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6. (2024·烟台期末)若$(a+b+1)(a+b-1)=15$，则$\sqrt{a+b}=$
2
.答案
6. 2
解析
【分析】
观察等式左边的乘积形式，两个因式中a+b部分相同，1的符号相反，符合平方差公式的结构特征，因此可以将a+b看作一个整体，先利用平方差公式化简等式，求出$(a+b)^2$的值，再结合二次根式有意义的条件确定a+b的取值，最后计算算术平方根即可。
【解析】
首先利用平方差公式化简等式左边：
$\begin{aligned}(a+b+1)(a+b-1)&=(a+b)^2 - 1^2\end{aligned}$
结合已知等式可得：
$(a+b)^2 - 1 = 15$
移项计算得：
$(a+b)^2 = 16$
因此$a+b = 4$或$a+b = -4$。
由于二次根式$\sqrt{a+b}$有意义的前提是被开方数非负，即$a+b≥0$，因此舍去$a+b=-4$，得$a+b=4$。
代入计算得$\sqrt{a+b}=\sqrt{4}=2$。
【答案】
2
【知识点】
平方差公式；二次根式有意义的条件
【点评】
本题解题核心是运用整体思想简化运算，将a+b看作整体用平方差公式展开计算，同时要注意二次根式的被开方数必须为非负数，需舍去不符合条件的负数解，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.8
观察等式左边的乘积形式，两个因式中a+b部分相同，1的符号相反，符合平方差公式的结构特征，因此可以将a+b看作一个整体，先利用平方差公式化简等式，求出$(a+b)^2$的值，再结合二次根式有意义的条件确定a+b的取值，最后计算算术平方根即可。
【解析】
首先利用平方差公式化简等式左边：
$\begin{aligned}(a+b+1)(a+b-1)&=(a+b)^2 - 1^2\end{aligned}$
结合已知等式可得：
$(a+b)^2 - 1 = 15$
移项计算得：
$(a+b)^2 = 16$
因此$a+b = 4$或$a+b = -4$。
由于二次根式$\sqrt{a+b}$有意义的前提是被开方数非负，即$a+b≥0$，因此舍去$a+b=-4$，得$a+b=4$。
代入计算得$\sqrt{a+b}=\sqrt{4}=2$。
【答案】
2
【知识点】
平方差公式；二次根式有意义的条件
【点评】
本题解题核心是运用整体思想简化运算，将a+b看作整体用平方差公式展开计算，同时要注意二次根式的被开方数必须为非负数，需舍去不符合条件的负数解，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.8
7. 在实数范围内定义一种新运算“*”，其规则为 $ m*n = m^2 - n^2 $，根据这个规则：
(1) 求 $ 3*2 $；
(2) 求 $ (y-2)*5 = 0 $ 中 $ y $ 的值。
(1) 求 $ 3*2 $；
(2) 求 $ (y-2)*5 = 0 $ 中 $ y $ 的值。
答案
7. (1) 5；(2) 7或-3
解析
【分析】
本题是新定义运算类题目，解题思路如下：首先准确理解新运算“*”的规则：两个数作*运算，结果等于第一个数的平方减去第二个数的平方。第(1)问直接将m=3、n=2代入规则计算即可；第(2)问将(y-2)看作规则中的m，5看作规则中的n，代入运算规则得到关于y的一元二次方程，再解方程求出y的值即可。
【解析】
(1) 根据新运算规则$m*n = m^2 - n^2$，代入$m=3$，$n=2$可得：
$3*2 = 3^2 - 2^2 = 9 - 4 = 5$
(2) 根据新运算规则，将$(y-2)*5 = 0$转化为普通方程：
$(y-2)^2 - 5^2 = 0$
整理得：$(y-2)^2 = 25$
两边开平方得：$y - 2 = \pm 5$
当$y - 2 = 5$时，解得$y=7$；
当$y - 2 = -5$时，解得$y=-3$。
【答案】
(1) 5；(2) 7或-3
【知识点】
新定义运算，解一元二次方程，平方运算
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是正确理解新运算的含义，将陌生的新运算转化为已经学过的常规运算和方程求解，需要注意解一元二次方程时不要漏解。
【难度系数】
0.8
本题是新定义运算类题目，解题思路如下：首先准确理解新运算“*”的规则：两个数作*运算，结果等于第一个数的平方减去第二个数的平方。第(1)问直接将m=3、n=2代入规则计算即可；第(2)问将(y-2)看作规则中的m，5看作规则中的n，代入运算规则得到关于y的一元二次方程，再解方程求出y的值即可。
【解析】
(1) 根据新运算规则$m*n = m^2 - n^2$，代入$m=3$，$n=2$可得：
$3*2 = 3^2 - 2^2 = 9 - 4 = 5$
(2) 根据新运算规则，将$(y-2)*5 = 0$转化为普通方程：
