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14.如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$.
(1)尺规作图:作$∠ CBD=∠ A$,D点在AC边上;(不要求写作法,保留作图痕迹)
(2)若$∠ A=40°$,求$∠ ABD$的度数.
(1)尺规作图:作$∠ CBD=∠ A$,D点在AC边上;(不要求写作法,保留作图痕迹)
(2)若$∠ A=40°$,求$∠ ABD$的度数.
答案
14. 解:(1)如图,∠CBD为所求作.
(2)因为 AB=AC,
所以∠ABC=∠C=1/2(180°−∠A)=1/2(180°−40°)=70°.
因为∠CBD=∠A=40°,
所以∠ABD=70°−40°=30°.
解析
【分析】
(1) 第一问属于尺规基本作图，思路是利用“作一个角等于已知角”的尺规作图方法，以点B为顶点，BC为一边，作出与∠A相等的∠CBD，使角的另一边与AC边交于点D，保留作图痕迹即可。
(2) 第二问求角度，首先根据AB=AC判定△ABC为等腰三角形，利用等腰三角形“等边对等角”的性质结合三角形内角和定理，先算出底角∠ABC的度数；再结合作图得到的∠CBD=∠A，用∠ABC减去∠CBD就能得到∠ABD的度数。
【解析】
(1) 按照尺规作一个角等于已知角的操作方法作图，所得∠CBD即为所求，作图结果见参考答案配图。
(2) 解：
∵AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形，根据等边对等角可得∠ABC=∠C。
根据三角形内角和为180°，代入∠A=40°计算：
$∠ ABC=\frac{1}{2}(180°-∠ A)=\frac{1}{2}(180°-40°)=70°$
由作图可知∠CBD=∠A=40°，因此：
$∠ ABD=∠ ABC-∠ CBD=70°-40°=30°$
【答案】
(1) 如图,∠CBD为所求作.
(2) ∠ABD的度数为30°
【知识点】
等腰三角形的性质，尺规作角，三角形内角和定理
【点评】
本题是基础综合题，既考查了尺规作图的基本操作能力，也考查了等腰三角形性质和三角形内角和定理的应用，作图时要注意保留作图痕迹、符合D点在AC上的要求，角度计算只要理清各角的数量关系即可轻松求解。
【难度系数】
0.8
(1) 第一问属于尺规基本作图，思路是利用“作一个角等于已知角”的尺规作图方法，以点B为顶点，BC为一边，作出与∠A相等的∠CBD，使角的另一边与AC边交于点D，保留作图痕迹即可。
(2) 第二问求角度，首先根据AB=AC判定△ABC为等腰三角形，利用等腰三角形“等边对等角”的性质结合三角形内角和定理，先算出底角∠ABC的度数；再结合作图得到的∠CBD=∠A，用∠ABC减去∠CBD就能得到∠ABD的度数。
【解析】
(1) 按照尺规作一个角等于已知角的操作方法作图，所得∠CBD即为所求，作图结果见参考答案配图。
(2) 解：
∵AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形，根据等边对等角可得∠ABC=∠C。
根据三角形内角和为180°，代入∠A=40°计算：
$∠ ABC=\frac{1}{2}(180°-∠ A)=\frac{1}{2}(180°-40°)=70°$
由作图可知∠CBD=∠A=40°，因此：
$∠ ABD=∠ ABC-∠ CBD=70°-40°=30°$
【答案】
(1) 如图,∠CBD为所求作.
(2) ∠ABD的度数为30°
【知识点】
等腰三角形的性质，尺规作角，三角形内角和定理
【点评】
本题是基础综合题，既考查了尺规作图的基本操作能力，也考查了等腰三角形性质和三角形内角和定理的应用，作图时要注意保留作图痕迹、符合D点在AC上的要求，角度计算只要理清各角的数量关系即可轻松求解。
【难度系数】
0.8
15.(重庆模拟)
在△ABC中,AD平分∠BAC交BC于点D,AD=BD,∠ADC=72°.若BD=5,则AC的长是
在△ABC中,AD平分∠BAC交BC于点D,AD=BD,∠ADC=72°.若BD=5,则AC的长是5
.答案
15. 5
解析
【分析】
我们可先从已知角和边的关系逐步推导：首先利用邻补角的性质求出∠ADB的度数，结合AD=BD的等腰三角形性质算出∠BAD的度数；再借助角平分线的定义得到∠CAD的度数，接着在△ADC中利用三角形内角和定理求出∠C的度数，发现∠C与∠ADC相等，得到AC=AD的等量关系，最后结合AD=BD的已知条件即可求出AC的长度。
【解析】
1. 求∠ADB的度数：
∵ ∠ADC=72°，∠ADC与∠ADB互为邻补角
∴ ∠ADB=180°-∠ADC=180°-72°=108°
2. 在△ADB中，AD=BD，△ADB为等腰三角形：
∴ ∠BAD=∠B=(180°-∠ADB)÷2=(180°-108°)÷2=36°
3.
