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6. 如图，某公路局施工队要修建一条公路AB，已知C点周围 300 m 范围内为古建筑保护群，在点 A 处测得 C 在 A 的北偏东 $45°$ 方向上，从 A 向东走 900 m 到达 B 处，测得 C 在点 B 的北偏西 $60°$ 方向上（参考数据：$\sqrt{2}\approx1.414,\sqrt{3}\approx1.732$）。
(1)AB 是否穿过古建筑保护群？为什么？
(2)若修路工程顺利进行，要使修路工程比原计划提前 5 天完成，需将原定的工作效率提高 25%，则原计划每天修建多少米公路？
(1)AB 是否穿过古建筑保护群？为什么？
(2)若修路工程顺利进行，要使修路工程比原计划提前 5 天完成，需将原定的工作效率提高 25%，则原计划每天修建多少米公路？
答案
解:(1)不穿过古建筑保护群.理由如下:如图,过点 $C$ 作 $CH ⊥ AB$ 于点 $H$,
设 $CH=x\ \mathrm{m}$,
$\because ∠ EAC=45°,∠ FBC=60°,AE ⊥ AB,FB ⊥ AB$,
$\therefore ∠ CAH=45°,∠ CBA=30°$,
在 $\mathrm{Rt}△ ACH$ 中,$AH=CH=x\ \mathrm{m}$,
在 $\mathrm{Rt}△ HBC$ 中,$\tan ∠ HBC=\dfrac{CH}{HB}$,
$\therefore HB=\dfrac{CH}{\tan 30°}=\dfrac{x}{\dfrac{\sqrt{3}}{3}}=\sqrt{3}x\ \mathrm{m}$.
$\because AH+HB=AB,\therefore x+\sqrt{3}x=900$,
解得 $x=\dfrac{900}{1+\sqrt{3}}\approx329(\mathrm{m}),329＞300$,
$\therefore AB$ 不穿过古建筑保护群.
(2)设原计划每天修建 $a\ \mathrm{m}$ 公路,
根据题意,得 $\dfrac{900}{a}=\dfrac{900}{(1+25\%)a}+5$,解得 $a=36$,
经检验,$a=36$ 是原方程的根,且符合题意.
答:原计划每天修建 $36\ \mathrm{m}$ 公路.
解析
【分析】
(1) 要判断AB是否穿过古建筑保护群，只需计算点C到AB的最短距离（即垂线段长度），再和300m比较即可。首先过C作CH⊥AB于H，设CH=x m：根据方向角可知∠CAH=45°，故Rt△ACH为等腰直角三角形，AH=CH=x；∠CBH=30°，在Rt△BCH中利用三角函数可将BH用x表示，再根据AH+BH=AB=900m列方程求解x，比较x和300的大小即可得出结论。
(2) 本题为工程问题，等量关系为：原计划工作时间=提高效率后的工作时间+5天。设原计划每天修建a m，原效率为a，提高25%后效率为(1+25%)a，结合工作总量900m，分别表示出两个时间，列分式方程求解，最后检验根是否符合题意即可。
【解析】
(1) AB不穿过古建筑保护群，理由如下：
如图，过点 $C$ 作 $CH ⊥ AB$ 于点 $H$，设 $CH=x\ \mathrm{m}$，
$\because ∠ EAC=45°,∠ FBC=60°,AE ⊥ AB,FB ⊥ AB$，
$\therefore ∠ CAH=45°,∠ CBA=30°$，
在 $\mathrm{Rt}△ ACH$ 中，$AH=CH=x\ \mathrm{m}$，
在 $\mathrm{Rt}△ HBC$ 中，$\tan ∠ HBC=\dfrac{CH}{HB}$，
$\therefore HB=\dfrac{CH}{\tan 30°}=\dfrac{x}{\dfrac{\sqrt{3}}{3}}=\sqrt{3}x\ \mathrm{m}$。
$\because AH+HB=AB$，$\therefore x+\sqrt{3}x=900$，
解得 $x=\dfrac{900}{1+\sqrt{3}}\approx329(\mathrm{m})$，$329＞300$，