$(y-2)^2 - 5^2 = 0$
整理得：$(y-2)^2 = 25$
两边开平方得：$y - 2 = \pm 5$
当$y - 2 = 5$时，解得$y=7$；
当$y - 2 = -5$时，解得$y=-3$。
【答案】
(1) 5；(2) 7或-3
【知识点】
新定义运算，解一元二次方程，平方运算
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是正确理解新运算的含义，将陌生的新运算转化为已经学过的常规运算和方程求解，需要注意解一元二次方程时不要漏解。
【难度系数】
0.8
2. 根据完全平方公式填空：
(1)$x^2 +6x +9=( )^2;$
(2)$x^2 -8x +16=( )^2;$
(3)$x^2 +10x +( )^2=( )^2;$
(4)$x^2 -3x +( )^2=( )^2.$
(1)$x^2 +6x +9=( )^2;$
(2)$x^2 -8x +16=( )^2;$
(3)$x^2 +10x +( )^2=( )^2;$
(4)$x^2 -3x +( )^2=( )^2.$
答案
(1) $x+3$ (2) $x-4$ (3) $5$，$x+5$ (4) $\frac{3}{2}$，$x-\frac{3}{2}$
解析
【分析】
本题考查完全平方公式的应用，完全平方公式为：$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$。解题时首先确定公式中的$a$，本题所有式子二次项均为$x^2$，因此$a=x$；再根据一次项系数求出$b$：$b$等于一次项系数除以2；最后验证常数项是否为$b^2$，或补全对应的常数项与完全平方式即可。
【解析】
(1) 式子中$x^2=x^2$，$6x=2× x×3$，常数项$9=3^2$，符合完全平方和公式，因此$x^2 +6x +9=(x+3)^2$。
(2) 式子中$x^2=x^2$，$-8x=2× x×(-4)$，常数项$16=(-4)^2$，符合完全平方差公式，因此$x^2 -8x +16=(x-4)^2$。
(3) 一次项为$+10x$，则$b=10÷2=5$，因此常数项为$5^2$，完全平方式为$(x+5)^2$，即$x^2 +10x +5^2=(x+5)^2$。
(4) 一次项为$-3x$，则$b=(-3)÷2=-\frac{3}{2}$，因此常数项为$(\frac{3}{2})^2$，完全平方式为$(x-\frac{3}{2})^2$，即$x^2 -3x +(\frac{3}{2})^2=(x-\frac{3}{2})^2$。
【答案】
(1) $x+3$ (2) $x-4$ (3) $5$，$x+5$ (4) $\frac{3}{2}$，$x-\frac{3}{2}$
【知识点】
1. 完全平方公式 2. 配方法 3. 整式变形
【点评】
本题是配方法的基础训练题，重点考查对完全平方公式结构特征的理解与运用，熟练掌握“一次项系数一半的平方”的规律，能为后续解一元二次方程、二次函数配方等知识点的学习打下扎实基础。
【难度系数】
0.85
本题考查完全平方公式的应用，完全平方公式为：$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$。解题时首先确定公式中的$a$，本题所有式子二次项均为$x^2$，因此$a=x$；再根据一次项系数求出$b$：$b$等于一次项系数除以2；最后验证常数项是否为$b^2$，或补全对应的常数项与完全平方式即可。
【解析】
(1) 式子中$x^2=x^2$，$6x=2× x×3$，常数项$9=3^2$，符合完全平方和公式，因此$x^2 +6x +9=(x+3)^2$。
(2) 式子中$x^2=x^2$，$-8x=2× x×(-4)$，常数项$16=(-4)^2$，符合完全平方差公式，因此$x^2 -8x +16=(x-4)^2$。
(3) 一次项为$+10x$，则$b=10÷2=5$，因此常数项为$5^2$，完全平方式为$(x+5)^2$，即$x^2 +10x +5^2=(x+5)^2$。
(4) 一次项为$-3x$，则$b=(-3)÷2=-\frac{3}{2}$，因此常数项为$(\frac{3}{2})^2$，完全平方式为$(x-\frac{3}{2})^2$，即$x^2 -3x +(\frac{3}{2})^2=(x-\frac{3}{2})^2$。
【答案】
(1) $x+3$ (2) $x-4$ (3) $5$，$x+5$ (4) $\frac{3}{2}$，$x-\frac{3}{2}$
【知识点】
1. 完全平方公式 2. 配方法 3. 整式变形
【点评】
本题是配方法的基础训练题，重点考查对完全平方公式结构特征的理解与运用，熟练掌握“一次项系数一半的平方”的规律，能为后续解一元二次方程、二次函数配方等知识点的学习打下扎实基础。
【难度系数】
0.85
3. 解下列方程：
(1)$(x+3)^2=25$；
(2)$12(x-2)^2 -9=0$.
