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综合与实践(一) 确定均质薄板的重心位置
背景材料
“重心”的概念在古希腊时期就有了初步的研究.古希腊数学家阿基米德在研究物体的平衡问题时,就对重心有了深入的思考.他通过研究发现,对于一个均匀的物体,其重心就是物体所受重力的合力作用点,这个点具有特殊的物理意义,它决定了物体在重力作用下的平衡状态.
要研究平面几何图形的重心,我们有必要先研究物体(如木棒、三角形纸板等)的重心位置,进而抽象出平面几何图形的重心,并从中发现规律.
准备过程
1.学生试验记录单.
2.学生试验器材:直尺、铅笔、细线、铁架台、均匀木棒、三角形纸板、平行四边形纸板、长方形纸板、正方形纸板、钉子、螺钉、圆规、量角器等.
3.组建合作团队:本次综合与实践活动需要团队协作,在班级中组成5~8人一组的研究小组,每位同学参加其中一个小组,每个小组确定一名负责人.
4.方案构思.
任务1
杂技演员头上的碗、顶杆上的碟子掉不下来是由于它们保持着一种平衡.试一试:
1.怎样用一根手指平衡地顶起一本书?
2.如何找木条、三角形、平行四边形、长方形、正方形的重心? 有哪些方法?
任务2
1.如图,选择一个组合图形的薄板工件,通过推理、计算确定其重心的位置.
2.如何确定一个由多个不规则多边形组成的复杂工件的重心位置?
任务3
尝试用坐标法确定平面直角坐标系中三角形顶点坐标分别为$A(1,1)$、$B(5,1)$、$C(3,4)$的重心坐标,并总结用坐标法求三角形重心坐标的一般规律.
背景材料
“重心”的概念在古希腊时期就有了初步的研究.古希腊数学家阿基米德在研究物体的平衡问题时,就对重心有了深入的思考.他通过研究发现,对于一个均匀的物体,其重心就是物体所受重力的合力作用点,这个点具有特殊的物理意义,它决定了物体在重力作用下的平衡状态.
要研究平面几何图形的重心,我们有必要先研究物体(如木棒、三角形纸板等)的重心位置,进而抽象出平面几何图形的重心,并从中发现规律.
准备过程
1.学生试验记录单.
2.学生试验器材:直尺、铅笔、细线、铁架台、均匀木棒、三角形纸板、平行四边形纸板、长方形纸板、正方形纸板、钉子、螺钉、圆规、量角器等.
3.组建合作团队:本次综合与实践活动需要团队协作,在班级中组成5~8人一组的研究小组,每位同学参加其中一个小组,每个小组确定一名负责人.
4.方案构思.
任务1
杂技演员头上的碗、顶杆上的碟子掉不下来是由于它们保持着一种平衡.试一试:
1.怎样用一根手指平衡地顶起一本书?
2.如何找木条、三角形、平行四边形、长方形、正方形的重心? 有哪些方法?
任务2
1.如图,选择一个组合图形的薄板工件,通过推理、计算确定其重心的位置.
2.如何确定一个由多个不规则多边形组成的复杂工件的重心位置?
任务3
尝试用坐标法确定平面直角坐标系中三角形顶点坐标分别为$A(1,1)$、$B(5,1)$、$C(3,4)$的重心坐标,并总结用坐标法求三角形重心坐标的一般规律.
