），等于这个数的$p$次幂的倒数，即$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$a≠0$）。
分别计算三个数的结果：
① $(\frac{1}{3})^{-1}=\frac{1}{(\frac{1}{3})^1}=3$；
② $(-3)^0=1$（底数$-3≠0$，符合零指数幂运算要求）；
③ $(-3)^{-2}=\frac{1}{(-3)^2}=\frac{1}{9}$。
比较三个结果的大小：$\frac{1}{9}＜1＜3$，替换为原式对应得$(-3)^{-2}＜(-3)^0＜(\frac{1}{3})^{-1}$。
【答案】
C
【知识点】
零指数幂运算；负整数指数幂运算；实数大小比较
【点评】
本题属于基础题型，核心考查指数幂的基础运算规则，只要熟练掌握零指数、负整数指数幂的运算要求，准确计算各数的值即可轻松解题，计算负指数幂时要注意底数的符号，避免运算出错。
【难度系数】
0.8
要比较三个含指数幂的数的大小，需先根据零指数幂、负整数指数幂的运算法则，分别计算出三个数的具体数值，再对数值进行大小排序，最终匹配对应选项即可。
【解析】
首先明确指数幂相关运算法则：
1. 零指数幂：任何非零数的0次幂都等于1，即$a^0=1$（$a≠0$）；
2. 负整数指数幂：任何非零数的负$p$次幂（$p$为正整数），等于这个数的$p$次幂的倒数，即$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$a≠0$）。
分别计算三个数的结果：
① $(\frac{1}{3})^{-1}=\frac{1}{(\frac{1}{3})^1}=3$；
② $(-3)^0=1$（底数$-3≠0$，符合零指数幂运算要求）；
③ $(-3)^{-2}=\frac{1}{(-3)^2}=\frac{1}{9}$。
比较三个结果的大小：$\frac{1}{9}＜1＜3$，替换为原式对应得$(-3)^{-2}＜(-3)^0＜(\frac{1}{3})^{-1}$。
【答案】
C
【知识点】
零指数幂运算；负整数指数幂运算；实数大小比较
【点评】
本题属于基础题型，核心考查指数幂的基础运算规则，只要熟练掌握零指数、负整数指数幂的运算要求，准确计算各数的值即可轻松解题，计算负指数幂时要注意底数的符号，避免运算出错。
【难度系数】
0.8
10.若$a+a^{-1}=3$,则$a^2+a^{-2}$的值是
7
.答案
10. 7
解析
【分析】
观察已知条件$a+a^{-1}=3$和待求式$a^2+a^{-2}$的结构，二者符合完全平方公式的展开特征，因此可以通过将已知等式两边同时平方的方法建立两者的联系。展开后利用同底数幂的乘法性质$a · a^{-1}=1$，移项计算即可得到待求式的值。
【解析】
将等式$a + a^{-1} = 3$两边同时平方，可得：
$(a + a^{-1})^2 = 3^2$
根据完全平方公式展开左边：
$a^2 + 2· a· a^{-1} + a^{-2} = 9$
由同底数幂的运算法则可知$a· a^{-1}=a^{1-1}=a^0=1$，代入上式得：
$a^2 + 2 + a^{-2} = 9$
移项整理得：
$a^2 + a^{-2} = 9 - 2 = 7$
【答案】
7
【知识点】
完全平方公式，负整数指数幂运算
【点评】
本题属于整式运算的典型题型，核心考查完全平方公式的灵活变形能力，解题时要注意观察已知和待求式的结构关联，利用平方操作快速建立联系，计算时不要忽略$a· a^{-1}=1$的隐含条件。
【难度系数】
0.7
观察已知条件$a+a^{-1}=3$和待求式$a^2+a^{-2}$的结构，二者符合完全平方公式的展开特征，因此可以通过将已知等式两边同时平方的方法建立两者的联系。展开后利用同底数幂的乘法性质$a · a^{-1}=1$，移项计算即可得到待求式的值。
【解析】
将等式$a + a^{-1} = 3$两边同时平方，可得：
$(a + a^{-1})^2 = 3^2$
根据完全平方公式展开左边：
$a^2 + 2· a· a^{-1} + a^{-2} = 9$
由同底数幂的运算法则可知$a· a^{-1}=a^{1-1}=a^0=1$，代入上式得：
$a^2 + 2 + a^{-2} = 9$
移项整理得：
$a^2 + a^{-2} = 9 - 2 = 7$
【答案】
7
【知识点】
完全平方公式，负整数指数幂运算
【点评】
本题属于整式运算的典型题型，核心考查完全平方公式的灵活变形能力，解题时要注意观察已知和待求式的结构关联，利用平方操作快速建立联系，计算时不要忽略$a· a^{-1}=1$的隐含条件。
【难度系数】
0.7
11.计算:$(2m^2n^{-3})^{-2} · (-mn^2)^3 ÷ (m^{-3}n)^2.$
答案
11. 解:原式$=2^{-2} m^{-4} n^6 · (-m^3 n^6) ÷ m^{-6} n^2 = -2^{-2} m^{-4+3-(-6)} n^{6+6-2} = -\frac{1}{4} m^5 n^{10}$.