(1)$(x+3)^2=25$；
(2)$12(x-2)^2 -9=0$.
答案
(1) 开平方得$x+3=\pm5$，解得$x_1=2$，$x_2=-8$；(2) 整理得$(x-2)^2=\frac{3}{4}$，开平方得$x-2=\pm\frac{\sqrt{3}}{2}$，解得$x_1=2+\frac{\sqrt{3}}{2}$，$x_2=2-\frac{\sqrt{3}}{2}$
解析
【分析】
这两道题均为可利用直接开平方法求解的一元二次方程，解题思路如下：
1. 对于形如$(x+m)^2=n$（$n≥0$）的方程，可直接对两边开平方，转化为两个一元一次方程求解，注意开平方后结果带正负号，避免丢根；
2. 第(1)题已经是上述标准形式，可直接开平方计算；
3. 第(2)题需要先通过移项、系数化为1，将方程整理为标准的完全平方式等于非负常数的形式，再用直接开平方法求解。
【解析】
(1) 对$(x+3)^2=25$两边同时开平方，得：
$x+3=\pm5$
分情况求解：
当$x+3=5$时，$x=5-3=2$；
当$x+3=-5$时，$x=-5-3=-8$；
即方程的解为$x_1=2$，$x_2=-8$。
(2) 整理方程$12(x-2)^2 -9=0$：
移项得$12(x-2)^2=9$，
两边同时除以12，得$(x-2)^2=\frac{3}{4}$，
对两边开平方，得$x-2=\pm\frac{\sqrt{3}}{2}$，
分情况求解：
当$x-2=\frac{\sqrt{3}}{2}$时，$x=2+\frac{\sqrt{3}}{2}$；
当$x-2=-\frac{\sqrt{3}}{2}$时，$x=2-\frac{\sqrt{3}}{2}$；
即方程的解为$x_1=2+\frac{\sqrt{3}}{2}$，$x_2=2-\frac{\sqrt{3}}{2}$。
【答案】
(1) $x_1=2$，$x_2=-8$；(2) $x_1=2+\frac{\sqrt{3}}{2}$，$x_2=2-\frac{\sqrt{3}}{2}$
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程、平方根的性质
【点评】
本题是解一元二次方程的基础题型，核心是掌握直接开平方法的适用条件和运算规则，解题时要注意开平方后需考虑正负两种情况，避免漏解，熟练掌握该方法可为后续学习配方法等其他解一元二次方程的方法奠定基础。
【难度系数】
0.85
这两道题均为可利用直接开平方法求解的一元二次方程，解题思路如下：
1. 对于形如$(x+m)^2=n$（$n≥0$）的方程，可直接对两边开平方，转化为两个一元一次方程求解，注意开平方后结果带正负号，避免丢根；
2. 第(1)题已经是上述标准形式，可直接开平方计算；
3. 第(2)题需要先通过移项、系数化为1，将方程整理为标准的完全平方式等于非负常数的形式，再用直接开平方法求解。
【解析】
(1) 对$(x+3)^2=25$两边同时开平方，得：
$x+3=\pm5$
分情况求解：
当$x+3=5$时，$x=5-3=2$；
当$x+3=-5$时，$x=-5-3=-8$；
即方程的解为$x_1=2$，$x_2=-8$。
(2) 整理方程$12(x-2)^2 -9=0$：
移项得$12(x-2)^2=9$，
两边同时除以12，得$(x-2)^2=\frac{3}{4}$，
对两边开平方，得$x-2=\pm\frac{\sqrt{3}}{2}$，
分情况求解：
当$x-2=\frac{\sqrt{3}}{2}$时，$x=2+\frac{\sqrt{3}}{2}$；
当$x-2=-\frac{\sqrt{3}}{2}$时，$x=2-\frac{\sqrt{3}}{2}$；
即方程的解为$x_1=2+\frac{\sqrt{3}}{2}$，$x_2=2-\frac{\sqrt{3}}{2}$。
【答案】
(1) $x_1=2$，$x_2=-8$；(2) $x_1=2+\frac{\sqrt{3}}{2}$，$x_2=2-\frac{\sqrt{3}}{2}$
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程、平方根的性质
【点评】
本题是解一元二次方程的基础题型，核心是掌握直接开平方法的适用条件和运算规则，解题时要注意开平方后需考虑正负两种情况，避免漏解，熟练掌握该方法可为后续学习配方法等其他解一元二次方程的方法奠定基础。
【难度系数】
0.85
4.自学教科书第7页例2前的内容,回答下列问题:
(1)移项移的是方程的哪一项？移项要注意什么？
(2)移项后在方程两边同时加的数是几？它和一次项系数有什么关系？
(3)方程两边都加9之后,方程的左边是完全平方的形式吗？此时,你会解这个方程了吗？方程的两根是什么？
5.什么叫配方法？配方的目的是什么？
6.配方的关键是什么？
7.自学教科书第7页例2,请你总结用配方法解一元二次方程的一般步骤.