答案
1. 我们用平衡法来顶书。
2. 寻找几何图形重心的方法有平衡法、悬挂法、铅垂线法、分割法等；木条(线段)的重心就是这条线段的中点；三角形的重心是这个三角形三条中线的交点
；平行四边形、长方形、正方形的重心分别是它们的两条对角线的交点；规则的几何图形的重心就是它的几何中心。任务2:
1. 先确定两个长方形的重心位置，然后根据它们的面积比例和重心位置来计算整个工件的重心位置；
2. 可以将其分割成多个已知重心位置的简单图形(如三角形、长方形等)，然后利用这些图形的重心位置和面积比例来计算整个工件的重心位置；
任务3: 求三角形ABC重心的坐标，设重心为G。G($\frac{1+5+3}{3}$,$\frac{1+1+4}{3}$)，即G(3,2)。用坐标法求三角形重心坐标的一般规律:对于平面直角坐标系中任意三角形，若其三个顶点坐标分别为$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),C(x_3,y_3)$，则其重心G的坐标为($\frac{x_1+x_2+x_3}{3}$,$\frac{y_1+y_2+y_3}{3}$)。
解析
【分析】
解题可以按照从易到难、从简单到复杂的思路逐步思考：
1. 首先明确均匀物体的重心是重力的合力作用点，当支撑点在重心位置时物体可以保持平衡，因此顶书只需要将手指放在书的重心位置即可。
2. 找简单几何图形的重心时，先区分图形是否规则：规则的均质图形的重心与几何中心重合，因此可以直接通过找几何中心得到重心；如果不确定或者图形不规则，可以用平衡法、悬挂法等实验方法确定。
3. 处理组合图形的重心问题时，运用“分割法”的思想，把复杂的组合图形拆分成多个我们已经会找重心的简单图形，分别确定每个简单图形的重心后，再结合各部分的面积比例，就能算出整体的重心位置。
4. 求坐标平面内三角形的重心时，利用重心的坐标规律：三个顶点的横、纵坐标分别取算术平均数，就是重心的横、纵坐标，代入数值计算即可，再从特殊例子归纳出一般公式。
【解析】
任务1
1. 顶起一本书的方法：找到书的重心位置（书本为长方形，重心是两条对角线的交点），将手指顶在该位置，即可平衡顶起书本，该方法为平衡法。
2. 常见图形重心的寻找方法及位置：
① 寻找方法：平衡法、悬挂法、铅垂线法、分割法等；
② 各图形重心位置：木条属于线段，重心是线段的中点；三角形的重心是三条中线的交点；平行四边形、长方形、正方形均属于中心对称图形，重心是各自两条对角线的交点；综上，规则均质几何图形的重心就是它的几何中心。
任务2
1. 组合薄板工件的重心确定：首先将组合图形分割为两个独立的长方形，分别找到两个长方形的重心（各自对角线的交点），两个长方形的总重心在这两个重心的连线上，再根据两个长方形的面积比例，即可确定总重心在连线上的具体位置。
2. 复杂多边形工件的重心确定：先将复杂多边形分割为若干个三角形、长方形等已知重心求法的简单图形，分别求出每个简单图形的重心，再结合每个简单图形的面积占比，计算得到整个复杂工件的重心位置。
任务3
设三角形$ABC$的重心为$G(x,y)$，根据三角形重心坐标的规律，重心的横、纵坐标分别为三个顶点横、纵坐标的算术平均数：
$x=\frac{x_A+x_B+x_C}{3}=\frac{1+5+3}{3}=3$，
$y=\frac{y_A+y_B+y_C}{3}=\frac{1+1+4}{3}=2$，
因此重心$G$的坐标为$(3,2)$。
一般规律：若平面直角坐标系中三角形三个顶点的坐标分别为$A(x_1,y_1)$、$B(x_2,y_2)$、$C(x_3,y_3)$，则该三角形的重心$G$的坐标为$(\frac{x_1+x_2+x_3}{3},\frac{y_1+y_2+y_3}{3})$。
【答案】
1. 我们用平衡法来顶书。
2. 寻找几何图形重心的方法有平衡法、悬挂法、铅垂线法、分割法等；木条(线段)的重心就是这条线段的中点；三角形的重心是这个三角形三条中线的交点；平行四边形、长方形、正方形的重心分别是它们的两条对角线的交点；规则的几何图形的重心就是它的几何中心。
任务2:
1. 先确定两个长方形的重心位置，然后根据它们的面积比例和重心位置来计算整个工件的重心位置；
2. 可以将其分割成多个已知重心位置的简单图形(如三角形、长方形等)，然后利用这些图形的重心位置和面积比例来计算整个工件的重心位置；
任务3: 求三角形ABC重心的坐标，设重心为G。G($\frac{1+5+3}{3}$,$\frac{1+1+4}{3}$)，即G(3,2)。用坐标法求三角形重心坐标的一般规律:对于平面直角坐标系中任意三角形，若其三个顶点坐标分别为$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),C(x_3,y_3)$，则其重心G的坐标为($\frac{x_1+x_2+x_3}{3}$,$\frac{y_1+y_2+y_3}{3}$)。
