7. 某项目小组准备合作制作一个水流装置，下面是活动过程.
活动目的 制作简易水流装置
方案及示意图 如图，CD是进水通道，AB是出水通道，OE是圆柱形容器的底面直径. 从CD将圆柱形容器注满水，内部安装调节器，水流从B处流出且呈抛物线形. 以点O为坐标原点，EO所在直线为x轴，OA所在直线为y轴建立平面直角坐标系(1 cm为1个单位长度)，水流最终落到x轴上的点M处.
已知条件 AB//x轴，AB=5 cm，OM=15 cm，AO=20 cm，点B为水流所在抛物线的顶点，点A，B，O，E，M在同一平面内，水流所在抛物线的函数解析式为$y=a(x-h)^2 + k(a ≠ 0)$.
任务一 求水流所在抛物线的函数解析式.
任务二 现有一个底面半径为4 cm、高为10 cm的圆柱形水杯，将该水杯底面圆的圆心恰好放在M处，水流是否能流进圆柱形水杯内？请通过计算说明理由.(圆柱形水杯的厚度忽略不计)

7. 解:任务一:
∵AB//x轴,AB=5 cm,点B为水流所在抛物线的顶点,
∴抛物线的对称轴为直线x=5,
∴h=5.把点M(15,0),B(5,20)代入抛物线$y=a(x−5)²+k(a≠0)$,得$\begin{cases}a(15−5)²+k=0\\a(5−5)²+k=20\end{cases}$,解得$\begin{cases}a=-\frac{1}{5}\\k=20\end{cases}$,
∴水流所在抛物线的函数解析式为$y=-\frac{1}{5}(x−5)²+20$.
任务二:在x轴上,圆柱形水杯最左端到点O的距离是15−4=11(cm),当x=11时,$y=-\frac{1}{5}(11−5)²+20=12.8$.
∵12.8＞10,
∴水流能流进圆柱形水杯内.

8. 如图,若二次函数$y=-x^2+bx+c$的图象与$x$轴交于点$A(-1,0),B$,与$y$轴交于点$C(0,4)$,连接$AC,BC$.
(1)求二次函数的解析式.
(2)求$△ ABC$的面积.
(3)若点$P$是二次函数图象在第一象限内$BC$上方一动点,连接$PB,PC$,是否存在点$P$,使四边形$ABPC$的面积为$18$?若存在,求出点$P$的坐标;若不存在,请说明理由.

8. 解:(1)将点A(−1,0),C(0,4)代入,得$\begin{cases}-1−b+c=0\\c=4\end{cases}$,解得$\begin{cases}b=3\\c=4\end{cases}$,
∴二次函数的解析式为$y=-x²+3x+4$.
(2)二次函数$y=-x²+3x+4$的图象与x轴交于点A(−1,0),B,当y=0时,得−x²+3x+4=0,解得$x_1=-1$,$x_2=4$,
∴B(4,0),
∴AB=AO+OB=1+4=5,
∴$S_{△ABC}=\frac{1}{2}AB·OC=\frac{1}{2}×5×4=10$,
∴△ABC的面积为10.
(3)存在.设直线BC的解析式为y=kx+b',将点B(4,0),C(0,4)代入,得$\begin{cases}4k+b'=0\\b'=4\end{cases}$,解得$\begin{cases}k=-1\\b'=4\end{cases}$,
∴直线BC的解析式为y=−x+4.由(2)得$S_{△ABC}=10$,
∴$S_{△BCP}=S_{四边形ABPC}−S_{△ABC}=18−10=8$.如图,过点P作PM⊥x轴交BC于点M.设$P(m,-m²+3m+4)$,则M(m,−m+4),
∴$PM=-m²+3m+4−(-m+4)=-m²+4m$.
∵$S_{△BCP}=\frac{1}{2}PM·OB$,
∴$8=\frac{1}{2}×(-m²+4m)×4$,解得m=2,
∴$-m²+3m+4=-2²+3×2+4=6$,
∴点P的坐标为(2,6).