∵ AD平分∠BAC，根据角平分线的定义：
∴ ∠CAD=∠BAD=36°
4. 在△ADC中，由三角形内角和为180°可得：
∠C=180°-∠ADC-∠CAD=180°-72°-36°=72°
∴ ∠C=∠ADC，根据等角对等边，可得AC=AD
5. 已知AD=BD=5，因此AC=AD=5
【答案】
5
【知识点】
等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义，三角形内角和定理
【点评】
本题是等腰三角形相关性质的基础应用考题，解题的核心是通过角度推导找到相等的角，进而得到边的等量关系，逻辑链条清晰，侧重对几何基础知识点的综合考查。
【难度系数】
0.7
我们可先从已知角和边的关系逐步推导：首先利用邻补角的性质求出∠ADB的度数，结合AD=BD的等腰三角形性质算出∠BAD的度数；再借助角平分线的定义得到∠CAD的度数，接着在△ADC中利用三角形内角和定理求出∠C的度数，发现∠C与∠ADC相等，得到AC=AD的等量关系，最后结合AD=BD的已知条件即可求出AC的长度。
【解析】
1. 求∠ADB的度数：
∵ ∠ADC=72°，∠ADC与∠ADB互为邻补角
∴ ∠ADB=180°-∠ADC=180°-72°=108°
2. 在△ADB中，AD=BD，△ADB为等腰三角形：
∴ ∠BAD=∠B=(180°-∠ADB)÷2=(180°-108°)÷2=36°
3.
∵ AD平分∠BAC，根据角平分线的定义：
∴ ∠CAD=∠BAD=36°
4. 在△ADC中，由三角形内角和为180°可得：
∠C=180°-∠ADC-∠CAD=180°-72°-36°=72°
∴ ∠C=∠ADC，根据等角对等边，可得AC=AD
5. 已知AD=BD=5，因此AC=AD=5
【答案】
5
【知识点】
等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义，三角形内角和定理
【点评】
本题是等腰三角形相关性质的基础应用考题，解题的核心是通过角度推导找到相等的角，进而得到边的等量关系，逻辑链条清晰，侧重对几何基础知识点的综合考查。
【难度系数】
0.7
16.(南宁模拟)如图是某种落地灯的简易示意图，DE为悬杆，BC为支杆.已知悬杆的CD部分的长度与支杆BC的长度相等，点E在DC的延长线上，且∠BCE=120°，若CD的长度为30 cm，则此时B，D两点之间的距离为
30
cm.答案
16. 30
解析
【分析】
要计算B、D两点的距离，可先分析△BCD的形状：首先由已知条件可得BC=CD，再结合∠BCE的度数，利用邻补角的性质求出∠BCD的度数，最后根据等边三角形的判定和性质即可求出BD的长度。
【解析】
解：已知CD=30cm，且BC=CD，
∴ BC=CD=30cm，
∵ 点E在DC的延长线上，∠BCE=120°，
∴ ∠BCD=180°-∠BCE=180°-120°=60°，
在△BCD中，BC=CD，∠BCD=60°，
∴ △BCD是等边三角形（有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形），
∴ BD=BC=30cm。
【答案】
30
【知识点】
邻补角的性质；等边三角形的判定；等边三角形的性质
【点评】
本题是几何基础应用题，解题的核心是通过已知角度和边长关系判断出三角形为等边三角形，再利用等边三角形三边相等的性质求解，解题思路清晰直接。
【难度系数】
0.8
要计算B、D两点的距离，可先分析△BCD的形状：首先由已知条件可得BC=CD，再结合∠BCE的度数，利用邻补角的性质求出∠BCD的度数，最后根据等边三角形的判定和性质即可求出BD的长度。
【解析】
解：已知CD=30cm，且BC=CD，
∴ BC=CD=30cm，
∵ 点E在DC的延长线上，∠BCE=120°，
∴ ∠BCD=180°-∠BCE=180°-120°=60°，
在△BCD中，BC=CD，∠BCD=60°，
∴ △BCD是等边三角形（有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形），
∴ BD=BC=30cm。
【答案】
30
【知识点】
邻补角的性质；等边三角形的判定；等边三角形的性质
【点评】
