登录
18. 在我国古代文化中，玉璧寓意宇宙的广阔与秩序，也经常被视为君子修身齐家的象征.如图是某玉璧的平面示意图，由一个正方形的内切圆和外接圆组成.已知内切圆的半径是2，则图中阴影部分的面积是
4π
. 答案
18. 4π
19. 如图，在$\odot O$中，如果作两条互相垂直的直径$AB$，$CD$，那么弦$AC$是$\odot O$的内接正方形的一边.如果以点$A$为圆心，以$OA$为半径画弧，与$\odot O$相交于点$E$，$F$，那么弦$AE$，$CE$，$EF$分别是$\odot O$的内接正六边形、正十二边形、正三角形的一边，为什么？
答案
19. 解:
∵AB⊥CD,
∴∠AOC=90°,
∴AC是⊙O的内接正方形的一边.如图,连接OE,
∵OA=AE=OE,
∴∠AOE=60°,
∴AE是⊙O的内接正六边形的一边.
∵∠AOE=60°,
∴∠EOC=90°-60°=30°,
∴EC是⊙O的内接正十二边形的一边.连接OF,
∵∠AOF=60°,
∴∠EOF=60°×2=120°,
∴EF是⊙O的内接正三角形的一边.
20.如图,已知$\odot O$的半径为5 cm,点O到直线l的距离OP为7 cm,把直线l向上平移
2或12
cm,才能使l与$\odot O$相切.答案
20. 2或12
21.已知PA，PB分别与$\odot O$相切于A，B两点.点C在$\odot O$上，不与点A，B重合.若$∠ P=80°$，则$∠ ACB$的度数为
50°或130°
.答案
21. 50°或130° 解析 如图,连接OA,OB.
∵PA,PB分别与⊙O相切于A,B两点,
∴OA⊥PA,OB⊥PB,
∴∠OAP=∠OBP=90°,
∴∠AOB=180°-∠P=180°-80°=100°.当点C在$\overset{\frown}{ACB}$上时,∠ACB=$\frac{1}{2}$∠AOB=$\frac{1}{2}$×100°=50°;当点C'在$\overset{\frown}{AB}$上时,∠AC'B=180°-50°=130°.综上所述,∠ACB的度数是50°或130°.
22. 如图，等边三角形ABC的边长为4，$\odot C$的半径为$\sqrt{3}$，P为AB边上一动点，过点P作$\odot C$的切线PQ，切点为Q，则PQ的最小值为
3
。答案
22. 3 解析 如图,连接CP,CQ,作CH⊥AB于点H.
∵等边三角形ABC的边长为4,
∴AB=CB=4,∠BCH=$\frac{1}{2}$∠ACB=$\frac{1}{2}$×60°=30°,
∴BH=$\frac{1}{2}$AB=2,CH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$BC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×4=2$\sqrt{3}$.
∵PQ为⊙C的切线,
∴CQ⊥PQ.在Rt△CPQ中,PQ=$\sqrt{CP^2-CQ^2}$=$\sqrt{CP^2-3}$.
∵点P是AB边上一动点,
∴当点P运动到点H时,CP最小,即CP的最小值为2$\sqrt{3}$,
∴PQ的最小值为$\sqrt{12-3}$=3.
23.如图,点I是△ABC的内心,AI的延长线与边BC交于点D,与△ABC的外接圆交于点E,求证:IE=BE.
答案
23. 证明:如图,连接IB.
∵点I是△ABC的内心,
∴∠BAD=∠CAD,∠ABI=∠IBD.又
∵∠CAD=∠DBE,
∴∠BIE=∠BAD+∠ABI=∠CAD+∠IBD=∠DBE+∠IBD=∠IBE,
∴IE=BE.
