4. 如图,学校准备在校内一块四边形草坪内栽上一棵银杏树,要求银杏树的位置点P到边AB,BC的距离相等,并且点P到点A,D的距离也相等.请用尺规作图作出银杏树的位置点P(不写作法,保留作图痕迹).

如图，点 P 就是银杏树的位置.

5. 如图,在△ABC中,BD是∠ABC的平分线,在△ABC外取一点E,使得∠EAB= ∠C,AE= DC,连结ED交AB于点K,求证：EK= DK.

过点 E 作 $ EI \perp AB $ 于点 I，过点 D 作 $ DH \perp AB $ 于点 H，作 $ DF \perp BC $ 于点 F，则 $ \angle EIA = \angle DFC = \angle DHK = 90^{\circ} $. 在 $ \triangle EAI $ 和 $ \triangle DCF $ 中，因为 $ \begin{cases} \angle EIA = \angle DFC, \\ \angle EAI = \angle C, \\ EA = DC. \end{cases} $ 所以 $ \triangle EAI \cong \triangle DCF (AAS) $. 所以 $ EI = DF $. 因为 BD 是 $ \angle ABC $ 的平分线，$ DH \perp AB $，$ DF \perp BC $，所以 $ DH = DF $. 所以 $ DH = EI $. 在 $ \triangle EKI $ 和 $ \triangle DKH $ 中，因为 $ \begin{cases} \angle EKI = \angle DKH, \\ \angle EIK = \angle DHK, \\ EI = DH, \end{cases} $ 所以 $ \triangle EKI \cong \triangle DKH (AAS) $. 所以 $ EK = DK $.

6. 如图,在△ABC中,AB= 5,AC= 8,E为BC的中点,AD为△ABC的角平分线,△ABC的面积记为$S_{1},$△ADE的面积记为$S_{2},则\frac{S_{1}}{S_{2}}的值为()A. 13B. \frac{26}{3}C. \frac{8}{3}D. \frac{13}{2}$

B 解析：如图，过点 D 作 $ DM \perp AB $ 于点 M，$ DN \perp AC $ 于点 N. 因为 AD 为 $ \triangle ABC $ 的角平分线，所以 $ DM = DN $. 因为 $ S_{\triangle ABD} = \frac{1}{2} AB \cdot DM $，$ S_{\triangle ACD} = \frac{1}{2} AC \cdot DN $，所以 $ S_{\triangle ABD} : S_{\triangle ACD} = AB : AC = 5 : 8 $. 所以 $ S_{\triangle ABD} = \frac{5}{13} S_{\triangle ABC} = \frac{5}{13} S_1 $. 因为 E 是 BC 的中点，所以 $ S_{\triangle ABE} = \frac{1}{2} S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} S_1 $. 所以 $ S_2 = S_{\triangle ABE} - S_{\triangle ABD} = \frac{3}{26} S_1 $. 所以 $ \frac{S_1}{S_2} = \frac{26}{3} $.

7. 如图,在△ABC中,∠ABC,∠EAC的平分线BP,AP交于点P,PM⊥BE,PN⊥BF,垂足分别为M,N,有下列结论：①CP平分∠ACF；②∠ABC+2∠APC= 180°；③∠ACB= 2∠APB；$④S_{△PAC}= S_{△MAP}+S_{△NCP}.$其中,正确的是____(填序号).

①②③④

8. 如图,△ABC的内角平分线BE、外角平分线CE交于点E,点E到直线AC的距离为2.
(1)求点E到直线AB的距离.
(2)若△ABC的面积为6,求AB+BC-AC的值.

(1) 过点 E 分别作 $ EM \perp BD $ 于点 M，$ EH \perp AC $ 于点 H，$ EN \perp BA $ 的延长线于点 N. 因为 E 是 $ \triangle ABC $ 的内角 $ \angle ABC $、外角 $ \angle ACD $ 的平分线的交点，点 E 到直线 AC 的距离为 2，所以易得 $ EN = EM = EH = 2 $. 所以点 E 到直线 AB 的距离为 2. (2) 连结 AE. 因为 $ S_{\triangle ABE} + S_{\triangle BCE} - S_{\triangle ACE} = S_{\triangle ABC} $，所以 $ \frac{1}{2} AB \cdot EN + \frac{1}{2} BC \cdot EM - \frac{1}{2} AC \cdot EH = 6 $. 又因为 $ EN = EM = EH = 2 $，所以 $ AB + BC - AC = 6 $.