合作学习
(1)移项移的是方程的哪一项？移项要注意什么？
(2)移项后在方程两边同时加的数是几？它和一次项系数有什么关系？
(3)方程两边都加9之后,方程的左边是完全平方的形式吗？此时,你会解这个方程了吗？方程的两根是什么？
5.什么叫配方法？配方的目的是什么？
6.配方的关键是什么？
7.自学教科书第7页例2,请你总结用配方法解一元二次方程的一般步骤.
合作学习
答案
4. (1) 移项移的是常数项，移项要注意变号，将方程的常数项移到等号右侧；(2) 移项后在方程两边同时加的数是一次项系数一半的平方，等于一次项系数除以2之后的平方；(3) 左边是完全平方形式，可以直接开平方求解，得到方程的两个根。5. 配方法是指将一元二次方程通过配方转化为完全平方式等于常数的形式，进而用直接开平方法求解的方法；配方的目的是将方程变形为可以直接开平方的形式，实现降次，把一元二次方程转化为两个一元一次方程求解。6. 当二次项系数为1时，配方的关键是在方程两边同时加上一次项系数一半的平方。7. 配方法解一元二次方程的一般步骤：①将二次项系数化为1；②移项，把常数项移到等号右侧；③配方，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，将左边写成完全平方式；④如果等号右侧的常数非负，两边开平方得到两个一元一次方程；⑤解这两个一元一次方程，得到原方程的根。
解析
【分析】
本组题目围绕配方法的基础概念、操作原理与解题步骤设置，解题时可结合等式的性质、完全平方公式的结构特征，顺着“一元二次方程降次转化为一元一次方程”的思路逐步思考：①先回忆移项的基本规则明确移项的对象和注意事项；②结合完全平方公式的结构，推导配方时需要添加的常数项的规律；③再梳理配方法从定义到完整解题步骤的逻辑，逐一对应回答问题即可。
【解析】
4. (1) 结合移项的基本规则：配方法第一步移项，移动的是方程中的常数项，根据等式的性质1，将常数项移到等号右侧时，一定要注意改变符号。
(2) 对照完全平方公式$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$的结构，当二次项系数为1时，一次项系数对应$\pm2b$，因此移项后方程两边需要同时添加的常数是一次项系数一半的平方，即该数等于一次项系数除以2之后再平方。
(3) 方程两边都加9后，左边的多项式符合完全平方公式的结构，是完全平方的形式；此时方程形如$(x+m)^2=n$（$n≥0$），可以用直接开平方法降次求解，开平方后得到两个一元一次方程，解这两个方程即可得到原方程的两个根。
5. 从配方法的操作和作用总结定义：配方法是将一元二次方程通过配方转化为完全平方式等于常数的形式，进而用直接开平方法求解的方法；配方的核心目的是给方程降次，把陌生的一元二次方程转化为已经会解的一元一次方程来求解。
6. 当二次项系数为1时，配方的关键是在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，保证方程左侧能凑成完全平方式。
7. 按照配方法解方程的操作顺序梳理一般步骤：
①先化二次项系数为1：方程左右两边同时除以二次项系数，将二次项系数化为1；
②移项：把方程中的常数项移到等号的右侧；
③配方：方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将方程左侧写成完全平方式；
④开平方：若等号右侧的常数是非负数，将方程两边同时开平方，得到两个一元一次方程；
⑤求解：解得到的两个一元一次方程，即可得到原一元二次方程的根。
【答案】
4. (1) 移项移的是常数项，移项要注意变号，将方程的常数项移到等号右侧；(2) 移项后在方程两边同时加的数是一次项系数一半的平方，等于一次项系数除以2之后的平方；(3) 左边是完全平方形式，可以直接开平方求解，得到方程的两个根。
5. 配方法是指将一元二次方程通过配方转化为完全平方式等于常数的形式，进而用直接开平方法求解的方法；配方的目的是将方程变形为可以直接开平方的形式，实现降次，把一元二次方程转化为两个一元一次方程求解。
6. 当二次项系数为1时，配方的关键是在方程两边同时加上一次项系数一半的平方。