本题是几何基础应用题，解题的核心是通过已知角度和边长关系判断出三角形为等边三角形，再利用等边三角形三边相等的性质求解，解题思路清晰直接。
【难度系数】
0.8
17.如图,在$△ ABC$中,AB的垂直平分线交AB于点D,交BC于点E,若$△ ABC$的周长为26 cm,$△ AEC$的周长为18 cm,则AB的长为
8
cm.答案
17. 8
解析
【分析】
首先从题干给出的“AB的垂直平分线”这一条件，联想到线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，可得到AE=BE。接下来分别拆解两个三角形的周长表达式：△AEC的周长=AE+EC+AC，将AE替换为BE后，该周长可转化为BC+AC，由此可先求出BC与AC的长度和。再结合△ABC的周长=AB+BC+AC，用△ABC的周长减去BC+AC的和，即可求出AB的长度。
【解析】
解：
∵DE是AB的垂直平分线，
∴根据线段垂直平分线的性质可得：AE=BE。
已知△AEC的周长为18 cm，即：
$AE + EC + AC = 18\ \mathrm{cm}$
将AE替换为BE，可得：
$BE + EC + AC = 18\ \mathrm{cm}$
又
∵$BE + EC = BC$，
∴$BC + AC = 18\ \mathrm{cm}$。
已知△ABC的周长为26 cm，即：
$AB + BC + AC = 26\ \mathrm{cm}$
将$BC + AC = 18\ \mathrm{cm}$代入上式，得：
$AB = 26 - (BC + AC) = 26 - 18 = 8\ \mathrm{cm}$
【答案】
8
【知识点】
线段垂直平分线的性质；三角形周长计算
【点评】
本题是几何基础题，解题核心是利用线段垂直平分线的性质做边长的等量替换，把未知三角形的周长转化为已知边的和，进而求解，这类题型是线段垂直平分线性质的典型应用。
【难度系数】
0.8
首先从题干给出的“AB的垂直平分线”这一条件，联想到线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，可得到AE=BE。接下来分别拆解两个三角形的周长表达式：△AEC的周长=AE+EC+AC，将AE替换为BE后，该周长可转化为BC+AC，由此可先求出BC与AC的长度和。再结合△ABC的周长=AB+BC+AC，用△ABC的周长减去BC+AC的和，即可求出AB的长度。
【解析】
解：
∵DE是AB的垂直平分线，
∴根据线段垂直平分线的性质可得：AE=BE。
已知△AEC的周长为18 cm，即：
$AE + EC + AC = 18\ \mathrm{cm}$
将AE替换为BE，可得：
$BE + EC + AC = 18\ \mathrm{cm}$
又
∵$BE + EC = BC$，
∴$BC + AC = 18\ \mathrm{cm}$。
已知△ABC的周长为26 cm，即：
$AB + BC + AC = 26\ \mathrm{cm}$
将$BC + AC = 18\ \mathrm{cm}$代入上式，得：
$AB = 26 - (BC + AC) = 26 - 18 = 8\ \mathrm{cm}$
【答案】
8
【知识点】
线段垂直平分线的性质；三角形周长计算
【点评】
本题是几何基础题，解题核心是利用线段垂直平分线的性质做边长的等量替换，把未知三角形的周长转化为已知边的和，进而求解，这类题型是线段垂直平分线性质的典型应用。
【难度系数】
0.8
18.如图,在$△ ABC$中,$∠ A=68°$,点D是BC上一点,BD,CD的垂直平分线分别交AB,AC于点E,F,则$∠ EDF=$
68°
. 答案
18. 68°
解析
【分析】
解题时先从已知的垂直平分线入手，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得两组等边，再结合等边对等角得到等角；接着利用三角形内角和定理求出△ABC中∠B与∠C的和，再根据平角为180°，通过角的和差关系即可求出∠EDF的度数。
【解析】
解：
∵BD的垂直平分线交AB于点E，
∴EB=ED，根据等腰三角形等边对等角的性质，可得∠B=∠EDB。
同理，CD的垂直平分线交AC于点F，