$\therefore AB$ 不穿过古建筑保护群。
(2) 设原计划每天修建 $a\ \mathrm{m}$ 公路，
根据题意，得 $\dfrac{900}{a}=\dfrac{900}{(1+25\%)a}+5$，解得 $a=36$，
经检验，$a=36$ 是原方程的根，且符合题意。
答：原计划每天修建 $36\ \mathrm{m}$ 公路。
【答案】
【知识点】
1. 解直角三角形的应用
2. 分式方程的应用
【点评】
本题结合实际生活场景命题，既考查了方向角、三角函数在解直角三角形中的实际应用，也考查了工程类分式方程的求解，解题时需注意分式方程必须检验根的合理性，数值计算要准确。
【难度系数】
0.7
(1) 要判断AB是否穿过古建筑保护群，只需计算点C到AB的最短距离（即垂线段长度），再和300m比较即可。首先过C作CH⊥AB于H，设CH=x m：根据方向角可知∠CAH=45°，故Rt△ACH为等腰直角三角形，AH=CH=x；∠CBH=30°，在Rt△BCH中利用三角函数可将BH用x表示，再根据AH+BH=AB=900m列方程求解x，比较x和300的大小即可得出结论。
(2) 本题为工程问题，等量关系为：原计划工作时间=提高效率后的工作时间+5天。设原计划每天修建a m，原效率为a，提高25%后效率为(1+25%)a，结合工作总量900m，分别表示出两个时间，列分式方程求解，最后检验根是否符合题意即可。
【解析】
(1) AB不穿过古建筑保护群，理由如下：
如图，过点 $C$ 作 $CH ⊥ AB$ 于点 $H$，设 $CH=x\ \mathrm{m}$，
$\because ∠ EAC=45°,∠ FBC=60°,AE ⊥ AB,FB ⊥ AB$，
$\therefore ∠ CAH=45°,∠ CBA=30°$，
在 $\mathrm{Rt}△ ACH$ 中，$AH=CH=x\ \mathrm{m}$，
在 $\mathrm{Rt}△ HBC$ 中，$\tan ∠ HBC=\dfrac{CH}{HB}$，
$\therefore HB=\dfrac{CH}{\tan 30°}=\dfrac{x}{\dfrac{\sqrt{3}}{3}}=\sqrt{3}x\ \mathrm{m}$。
$\because AH+HB=AB$，$\therefore x+\sqrt{3}x=900$，
解得 $x=\dfrac{900}{1+\sqrt{3}}\approx329(\mathrm{m})$，$329＞300$，
$\therefore AB$ 不穿过古建筑保护群。
(2) 设原计划每天修建 $a\ \mathrm{m}$ 公路，
根据题意，得 $\dfrac{900}{a}=\dfrac{900}{(1+25\%)a}+5$，解得 $a=36$，
经检验，$a=36$ 是原方程的根，且符合题意。
答：原计划每天修建 $36\ \mathrm{m}$ 公路。
【答案】
【知识点】
1. 解直角三角形的应用
2. 分式方程的应用
【点评】
本题结合实际生活场景命题，既考查了方向角、三角函数在解直角三角形中的实际应用，也考查了工程类分式方程的求解，解题时需注意分式方程必须检验根的合理性，数值计算要准确。
【难度系数】
0.7
7. (2026衡阳月考)
探究车牌识别系统的识别角度
材料1
图①是某小区地下停车库坡道出入口的侧面示意图.地下停车库高$BC=4.2\ \mathrm{m}$，$BC⊥ AC$，$AC$长$14.4\ \mathrm{m}$
材料2
为了便于管理，物业在图①这个车库出入口处安装车牌识别设备，如图②中摄像头$D$点位于$B$点正上方，$DB=1.1\ \mathrm{m}$，$D$，$B$，$C$三点共线.摄像头在斜坡上的有效识别区域为$EB$，车辆进入识别区域无需停留，闸门3秒即会自动打开，车辆通过后，闸门才会自动关闭.（参考数据：$\sin53°\approx\frac{4}{5}$，$\cos53°\approx\frac{3}{5}$，$\tan53°\approx\frac{4}{3}$）
解决问题
(1)求坡面$AB$的坡度.
