【数学文化背景】在动画制作中，三角剖分（Triangulation）是一种关键的几何处理技术，主要用于将复杂的三维模型表面分解为三角形网格，以便计算机进行高效渲染和物理模拟。在《哪吒2》的制作中，这一技术被广泛应用于角色建模、场景构建、布料模拟以及动画特效制作等环节。下面我们通过活动来研究多边形的三角剖分。

活动一:从多边形的一个顶点出发作它的对角线,对图形进行三角剖分.
(1)结合图形完成下表:
| 名称 | 图形 | 从多边形的一顶点引出的对角线条数 | 分割出的三角形个数 | 多边形内角和 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 三角形 | | 0 | 1 | |
| 四边形 | | 1 | 2 | |
| 五边形 | | 2 | 3 | |
| 六边形 | | 3 | 4 | |
| … | … | … | … | … |
| n边形 | | $n-3$ | $n-2$ | |

(2)研究发现:我们按照从特殊到一般的顺序发现从$n(n≥3)$边形的一个顶点可以引出条对角线,把三角形剖分为个三角形,得出多边形内角和是的事实.
活动二:(1)将一个四边形进行三角剖分,有种剖分方法.
(2)阅读教材P19中计算$n$边形的不同三角剖分法数的欧拉公式,计算四边形、五边形、六边形、七边形有多少种三角剖分方法,然后小组交流展示.

活动一:
(1) 三角形内角和：$1×180°=180°$，四边形内角和：$2×180°=360°$，五边形内角和：$3×180°=540°$，六边形内角和：$4×180°=720°$，n边形内角和：$(n-2)×180°$
(2) 从$n(n≥3)$边形的一个顶点可以引出$(n-3)$条对角线,把三角形剖分为$(n-2)$个三角形,得出多边形内角和是$(n-2)·180°$
活动二:
(1) 2
(2) 解:通过欧拉公式解答如下:①求 $D_4$(四边形三角剖分方法数)已知 $n=3$ 时, $D_3=1$,根据公式$\frac{D_{n+1}}{D_n}=\frac{4n-6}{n}$,当 $n=3$ 时,$\frac{D_4}{D_3}=\frac{4×3-6}{3}=\frac{12-6}{3}=2$,因为 $D_3=1$,所以 $D_4=2×D_3=2×1=2$. ②求 $D_5$(五边形三角剖分方法数)已知 $n=4$ 时,$\frac{D_5}{D_4}=\frac{4×4-6}{4}=\frac{16-6}{4}=\frac{10}{4}=\frac{5}{2}$,因为 $D_4=2$,所以 $D_5=\frac{5}{2}×D_4=\frac{5}{2}×2=5$. ③求 $D_6$(六边形三角剖分方法数)已知 $n=5$ 时,$\frac{D_6}{D_5}=\frac{4×5-6}{5}=\frac{20-6}{5}=\frac{14}{5}$,因为 $D_5=5$,所以 $D_6=\frac{14}{5}×D_5=\frac{14}{5}×5=14$. ④求 $D_7$(七边形三角剖分方法数)已知 $n=6$ 时,$\frac{D_7}{D_6}=\frac{4×6-6}{6}=\frac{24-6}{6}=3$,因为 $D_6=14$,所以 $D_7=3×D_6=3×14=42$.
∴四边形的三角剖分方法有 2 种,五边形的三角剖分方法有 5 种,六边形的三角剖分方法有 14 种,七边形的三角剖分方法有 42 种.

