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8. [2026清远期末]生物学研究发现,某种植物的生长高度y(单位:cm)与生长时间x(单位:天)满足一次函数关系,若该植物初始生长高度为8 cm,生长5天后高度达到18 cm,则生长20天后的高度为 (
A.38 cm
B.40 cm
C.42 cm
D.48 cm
D
)A.38 cm
B.40 cm
C.42 cm
D.48 cm
答案
设一次函数表达式为y = kx + b,根据题意,得b = 8,5k + b = 18,所以k = 2,所以一次函数表达式为y = 2x + 8。当x = 20时,y = 2 × 20 + 8 = 48,所以生长20天后的高度为48 cm。
9. [2025内江月考]如图,过点A的一次函数的图象与正比例函数$y=2x$的图象相交于点B,则这个一次函数的表达式是 (
A.$y = -x + 3$
B.$y = -2x + 3$
C.$y = 2x - 3$
D.$y = -x - 3$
A
)A.$y = -x + 3$
B.$y = -2x + 3$
C.$y = 2x - 3$
D.$y = -x - 3$
答案
因为点B在正比例函数y = 2x的图象上,其横坐标为1,所以y = 2 × 1 = 2,所以B(1,2)。设一次函数的表达式为y = kx + b,因为一次函数的图象与y轴交于点A(0,3),所以b = 3,又因为一次函数的图象与正比例函数的图象相交于点B,所以k + 3 = 2,所以k = -1,所以一次函数的表达式是y = -x + 3。
10. 教材P101T2变式 [2025湘潭月考]已知某一次函数的图象经过点A(0,2)，且与两坐标轴围成的三角形的面积为2，则该一次函数的表达式是
y = x + 2 或 y = -x + 2
。答案
设该一次函数的表达式为y = kx + b(k≠0),把(0,2)代入得b = 2,所以y = kx + 2,把y = 0代入得x = - 2/k,所以1/2 × 2 × | - 2/k | = 2,解得k = 1或k = -1,所以所求一次函数的表达式为y = x + 2 或 y = -x + 2。
变式[2025宝鸡调研]已知直线$l_1$与$x$轴交于点$A(-2,0)$，且直线$l_1$与两坐标轴围成的三角形的面积为4，将直线$l_1$向下平移$m(m＞0)$个单位长度得到直线$l_2$，直线$l_2$交$x$轴于点$B$，若点$A$与点$B$关于$y$轴对称，则$m$的值为
8
。答案
如图
,设直线$l_1$与y轴的交点C的坐标为(0,n),因为点A与点B关于y轴对称,所以点B的坐标为(2,0),因为直线$l_1$与两坐标轴围成的三角形的面积为4,点A(-2,0),所以$\frac{1}{2} × | -2 | × n = 4$,解得n = 4,所以点C的坐标为(0,4),设直线$l_1$的函数表达式为$y = kx + b$,因为直线$l_1$经过C(0,4),所以b = 4,因为直线$l_1$经过A(-2,0),所以-2k + 4 = 0,所以k = 2,所以直线$l_1$的函数表达式为$y = 2x + 4$,因为直线$l_2$由直线$l_1$平移得到,所以设直线$l_2$的函数表达式为$y = 2x + b'$,把点B(2,0)的坐标代入,得$2 × 2 + b' = 0$,解得$b' = -4$,所以直线$l_2$的函数表达式为$y = 2x - 4$,所以$m = 4 - (-4) = 8$。11. [2026威海期末]一座水库汛期时的水位在最近5 h内持续上涨，下表记录了该段时间内水位高度 y(m)与时间 t(h)之间的关系。
(1)求 y 与 t 之间的函数表达式；
(2)预计水位将按当前规律继续上涨2 h，求再过2 h的水位高度。
(1)求 y 与 t 之间的函数表达式；
(2)预计水位将按当前规律继续上涨2 h，求再过2 h的水位高度。
答案
解:(1)设y与t之间的函数表达式为y = kx + b,根据题意,得b = 3,k + b = 3.3,
所以k = 0.3,
所以y与t之间的函数表达式为y = 0.3t + 3。
(2)因为预计水位将按当前规律继续上涨2 h,
所以t = 5 + 2 = 7,
当t = 7时,y = 0.3 × 7 + 3 = 5.1,
所以再过2 h的水位高度为5.1 m。
所以k = 0.3,
所以y与t之间的函数表达式为y = 0.3t + 3。
(2)因为预计水位将按当前规律继续上涨2 h,
所以t = 5 + 2 = 7,
当t = 7时,y = 0.3 × 7 + 3 = 5.1,
所以再过2 h的水位高度为5.1 m。
12. 如图,在平面直角坐标系中,直线$y = -x + 3$过点$A(5,m)$且与$y$轴交于点$B$,把点$A$向左平移2个单位长度,再向上平移4个单位长度,得到点$C$。过点$C$且与直线$y = 2x$平行的直线交$y$轴于点$D$。
(1)求直线$CD$的函数表达式；
(2)直线$AB$与$CD$交于点$E$,将直线$CD$沿$EB$方向平移,平移到经过点$B$的位置结束,求直线$CD$在平移过程中与$x$轴交点的横坐标的取值范围。
(1)求直线$CD$的函数表达式；
(2)直线$AB$与$CD$交于点$E$,将直线$CD$沿$EB$方向平移,平移到经过点$B$的位置结束,求直线$CD$在平移过程中与$x$轴交点的横坐标的取值范围。
答案
解:(1)因为直线$y = -x + 3$过点$A(5,m)$,
所以$m = -5 + 3 = -2$,所以点A的坐标为$(5,-2)$,
易得点C的坐标为$(3,2)$。
由题可设直线CD的函数表达式为$y = 2x + b$,
把点C的坐标$(3,2)$代入,得$2 × 3 + b = 2$,解得$b = -4$,
故直线CD的函数表达式为$y = 2x - 4$。
(2)对于$y = 2x - 4$,令$y = 0$,得$x = 2$,
故平移前,直线CD与x轴交点的横坐标为2。
易得$B(0,3)$,当直线CD平移到经过点$B(0,3)$的位置时,设其函数表达式为$y = 2x + t$,
把点B的坐标$(0,3)$代入,得$t = 3$,所以$y = 2x + 3$,
令$y = 0$,得$x = -\frac{3}{2}$,
故平移到经过点B的位置时,直线$y = 2x + 3$与x轴交点的横坐标为$-\frac{3}{2}$。
综上,直线CD在平移过程中与x轴交点的横坐标的取值范围为$-\frac{3}{2} ≤ x ≤ 2$。
所以$m = -5 + 3 = -2$,所以点A的坐标为$(5,-2)$,
易得点C的坐标为$(3,2)$。
由题可设直线CD的函数表达式为$y = 2x + b$,
把点C的坐标$(3,2)$代入,得$2 × 3 + b = 2$,解得$b = -4$,
故直线CD的函数表达式为$y = 2x - 4$。
(2)对于$y = 2x - 4$,令$y = 0$,得$x = 2$,
故平移前,直线CD与x轴交点的横坐标为2。
易得$B(0,3)$,当直线CD平移到经过点$B(0,3)$的位置时,设其函数表达式为$y = 2x + t$,
把点B的坐标$(0,3)$代入,得$t = 3$,所以$y = 2x + 3$,
令$y = 0$,得$x = -\frac{3}{2}$,
故平移到经过点B的位置时,直线$y = 2x + 3$与x轴交点的横坐标为$-\frac{3}{2}$。
综上,直线CD在平移过程中与x轴交点的横坐标的取值范围为$-\frac{3}{2} ≤ x ≤ 2$。