7. 配方法解一元二次方程的一般步骤：①将二次项系数化为1；②移项，把常数项移到等号右侧；③配方，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，将左边写成完全平方式；④如果等号右侧的常数非负，两边开平方得到两个一元一次方程；⑤解这两个一元一次方程，得到原方程的根。
【知识点】
1. 配方法的概念
2. 配方法解一元二次方程
3. 完全平方公式
【点评】
本组题目侧重配方法相关基础概念和操作步骤的考查，是学习配方法解方程的核心入门内容，熟练掌握这些基础要点，能有效避免后续解方程时出现移项忘变号、配方加错常数项等常见错误，为运用配方法解决各类二次相关问题打下基础。
【难度系数】
0.8
本组题目围绕配方法的基础概念、操作原理与解题步骤设置，解题时可结合等式的性质、完全平方公式的结构特征，顺着“一元二次方程降次转化为一元一次方程”的思路逐步思考：①先回忆移项的基本规则明确移项的对象和注意事项；②结合完全平方公式的结构，推导配方时需要添加的常数项的规律；③再梳理配方法从定义到完整解题步骤的逻辑，逐一对应回答问题即可。
【解析】
4. (1) 结合移项的基本规则：配方法第一步移项，移动的是方程中的常数项，根据等式的性质1，将常数项移到等号右侧时，一定要注意改变符号。
(2) 对照完全平方公式$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$的结构，当二次项系数为1时，一次项系数对应$\pm2b$，因此移项后方程两边需要同时添加的常数是一次项系数一半的平方，即该数等于一次项系数除以2之后再平方。
(3) 方程两边都加9后，左边的多项式符合完全平方公式的结构，是完全平方的形式；此时方程形如$(x+m)^2=n$（$n≥0$），可以用直接开平方法降次求解，开平方后得到两个一元一次方程，解这两个方程即可得到原方程的两个根。
5. 从配方法的操作和作用总结定义：配方法是将一元二次方程通过配方转化为完全平方式等于常数的形式，进而用直接开平方法求解的方法；配方的核心目的是给方程降次，把陌生的一元二次方程转化为已经会解的一元一次方程来求解。
6. 当二次项系数为1时，配方的关键是在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，保证方程左侧能凑成完全平方式。
7. 按照配方法解方程的操作顺序梳理一般步骤：
①先化二次项系数为1：方程左右两边同时除以二次项系数，将二次项系数化为1；
②移项：把方程中的常数项移到等号的右侧；
③配方：方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将方程左侧写成完全平方式；
④开平方：若等号右侧的常数是非负数，将方程两边同时开平方，得到两个一元一次方程；
⑤求解：解得到的两个一元一次方程，即可得到原一元二次方程的根。
【答案】
4. (1) 移项移的是常数项，移项要注意变号，将方程的常数项移到等号右侧；(2) 移项后在方程两边同时加的数是一次项系数一半的平方，等于一次项系数除以2之后的平方；(3) 左边是完全平方形式，可以直接开平方求解，得到方程的两个根。
5. 配方法是指将一元二次方程通过配方转化为完全平方式等于常数的形式，进而用直接开平方法求解的方法；配方的目的是将方程变形为可以直接开平方的形式，实现降次，把一元二次方程转化为两个一元一次方程求解。
6. 当二次项系数为1时，配方的关键是在方程两边同时加上一次项系数一半的平方。
7. 配方法解一元二次方程的一般步骤：①将二次项系数化为1；②移项，把常数项移到等号右侧；③配方，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，将左边写成完全平方式；④如果等号右侧的常数非负，两边开平方得到两个一元一次方程；⑤解这两个一元一次方程，得到原方程的根。
【知识点】
1. 配方法的概念
2. 配方法解一元二次方程
3. 完全平方公式
【点评】
本组题目侧重配方法相关基础概念和操作步骤的考查，是学习配方法解方程的核心入门内容，熟练掌握这些基础要点，能有效避免后续解方程时出现移项忘变号、配方加错常数项等常见错误，为运用配方法解决各类二次相关问题打下基础。
【难度系数】
0.8