∴FC=FD，可得∠C=∠FDC。
在△ABC中，由三角形内角和为180°，已知∠A=68°，
∴∠B+∠C=180°-∠A=180°-68°=112°，
∴∠EDB+∠FDC=∠B+∠C=112°。
又
∵点B、D、C在同一直线上，∠EDB+∠EDF+∠FDC=180°（平角的定义），
∴∠EDF=180°-(∠EDB+∠FDC)=180°-112°=68°。
【答案】
68°
【知识点】
线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于几何基础计算题，解题的核心是熟练运用垂直平分线性质转化边的关系，再通过角的等量代换结合内角和、平角的性质计算角度，是三角形章节的典型常考题型。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知的垂直平分线入手，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得两组等边，再结合等边对等角得到等角；接着利用三角形内角和定理求出△ABC中∠B与∠C的和，再根据平角为180°，通过角的和差关系即可求出∠EDF的度数。
【解析】
解：
∵BD的垂直平分线交AB于点E，
∴EB=ED，根据等腰三角形等边对等角的性质，可得∠B=∠EDB。
同理，CD的垂直平分线交AC于点F，
∴FC=FD，可得∠C=∠FDC。
在△ABC中，由三角形内角和为180°，已知∠A=68°，
∴∠B+∠C=180°-∠A=180°-68°=112°，
∴∠EDB+∠FDC=∠B+∠C=112°。
又
∵点B、D、C在同一直线上，∠EDB+∠EDF+∠FDC=180°（平角的定义），
∴∠EDF=180°-(∠EDB+∠FDC)=180°-112°=68°。
【答案】
68°
【知识点】
线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于几何基础计算题，解题的核心是熟练运用垂直平分线性质转化边的关系，再通过角的等量代换结合内角和、平角的性质计算角度，是三角形章节的典型常考题型。
【难度系数】
0.7
19. (应用意识)某数学兴趣小组就“测量河两岸A,B两点之间的距离”这一课题,经过思考、讨论,设计了如下方案.
| 课题 | 测量河两岸A,B两点之间的距离 |
| --- | --- |
| 测量工具 | 测量角度的仪器、皮尺等 |
| 测量方案示意图 |
|
| 测量步骤 | ①在点B所在河岸同侧的平地上取点C和点D,使点A,B,C在同一直线上,且$CD=BC$;
②测得$∠ C=100°$,$∠ ADC=65°$;
③在CD的延长线上取点E,使得$∠ E=15°$;
④测得DE的长为15 m |
(1)A,B两点之间的距离是
(2)请你说明方案正确的理由.
| 课题 | 测量河两岸A,B两点之间的距离 |
| --- | --- |
| 测量工具 | 测量角度的仪器、皮尺等 |
| 测量方案示意图 |
|| 测量步骤 | ①在点B所在河岸同侧的平地上取点C和点D,使点A,B,C在同一直线上,且$CD=BC$;
②测得$∠ C=100°$,$∠ ADC=65°$;
③在CD的延长线上取点E,使得$∠ E=15°$;
④测得DE的长为15 m |
(1)A,B两点之间的距离是
15
m;(2)请你说明方案正确的理由.
答案
19. 解:(1)15
(2)因为∠C=100°,∠ADC=65°,
所以∠A=180°−∠DCB−∠ADC=15°.
因为∠E=15°,所以∠A=∠E.
在△DCA和△BCE中,{∠A=∠E,∠ACD=∠ECB,CD=BC,
所以△DCA≌△BCE(AAS),
所以AC=EC.
因为BC=CD,所以AC−BC=CE−CD,即AB=DE.
答:测得DE的长就是A,B两点之间的距离,即15 m.
(2)因为∠C=100°,∠ADC=65°,
所以∠A=180°−∠DCB−∠ADC=15°.
因为∠E=15°,所以∠A=∠E.
在△DCA和△BCE中,{∠A=∠E,∠ACD=∠ECB,CD=BC,
所以△DCA≌△BCE(AAS),
所以AC=EC.
因为BC=CD,所以AC−BC=CE−CD,即AB=DE.
答:测得DE的长就是A,B两点之间的距离,即15 m.
