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角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离____.
答案
相等
典例1 如图,OC平分∠AOB,P是OC上一点,PH⊥OB于点H,Q是射线OA上的一个动点.若PH= 5,则PQ长的最小值为____.
点拨 当PQ⊥AO时,PQ的长最小.依据角平分线的性质定理,即可得到PQ长的最小值.
解答：
解有所悟：利用角平分线的性质定理解决问题的关键是确定角的平分线上的点到角的两边的垂线段：(1)若已知条件存在这两条垂线段,则直接得出垂线段相等；(2)若已知条件存在一条垂线段,则考虑通过作辅助线补出另一条垂线段；(3)若已知条件不存在垂线段,则考虑通过作辅助线补出两条垂线段.
点拨 当PQ⊥AO时,PQ的长最小.依据角平分线的性质定理,即可得到PQ长的最小值.
解答：
解有所悟：利用角平分线的性质定理解决问题的关键是确定角的平分线上的点到角的两边的垂线段：(1)若已知条件存在这两条垂线段,则直接得出垂线段相等；(2)若已知条件存在一条垂线段,则考虑通过作辅助线补出另一条垂线段；(3)若已知条件不存在垂线段,则考虑通过作辅助线补出两条垂线段.
答案
5
典例2 如图,BD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,垂足为E.若△ABC的面积为70,AB= 16,BC= 12,求DE的长.
点拨 利用等面积法求线段的长.鉴于有角平分线,易联想其上一点到角两边的距离相等.
解答：
解有所悟：利用角平分线的性质定理构造两条长度相等的垂线段,为面积的表示创造了条件.
点拨 利用等面积法求线段的长.鉴于有角平分线,易联想其上一点到角两边的距离相等.
解答：
解有所悟：利用角平分线的性质定理构造两条长度相等的垂线段,为面积的表示创造了条件.
答案
过点 D 作 $ DF \perp BC $ 于点 F. 因为 BD 是 $ \triangle ABC $ 的角平分线，$ DE \perp AB $，$ DF \perp BC $，所以 $ DE = DF $. 所以 $ S_{\triangle ABC} = S_{\triangle ABD} + S_{\triangle BDC} = \frac{1}{2} × 16DE + \frac{1}{2} × 12DF = 70 $. 所以 $ 14DE = 70 $. 所以 $ DE = 5 $.
1. 如图,在△ABC中,∠C= 90°,BD平分∠ABC,交AC于点D,AC= 15cm,AD= 9cm,DE⊥AB于点E,则DE的长为()
A.9cm
B.7cm
C.6cm
D.5cm
A.9cm
B.7cm
C.6cm
D.5cm
答案
C
2. 如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,DE⊥AB于点E.若AC= 2,DE= 1,则$S_{△ACD}= ____.$
答案
1
3. (教材P44例2变式)如图,AB//CD,O为∠BAC与∠ACD的平分线的交点,过点O作OE⊥AC于点E,OG⊥CD于点G,延长GO交AB于点F.若OE= 2,则FG= ____.
答案
4 解析：因为 $ AB // CD $，$ OG \perp CD $，所以 $ OF \perp AB $. 因为 AO 是 $ \angle BAC $ 的平分线，$ OF \perp AB $，$ OE \perp AC $，$ OE = 2 $，所以 $ OF = OE = 2 $. 因为 CO 是 $ \angle ACD $ 的平分线，$ OE \perp AC $，$ OG \perp CD $，所以 $ OG = OE = 2 $. 所以 $ FG = OF + OG = 4 $.