解析
【分析】
这道题是整数指数幂的混合运算题，解题遵循“先乘方，再乘除”的运算顺序：①第一步利用积的乘方、幂的乘方法则去掉每个括号，计算每个幂的乘方结果，注意系数也要参与乘方运算，含负号的乘方要先判断符号；②第二步按从左到右的顺序计算同底数幂的乘法和除法，同底数幂相乘底数不变、指数相加，相除则底数不变、指数相减；③最后将负整数指数幂转化为正整数指数幂的形式，化简得到最终结果。
【解析】
解：第一步，根据幂的运算法则计算各乘方项：
由积的乘方法则$(ab)^p=a^pb^p$、幂的乘方法则$(a^p)^q=a^{pq}$可得：
$(2m^2n^{-3})^{-2}=2^{-2}·(m^2)^{-2}·(n^{-3})^{-2}=2^{-2}m^{-4}n^6$
$(-mn^2)^3=(-1)^3· m^3·(n^2)^3=-m^3n^6$
$(m^{-3}n)^2=(m^{-3})^2· n^2=m^{-6}n^2$
第二步，代入原式按运算顺序计算：
原式$=2^{-2}m^{-4}n^6 · (-m^3n^6) ÷ m^{-6}n^2$
系数部分：$2^{-2}×(-1)=-\frac{1}{4}$
$m$的指数：$-4+3-(-6)=5$
$n$的指数：$6+6-2=10$
因此化简得$-\frac{1}{4}m^5n^{10}$
【答案】
$-\dfrac{1}{4}m^5n^{10}$
【知识点】
整数指数幂运算；积的乘方；同底数幂乘除
【点评】
本题考查幂的运算法则的综合应用，运算时要注意优先计算乘方，同时要格外留意符号判断和指数的加减运算，避免因粗心导致指数计算错误或者符号出错。
【难度系数】
0.7
这道题是整数指数幂的混合运算题，解题遵循“先乘方，再乘除”的运算顺序：①第一步利用积的乘方、幂的乘方法则去掉每个括号，计算每个幂的乘方结果，注意系数也要参与乘方运算，含负号的乘方要先判断符号；②第二步按从左到右的顺序计算同底数幂的乘法和除法，同底数幂相乘底数不变、指数相加，相除则底数不变、指数相减；③最后将负整数指数幂转化为正整数指数幂的形式，化简得到最终结果。
【解析】
解：第一步，根据幂的运算法则计算各乘方项：
由积的乘方法则$(ab)^p=a^pb^p$、幂的乘方法则$(a^p)^q=a^{pq}$可得：
$(2m^2n^{-3})^{-2}=2^{-2}·(m^2)^{-2}·(n^{-3})^{-2}=2^{-2}m^{-4}n^6$
$(-mn^2)^3=(-1)^3· m^3·(n^2)^3=-m^3n^6$
$(m^{-3}n)^2=(m^{-3})^2· n^2=m^{-6}n^2$
第二步，代入原式按运算顺序计算：
原式$=2^{-2}m^{-4}n^6 · (-m^3n^6) ÷ m^{-6}n^2$
系数部分：$2^{-2}×(-1)=-\frac{1}{4}$
$m$的指数：$-4+3-(-6)=5$
$n$的指数：$6+6-2=10$
因此化简得$-\frac{1}{4}m^5n^{10}$
【答案】
$-\dfrac{1}{4}m^5n^{10}$
【知识点】
整数指数幂运算；积的乘方；同底数幂乘除
【点评】
本题考查幂的运算法则的综合应用，运算时要注意优先计算乘方，同时要格外留意符号判断和指数的加减运算，避免因粗心导致指数计算错误或者符号出错。
【难度系数】
0.7
12. 已知 $5^{-3a}=8$，$5^{-b}=\frac{1}{10}$，求 $5^{9a+2b}$ 的值.