解析
【分析】
要得到无法直接测量的AB的长度，需将AB和已知长度的DE建立等量关系：首先利用三角形内角和定理计算出∠A的度数，可得∠A=∠E；再结合已知的CD=BC、公共角∠ACD=∠ECB，证明△DCA和△BCE全等；最后根据全等三角形对应边相等，通过线段的和差推导得出AB=DE，即可求出AB的长度。
【解析】
(1) 在△ADC中，根据三角形内角和为180°：
$∠ A = 180° - ∠ C - ∠ ADC = 180° - 100° - 65° = 15°$
已知$∠ E=15°$，因此$∠ A = ∠ E$。
在△DCA和△BCE中：
$\begin{cases}∠ A = ∠ E \\∠ ACD = ∠ ECB \\CD = BC\end{cases}$
所以$△ DCA ≌ △ BCE \ (\mathrm{AAS})$，因此$AC = EC$。
又因为$BC = CD$，所以$AC - BC = EC - CD$，即$AB = DE$。
已知$DE=15\ \mathrm{m}$，所以$AB=15\ \mathrm{m}$。
(2) 方案正确的理由：
由三角形内角和定理得$∠ A = 180° - 100° - 65° = 15° = ∠ E$，结合公共角$∠ ACD = ∠ ECB$、$CD=BC$，可证$△ DCA ≌ △ BCE$（AAS），根据全等三角形对应边相等得$AC=EC$，再减去相等的线段$BC$和$CD$，可得$AB=DE$，因此测量DE的长度即可得到AB的长度，方案正确。
【答案】
(1) $\boldsymbol{15}$
(2) 因为$∠ C=100°$，$∠ ADC=65°$，所以$∠ A=180°−∠ C−∠ ADC=15°$。因为$∠ E=15°$，所以$∠ A=∠ E$。在$△ DCA$和$△ BCE$中，$\begin{cases}∠ A=∠ E \\ ∠ ACD=∠ ECB \\ CD=BC\end{cases}$，所以$△ DCA≌△ BCE(\mathrm{AAS})$，所以$AC=EC$。因为$BC=CD$，所以$AC−BC=CE−CD$，即$AB=DE$，所以测得DE的长就是A,B两点之间的距离。
【知识点】
三角形内角和定理；全等三角形的判定；全等三角形的性质
【点评】
本题结合实际测量场景，考查了全等三角形的判定与性质及三角形内角和的应用，通过构造全等三角形实现了不可测线段到可测线段的转化，突出了数学的实用性。
【难度系数】
0.7
要得到无法直接测量的AB的长度，需将AB和已知长度的DE建立等量关系：首先利用三角形内角和定理计算出∠A的度数，可得∠A=∠E；再结合已知的CD=BC、公共角∠ACD=∠ECB，证明△DCA和△BCE全等；最后根据全等三角形对应边相等，通过线段的和差推导得出AB=DE，即可求出AB的长度。
【解析】
(1) 在△ADC中，根据三角形内角和为180°：
$∠ A = 180° - ∠ C - ∠ ADC = 180° - 100° - 65° = 15°$
已知$∠ E=15°$，因此$∠ A = ∠ E$。
在△DCA和△BCE中：
$\begin{cases}∠ A = ∠ E \\∠ ACD = ∠ ECB \\CD = BC\end{cases}$
所以$△ DCA ≌ △ BCE \ (\mathrm{AAS})$，因此$AC = EC$。
又因为$BC = CD$，所以$AC - BC = EC - CD$，即$AB = DE$。
已知$DE=15\ \mathrm{m}$，所以$AB=15\ \mathrm{m}$。
(2) 方案正确的理由：
由三角形内角和定理得$∠ A = 180° - 100° - 65° = 15° = ∠ E$，结合公共角$∠ ACD = ∠ ECB$、$CD=BC$，可证$△ DCA ≌ △ BCE$（AAS），根据全等三角形对应边相等得$AC=EC$，再减去相等的线段$BC$和$CD$，可得$AB=DE$，因此测量DE的长度即可得到AB的长度，方案正确。
【答案】
(1) $\boldsymbol{15}$
(2) 因为$∠ C=100°$，$∠ ADC=65°$，所以$∠ A=180°−∠ C−∠ ADC=15°$。因为$∠ E=15°$，所以$∠ A=∠ E$。在$△ DCA$和$△ BCE$中，$\begin{cases}∠ A=∠ E \\ ∠ ACD=∠ ECB \\ CD=BC\end{cases}$，所以$△ DCA≌△ BCE(\mathrm{AAS})$，所以$AC=EC$。因为$BC=CD$，所以$AC−BC=CE−CD$，即$AB=DE$，所以测得DE的长就是A,B两点之间的距离。
【知识点】
三角形内角和定理；全等三角形的判定；全等三角形的性质
【点评】
本题结合实际测量场景，考查了全等三角形的判定与性质及三角形内角和的应用，通过构造全等三角形实现了不可测线段到可测线段的转化，突出了数学的实用性。
【难度系数】
0.7