(2)如图②，当$∠ EDB=53°$时，求$BE$长
探究车牌识别系统的识别角度
材料1
图①是某小区地下停车库坡道出入口的侧面示意图.地下停车库高$BC=4.2\ \mathrm{m}$，$BC⊥ AC$，$AC$长$14.4\ \mathrm{m}$
材料2
为了便于管理，物业在图①这个车库出入口处安装车牌识别设备，如图②中摄像头$D$点位于$B$点正上方，$DB=1.1\ \mathrm{m}$，$D$，$B$，$C$三点共线.摄像头在斜坡上的有效识别区域为$EB$，车辆进入识别区域无需停留，闸门3秒即会自动打开，车辆通过后，闸门才会自动关闭.（参考数据：$\sin53°\approx\frac{4}{5}$，$\cos53°\approx\frac{3}{5}$，$\tan53°\approx\frac{4}{3}$）
解决问题
(1)求坡面$AB$的坡度.
(2)如图②，当$∠ EDB=53°$时，求$BE$长
答案
解:(1)$\because BC=4.2\ \mathrm{m},BC ⊥ AC,AC=14.4\ \mathrm{m}$,$\therefore \dfrac{BC}{AC}=\dfrac{4.2}{14.4}=\dfrac{7}{24}$.
故坡面 $AB$ 的坡度为 $\dfrac{7}{24}$.
(2)如图,作 $EM ⊥ CD$ 于点 $M$,
则 $∠ EMB=90°$,
$\therefore ∠ BEM+∠ EBM=90°$,
$\because BC ⊥ AC,\therefore ∠ C=90°$,
$\therefore ∠ BAC+∠ EBM=90°,\therefore ∠ BAC=∠ BEM$,
$\therefore \tan ∠ BAC=\tan ∠ BEM,\therefore \dfrac{BM}{EM}=\dfrac{BC}{AC}=\dfrac{7}{24}$,
设 $BM=7x$, 则 $EM=24x$, $\therefore BE=\sqrt{BM^2+EM^2}=\sqrt{(7x)^2+(24x)^2}=25x$,
$\because DB=1.1\ \mathrm{m},∠ EDB=53°,\therefore EM=DM· \tan ∠ EDB$,
即 $24x=(1.1+7x)× \dfrac{4}{3}$,解得 $x=0.1$,
则 $BE=25x=2.5\ \mathrm{m}$.