答案
12. 解:$\because 5^{-3a}=8, \therefore (5^{-3a})^{-3}=5^{9a}=8^{-3}=\frac{1}{512}$. $\because 5^{-b}=\frac{1}{10}, \therefore (5^{-b})^{-2}=(\frac{1}{10})^{-2}=100. \therefore 5^{9a+2b}=5^{9a} · 5^{2b} = \frac{1}{512}×100=\frac{25}{128}$.
解析
【分析】
首先观察待求式$5^{9a+2b}$，根据同底数幂的乘法法则，可将其拆分为$5^{9a} · 5^{2b}$，接下来需要将已知的$5^{-3a}$和$5^{-b}$转化为$5^{9a}$和$5^{2b}$：根据幂的乘方法则，底数不变、指数相乘，$9a = (-3a) × (-3)$，所以对$5^{-3a}$取$-3$次方即可得到$5^{9a}$；同理，$2b = (-b) × (-2)$，对$5^{-b}$取$-2$次方即可得到$5^{2b}$，最后将两个结果相乘即可算出答案。
【解析】
解：$\because 5^{-3a}=8$，
$\therefore (5^{-3a})^{-3}=5^{(-3a) × (-3)} = 5^{9a} = 8^{-3} = \frac{1}{8^3} = \frac{1}{512}$，
$\because 5^{-b}=\frac{1}{10}$，
$\therefore (5^{-b})^{-2}=5^{(-b) × (-2)} = 5^{2b} = (\frac{1}{10})^{-2} = 10^2 = 100$，
$\therefore 5^{9a+2b}=5^{9a} · 5^{2b} = \frac{1}{512} × 100 = \frac{25}{128}$。
【答案】
$\frac{25}{128}$
【知识点】
同底数幂的乘法；幂的乘方；负整数指数幂
【点评】
本题重点考查幂的运算性质的灵活运用，解题的关键是结合已知条件对待求式进行合理拆分变形，再代入计算，熟练掌握幂的各类运算法则是解决此类问题的基础。
【难度系数】
0.7
首先观察待求式$5^{9a+2b}$，根据同底数幂的乘法法则，可将其拆分为$5^{9a} · 5^{2b}$，接下来需要将已知的$5^{-3a}$和$5^{-b}$转化为$5^{9a}$和$5^{2b}$：根据幂的乘方法则，底数不变、指数相乘，$9a = (-3a) × (-3)$，所以对$5^{-3a}$取$-3$次方即可得到$5^{9a}$；同理，$2b = (-b) × (-2)$，对$5^{-b}$取$-2$次方即可得到$5^{2b}$，最后将两个结果相乘即可算出答案。
【解析】
解：$\because 5^{-3a}=8$，
$\therefore (5^{-3a})^{-3}=5^{(-3a) × (-3)} = 5^{9a} = 8^{-3} = \frac{1}{8^3} = \frac{1}{512}$，
$\because 5^{-b}=\frac{1}{10}$，
$\therefore (5^{-b})^{-2}=5^{(-b) × (-2)} = 5^{2b} = (\frac{1}{10})^{-2} = 10^2 = 100$，
$\therefore 5^{9a+2b}=5^{9a} · 5^{2b} = \frac{1}{512} × 100 = \frac{25}{128}$。
【答案】
$\frac{25}{128}$
【知识点】
同底数幂的乘法；幂的乘方；负整数指数幂
【点评】
本题重点考查幂的运算性质的灵活运用，解题的关键是结合已知条件对待求式进行合理拆分变形，再代入计算，熟练掌握幂的各类运算法则是解决此类问题的基础。
【难度系数】
0.7
