8 如图，$△ ABC$内接于$\odot O$，$∠ A=119°$，过点$C$作$\odot O$的切线交$BO$的延长线于点$P$，则$∠ P$的度数为（）

A.$32°$
B.$31°$
C.$29°$
D.$61°$

8.A

9 如图,在平面直角坐标系中,点 C 的坐标为$(3,4)$,以点 C 为圆心的圆与 y 轴相切,点 A,B 在 x 轴上,且 $OA=OB$,P 为$\odot C$上的动点,$∠APB=90°$,则 AB 长的最大值为.

9. 16 解析:由题意,得点 P 在以 AB 为直径的$\odot O$上.连结OC并延长,交$\odot C$于点P,易知此时 AB 的长最大.因为点 C 的坐标为$(3,4)$,所以$OC=\sqrt{3^2+4^2}=5$.因为以点 C 为圆心的圆与 y 轴相切,所以$\odot C$的半径为 3.所以$OP=5+3=8$.因为易得$OP=OA=OB$,所以$AB=2OP=16$.所以 AB 长的最大值为16.

10 [2024 深圳]如图,在$△ ABD$中,$AB=BD$,$\odot O$为$△ ABD$的外接圆,$BE$为$\odot O$的切线,$AC$为$\odot O$的直径,连结$DC$并延长,交$BE$于点$E$.
(1) 求证:$DE⊥ BE$;
(2) 若$AB=5\sqrt{6}$,$BE=5$,求$\odot O$的半径.

10. (1) 如图,连结 BO 并延长,交 AD 于点 H,连结 OD. 因为$AB=BD$,$OA=OD$,所以 BO 垂直平分 AD. 所以$∠BHD=90°$. 因为 BE 为$\odot O$的切线,OB 为$\odot O$的半径,所以$OB⊥BE$. 所以$∠OBE=90°$. 因为 AC 为$\odot O$的直径,所以$∠ADC=90°$. 所以$∠EBH=∠BHD=∠HDE=90°$. 所以四边形 BEDH 为矩形. 所以$∠E=90°$. 所以$DE⊥BE$ (2) 因为四边形 BEDH 为矩形,所以$DH=BE=5$. 在$Rt△BDH$中,因为$∠BHD=90°$,$BD=AB=5\sqrt{6}$,$DH=5$,所以$BH=\sqrt{(5\sqrt{6})^2-5^2}=5\sqrt{5}$. 设$\odot O$的半径为 r,则$OH=5\sqrt{5}-r$,$OD=r$. 在$Rt△ODH$中,由勾股定理,得$(5\sqrt{5}-r)^2+5^2=r^2$,解得$r=3\sqrt{5}$. 所以$\odot O$的半径为$3\sqrt{5}$

11 [2025 衢州模拟]如图，P为$\odot O$的直径BA延长线上的一点，PC为$\odot O$的切线，切点为C，$CD ⊥ AB$于点D，连结AC。
（1）求证：CA平分$∠ PCD$；
（2）若$PA＝3$，$AC＝\sqrt{3}$，求$\odot O$的半径。

11. (1) 如图,连结 OC,则$OC=OB$,所以$∠OCB=∠B$. 因为 PC 与$\odot O$相切于点 C,所以$OC⊥PC$. 因为 BA 是$\odot O$的直径,$CD⊥AB$于点 D,所以$∠ADC=∠ACB=∠OCP=90°$. 所以$∠OCB=∠ACP=90°-∠OCA$. 所以$∠ACP=∠B$. 因为$∠ACD=∠B=90°-∠BAC$,所以$∠ACP=∠ACD$. 所以 CA 平分$∠PCD$ (2) 设$\odot O$的半径为 r,则$AB=2r$. 因为$PA=3$,$AC=\sqrt{3}$,所以$PB=3+2r$. 由(1),得$∠ACP=∠B$. 因为$∠P=∠P$,所以$△ PAC ∽ △ PCB$. 所以$\dfrac{PC}{PB}=\dfrac{PA}{PC}=\dfrac{AC}{CB}$. 所以$PC^2=PA·PB$,$PC=\dfrac{PA·CB}{AC}=\dfrac{3}{\sqrt{3}}CB=\sqrt{3}CB$. 所以$(\sqrt{3}CB)^2=3(3+2r)$. 所以$CB^2=3+2r$. 因为$∠ACB=90°$,所以在$Rt△ACB$中,$AC^2+CB^2=AB^2$. 所以$(\sqrt{3})^2+3+2r=(2r)^2$,解得$r_1=\dfrac{3}{2}$,$r_2=-1$(不合题意,舍去). 所以$\odot O$的半径为$\dfrac{3}{2}$