解析
【分析】
(1) 求坡面坡度需利用坡度的定义：坡度是坡面垂直高度与水平宽度的比值，本题中BC为垂直高度，AC为水平宽度，直接计算二者的比值即可得到AB的坡度。
(2) 求BE的长度，首先过E作EM⊥CD构造直角三角形，利用同角的余角相等可得∠BEM=∠BAC，结合第一问的坡度得到BM与EM的比值，设参数表示BM、EM、BE的长度；再根据∠EDB=53°的正切值列方程，解出参数后代入BE的表达式即可求出结果。
【解析】
(1) $\because BC⊥ AC$，$BC=4.2\ \mathrm{m}$，$AC=14.4\ \mathrm{m}$，
$\therefore$ 坡面$AB$的坡度$i=\dfrac{BC}{AC}=\dfrac{4.2}{14.4}=\dfrac{7}{24}$。
(2) 过点$E$作$EM⊥ CD$于点$M$，则$∠ EMB=90°$，
$\therefore ∠ BEM+∠ EBM=90°$，
$\because BC⊥ AC$，$\therefore ∠ C=90°$，
$\therefore ∠ BAC+∠ ABC=90°$，又$∠ ABC=∠ EBM$，
$\therefore ∠ BEM=∠ BAC$，
$\therefore \tan∠ BEM=\tan∠ BAC=\dfrac{BC}{AC}=\dfrac{7}{24}$，即$\dfrac{BM}{EM}=\dfrac{7}{24}$。
设$BM=7x$，则$EM=24x$，在$\mathrm{Rt}△ BEM$中，由勾股定理得：
$BE=\sqrt{(7x)^2+(24x)^2}=25x$。
$\because DB=1.1\ \mathrm{m}$，$\therefore DM=DB+BM=1.1+7x$，
在$\mathrm{Rt}△ DEM$中，$∠ EDM=53°$，$\tan53°\approx\dfrac{4}{3}$，
$\therefore \dfrac{EM}{DM}=\dfrac{4}{3}$，即$\dfrac{24x}{1.1+7x}=\dfrac{4}{3}$，
解得$x=0.1$，
$\therefore BE=25×0.1=2.5\ \mathrm{m}$。
【答案】
【知识点】
1. 坡度的定义
2. 解直角三角形
3. 勾股定理
【点评】
本题结合生活实际场景考查解直角三角形的应用，解题关键是正确理解坡度的概念，合理构造直角三角形，利用三角函数关系建立方程求解，体现了数学的实用性。
【难度系数】
0.6
(1) 求坡面坡度需利用坡度的定义：坡度是坡面垂直高度与水平宽度的比值，本题中BC为垂直高度，AC为水平宽度，直接计算二者的比值即可得到AB的坡度。
(2) 求BE的长度，首先过E作EM⊥CD构造直角三角形，利用同角的余角相等可得∠BEM=∠BAC，结合第一问的坡度得到BM与EM的比值，设参数表示BM、EM、BE的长度；再根据∠EDB=53°的正切值列方程，解出参数后代入BE的表达式即可求出结果。
【解析】
(1) $\because BC⊥ AC$，$BC=4.2\ \mathrm{m}$，$AC=14.4\ \mathrm{m}$，
$\therefore$ 坡面$AB$的坡度$i=\dfrac{BC}{AC}=\dfrac{4.2}{14.4}=\dfrac{7}{24}$。
(2) 过点$E$作$EM⊥ CD$于点$M$，则$∠ EMB=90°$，
$\therefore ∠ BEM+∠ EBM=90°$，
$\because BC⊥ AC$，$\therefore ∠ C=90°$，
$\therefore ∠ BAC+∠ ABC=90°$，又$∠ ABC=∠ EBM$，
$\therefore ∠ BEM=∠ BAC$，
$\therefore \tan∠ BEM=\tan∠ BAC=\dfrac{BC}{AC}=\dfrac{7}{24}$，即$\dfrac{BM}{EM}=\dfrac{7}{24}$。
设$BM=7x$，则$EM=24x$，在$\mathrm{Rt}△ BEM$中，由勾股定理得：
$BE=\sqrt{(7x)^2+(24x)^2}=25x$。
$\because DB=1.1\ \mathrm{m}$，$\therefore DM=DB+BM=1.1+7x$，
在$\mathrm{Rt}△ DEM$中，$∠ EDM=53°$，$\tan53°\approx\dfrac{4}{3}$，
$\therefore \dfrac{EM}{DM}=\dfrac{4}{3}$，即$\dfrac{24x}{1.1+7x}=\dfrac{4}{3}$，
解得$x=0.1$，
$\therefore BE=25×0.1=2.5\ \mathrm{m}$。
【答案】
【知识点】
1. 坡度的定义
2. 解直角三角形
3. 勾股定理
【点评】
本题结合生活实际场景考查解直角三角形的应用，解题关键是正确理解坡度的概念，合理构造直角三角形，利用三角函数关系建立方程求解，体现了数学的实用性。
【难度系数】
0.6