【分析】
解题思路分为两部分：①活动一：先研究三角形、四边形、五边形、六边形这些特殊多边形，从一个顶点引对角线分割出的三角形个数，已知单个三角形内角和为180°，因此多边形内角和等于分割出的三角形个数乘180°，再从特殊情况归纳得到n边形的一般规律；②活动二：(1)四边形三角剖分是用不相交的对角线将四边形全部分为三角形，四边形仅存在2条符合要求的剖分对角线，对应2种方法；(2)按照给出的欧拉递推公式，以已知的三角形剖分数$D_3=1$为基础，依次代入n=3、4、5、6计算即可得到四边形到七边形的剖分方法数。
【解析】
活动一
(1) 三角形分割出1个三角形，内角和：$1×180°=180°$；
四边形分割出2个三角形，内角和：$2×180°=360°$；
五边形分割出3个三角形，内角和：$3×180°=540°$；
六边形分割出4个三角形，内角和：$4×180°=720°$；
n边形分割出$(n-2)$个三角形，内角和：$(n-2)×180°$。
(2) 结合表格规律可得：从$n(n≥3)$边形的一个顶点引出的对角线条数为$(n-3)$，分割出的三角形个数为$(n-2)$，因此多边形内角和为$(n-2)·180°$。
活动二
(1) 四边形三角剖分时，可任选两条对角线中的一条将四边形分为2个三角形，共2种剖分方法。
(2) 已知三角形剖分方法数$D_3=1$，欧拉递推公式为$\frac{D_{n+1}}{D_n}=\frac{4n-6}{n}$：
① 求四边形剖分方法数$D_4$：当$n=3$时，$\frac{D_4}{D_3}=\frac{4×3-6}{3}=2$，则$D_4=2× D_3=2×1=2$；
② 求五边形剖分方法数$D_5$：当$n=4$时，$\frac{D_5}{D_4}=\frac{4×4-6}{4}=\frac{5}{2}$，则$D_5=\frac{5}{2}× D_4=\frac{5}{2}×2=5$；
③ 求六边形剖分方法数$D_6$：当$n=5$时，$\frac{D_6}{D_5}=\frac{4×5-6}{5}=\frac{14}{5}$，则$D_6=\frac{14}{5}× D_5=\frac{14}{5}×5=14$；
④ 求七边形剖分方法数$D_7$：当$n=6$时，$\frac{D_7}{D_6}=\frac{4×6-6}{6}=3$，则$D_7=3× D_6=3×14=42$。
【答案】
活动一：
(1) 表格内角和栏依次填写：$180°$；$360°$；$540°$；$720°$；$(n-2)×180°$
(2) $n-3$；$n-2$；$(n-2)·180°$
活动二：
(1) $2$
(2) 四边形2种，五边形5种，六边形14种，七边形42种
【知识点】
多边形内角和定理；多边形的对角线；递推公式应用
【点评】
本题结合动画制作的实际应用背景，以多边形三角剖分为载体，引导学生通过从特殊到一般的归纳方法探究多边形的性质，既巩固了多边形的基础知识点，又拓展了几何剖分的相关知识，有利于提升逻辑推理能力和公式应用能力。
【难度系数】
0.7

活动三:请完成下列问题.
1.从十二边形的一个顶点可以引出条对角线,把三角形剖分为个三角形,得出它的内角和是,它的外角和是.
2.过多边形的一个顶点的所有对角线的条数与这些对角线所分得的三角形个数的和为21,求这个多边形的边数.

1. 9 10 1800° 360°
2. 解:设这个多边形的边数为 $n$,则过一个顶点有 $(n-3)$ 条对角线,所分得的三角形个数为 $n-2$. $\therefore n-3+n-2=21$. 解得 $n=13$. 答:这个多边形的边数为 13.

【分析】
1. 解决第一问需牢记多边形的相关基础规律：n边形从一个顶点出发，除自身和相邻两个顶点外，可与其余顶点连接形成对角线，因此对角线条数为n-3；这些对角线将多边形分割为(n-2)个三角形，内角和可由三角形内角和推导为(n-2)×180°，任意多边形的外角和均为固定值360°，将n=12代入对应公式即可求解。
2. 解决第二问可采用方程思想，设多边形边数为n，分别用含n的式子表示过一个顶点的对角线条数、对角线分得的三角形个数，根据二者之和为21列方程求解即可。
【解析】
1. 已知多边形边数n=12：
从一个顶点引出的对角线条数：$12-3=9$（条）
对角线剖分得到的三角形个数：$12-2=10$（个）
十二边形内角和：$10×180°=1800°$
任意多边形外角和均为360°，因此十二边形外角和为$360°$。
2. 解：设这个多边形的边数为 $n$，
过$n$边形的一个顶点共有$(n-3)$条对角线，这些对角线可将多边形分为$(n-2)$个三角形，
根据题意列方程：$n-3+n-2=21$
合并同类项得：$2n-5=21$
移项计算得：$2n=26$，解得$n=13$。
【答案】
1. 9；10；1800°；360°
2. 13
【知识点】
多边形对角线规律；多边形内角和公式；多边形外角和定理
【点评】
本题围绕多边形的基础性质设置题目，第一问是对基础公式的直接考查，第二问结合方程思想考查公式的灵活应用，均为多边形章节的高频基础考点，熟练记忆相关结论即可快速解题。
【难度系数】
0.8