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1. 以下各正方形的边长不是有理数的是（
A.面积为25的正方形
B.面积为$\frac{4}{25}$的正方形
C.面积为8的正方形
D.面积为1.44的正方形
C
）A.面积为25的正方形
B.面积为$\frac{4}{25}$的正方形
C.面积为8的正方形
D.面积为1.44的正方形
答案
1 C
2. 在直角三角形 $ABC$ 中，$∠ C = 90°$，$∠ A$，$∠ B$，$∠ C$ 的对边分别为 $a,b,c$。
(1)计算:①当 $a = 1,c = 2$ 时，$b^2 = \_\_\_\_\_\_$；
②当 $a = 3,c = 5$ 时，$b^2 = \_\_\_\_\_\_$；
③当 $a = 0.6,c = 1$ 时，$b^2 = \_\_\_\_\_\_$。
(2)通过(1)中计算出的 $b^2$ 的值，可知 $b$ 是整数的是 ______；$b$ 是分数的是 ______；$b$ 既不是整数，也不是分数的是 ______。(填序号)
(1)计算:①当 $a = 1,c = 2$ 时，$b^2 = \_\_\_\_\_\_$；
②当 $a = 3,c = 5$ 时，$b^2 = \_\_\_\_\_\_$；
③当 $a = 0.6,c = 1$ 时，$b^2 = \_\_\_\_\_\_$。
(2)通过(1)中计算出的 $b^2$ 的值，可知 $b$ 是整数的是 ______；$b$ 是分数的是 ______；$b$ 既不是整数，也不是分数的是 ______。(填序号)
答案
2 (1)①3;②16;③ 0.64;(2)② ③ ①
3. 教材P30T5变式 如图,每个小正方形的边长均为1,A,B,C,D均为小正方形的顶点,四边形ABCD中,AC,BD相交于点O,试说明边AB,BC,CD,AD的长度和对角线AC,BD的长度中,哪些是有理数?哪些不是有理数?
答案
3 解:由题图,知AC=7,BD=5,AO=4,BO=3,CO=3,DO=2,
由勾股定理,得 $AB^2 = 3^2 + 4^2 = 25$,$BC^2 = 3^2 + 3^2 = 18$,$CD^2 = 3^2 + 2^2 = 13$,$AD^2 = 4^2 + 2^2 = 20$,
因此AB,AC,BD的长度是有理数,BC,CD,AD的长度不是有理数。
由勾股定理,得 $AB^2 = 3^2 + 4^2 = 25$,$BC^2 = 3^2 + 3^2 = 18$,$CD^2 = 3^2 + 2^2 = 13$,$AD^2 = 4^2 + 2^2 = 20$,
因此AB,AC,BD的长度是有理数,BC,CD,AD的长度不是有理数。
4. [2026长春九台区期末]已知正方形的面积是5，估计其边长在（
A.1和2之间
B.2和3之间
C.3和4之间
D.4和5之间
B
）A.1和2之间
B.2和3之间
C.3和4之间
D.4和5之间
答案
4 B
5. 设边长为4的正方形的对角线长为x。
(1)x是有理数吗？说说你的理由。
(2)估计x在哪两个相邻整数之间？
(1)x是有理数吗？说说你的理由。
(2)估计x在哪两个相邻整数之间？
答案
5 解:(1)x不是有理数。理由如下:
由勾股定理可知 $x^2 = 4^2 + 4^2 = 32$,因为没有一个整数或分数的平方等于32,所以x既不是整数,也不是分数,所以x不是有理数。
(2)估计x在5和6之间。
由勾股定理可知 $x^2 = 4^2 + 4^2 = 32$,因为没有一个整数或分数的平方等于32,所以x既不是整数,也不是分数,所以x不是有理数。
(2)估计x在5和6之间。
6. 有一类数像一首读不完的长诗，既不循环，也不枯竭，无穷无尽，数学家称之为一种特殊的数。设面积为$10π$的圆的半径为$x$。
(1)$x$是有理数吗？说明理由。
(2)$x$的整数部分是多少？
(3)将$x$精确到十分位是多少？
(1)$x$是有理数吗？说明理由。
(2)$x$的整数部分是多少？
(3)将$x$精确到十分位是多少？
答案
6 解:(1)x不是有理数。理由如下:
由圆的面积公式可得 $π x^2 = 10π$,所以 $x^2 = 10$。
因为没有一个整数或分数的平方等于10,
所以x不是有理数。
(2)由(1)知 $x^2 = 10$,
因为 $3^2 =9 ＜10,4^2 =16 ＞10$,所以 $3 ＜ x ＜ 4$,
所以x的整数部分是3。
(3)因为 $3.1^2 =9.61 ＜10,3.2^2 =10.24 ＞10$,所以 $3.1 ＜ x ＜3.2$,
又因为 $3.16^2 =9.985 6 ＜10,3.17^2 =10.048 9 ＞10$,
所以 $3.16 ＜ x ＜3.17$,
所以将x精确到十分位为3.2。
由圆的面积公式可得 $π x^2 = 10π$,所以 $x^2 = 10$。
因为没有一个整数或分数的平方等于10,
所以x不是有理数。
(2)由(1)知 $x^2 = 10$,
因为 $3^2 =9 ＜10,4^2 =16 ＞10$,所以 $3 ＜ x ＜ 4$,
所以x的整数部分是3。
(3)因为 $3.1^2 =9.61 ＜10,3.2^2 =10.24 ＞10$,所以 $3.1 ＜ x ＜3.2$,
又因为 $3.16^2 =9.985 6 ＜10,3.17^2 =10.048 9 ＞10$,
所以 $3.16 ＜ x ＜3.17$,
所以将x精确到十分位为3.2。