【知识点】
重心的概念，规则图形重心确定，重心坐标计算
【点评】
本题结合生活实例与实践探究，将物理中的重心概念和数学几何知识相结合，既锻炼了动手操作能力，也培养了分割转化、归纳总结的思维，能够帮助学生掌握从特殊到一般的研究方法，提升综合解决问题的能力。
【难度系数】
0.7
解题可以按照从易到难、从简单到复杂的思路逐步思考：
1. 首先明确均匀物体的重心是重力的合力作用点，当支撑点在重心位置时物体可以保持平衡，因此顶书只需要将手指放在书的重心位置即可。
2. 找简单几何图形的重心时，先区分图形是否规则：规则的均质图形的重心与几何中心重合，因此可以直接通过找几何中心得到重心；如果不确定或者图形不规则，可以用平衡法、悬挂法等实验方法确定。
3. 处理组合图形的重心问题时，运用“分割法”的思想，把复杂的组合图形拆分成多个我们已经会找重心的简单图形，分别确定每个简单图形的重心后，再结合各部分的面积比例，就能算出整体的重心位置。
4. 求坐标平面内三角形的重心时，利用重心的坐标规律：三个顶点的横、纵坐标分别取算术平均数，就是重心的横、纵坐标，代入数值计算即可，再从特殊例子归纳出一般公式。
【解析】
任务1
1. 顶起一本书的方法：找到书的重心位置（书本为长方形，重心是两条对角线的交点），将手指顶在该位置，即可平衡顶起书本，该方法为平衡法。
2. 常见图形重心的寻找方法及位置：
① 寻找方法：平衡法、悬挂法、铅垂线法、分割法等；
② 各图形重心位置：木条属于线段，重心是线段的中点；三角形的重心是三条中线的交点
；平行四边形、长方形、正方形均属于中心对称图形，重心是各自两条对角线的交点；综上，规则均质几何图形的重心就是它的几何中心。任务2
1. 组合薄板工件的重心确定：首先将组合图形分割为两个独立的长方形，分别找到两个长方形的重心（各自对角线的交点），两个长方形的总重心在这两个重心的连线上，再根据两个长方形的面积比例，即可确定总重心在连线上的具体位置。
2. 复杂多边形工件的重心确定：先将复杂多边形分割为若干个三角形、长方形等已知重心求法的简单图形，分别求出每个简单图形的重心，再结合每个简单图形的面积占比，计算得到整个复杂工件的重心位置。
任务3
设三角形$ABC$的重心为$G(x,y)$，根据三角形重心坐标的规律，重心的横、纵坐标分别为三个顶点横、纵坐标的算术平均数：
$x=\frac{x_A+x_B+x_C}{3}=\frac{1+5+3}{3}=3$，
$y=\frac{y_A+y_B+y_C}{3}=\frac{1+1+4}{3}=2$，
因此重心$G$的坐标为$(3,2)$。
一般规律：若平面直角坐标系中三角形三个顶点的坐标分别为$A(x_1,y_1)$、$B(x_2,y_2)$、$C(x_3,y_3)$，则该三角形的重心$G$的坐标为$(\frac{x_1+x_2+x_3}{3},\frac{y_1+y_2+y_3}{3})$。
【答案】
1. 我们用平衡法来顶书。
2. 寻找几何图形重心的方法有平衡法、悬挂法、铅垂线法、分割法等；木条(线段)的重心就是这条线段的中点；三角形的重心是这个三角形三条中线的交点
；平行四边形、长方形、正方形的重心分别是它们的两条对角线的交点；规则的几何图形的重心就是它的几何中心。任务2:
1. 先确定两个长方形的重心位置，然后根据它们的面积比例和重心位置来计算整个工件的重心位置；
2. 可以将其分割成多个已知重心位置的简单图形(如三角形、长方形等)，然后利用这些图形的重心位置和面积比例来计算整个工件的重心位置；
任务3: 求三角形ABC重心的坐标，设重心为G。G($\frac{1+5+3}{3}$,$\frac{1+1+4}{3}$)，即G(3,2)。用坐标法求三角形重心坐标的一般规律:对于平面直角坐标系中任意三角形，若其三个顶点坐标分别为$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),C(x_3,y_3)$，则其重心G的坐标为($\frac{x_1+x_2+x_3}{3}$,$\frac{y_1+y_2+y_3}{3}$)。
【知识点】
重心的概念，规则图形重心确定，重心坐标计算
【点评】
本题结合生活实例与实践探究，将物理中的重心概念和数学几何知识相结合，既锻炼了动手操作能力，也培养了分割转化、归纳总结的思维，能够帮助学生掌握从特殊到一般的研究方法，提升综合解决问题的能力。
【难度系数】
0.7
