1.如图，若四边形ABCD是$\odot O$的内接四边形，且$∠ A:∠ B:∠ C=3:4:6$，则$∠ D$的度数是（）

A.$100°$
B.$80°$
C.$60°$
D.$90°$

（第1题图）
（第2题图）

A

【分析】
首先回忆圆内接四边形的核心性质：对角互补，即对角之和为180°。题目给出了∠A、∠B、∠C的度数比，我们可以通过设每份角度为x的方式，将三个角用含x的代数式表示，先利用∠A与∠C互补的关系求出x的值，再求出∠B的度数，最后根据∠B与∠D互补计算出∠D的度数。
【解析】
∵ 四边形ABCD是$\odot O$的内接四边形
∴ 圆内接四边形对角互补，即$∠ A + ∠ C = 180°$，$∠ B + ∠ D = 180°$
已知$∠ A:∠ B:∠ C=3:4:6$，设$∠ A=3x$，$∠ B=4x$，$∠ C=6x$
代入$∠ A + ∠ C = 180°$得：
$3x + 6x = 180°$
$9x = 180°$
解得$x=20°$
∴ $∠ B=4x=4×20°=80°$
∴ $∠ D=180° - ∠ B=180° - 80°=100°$
【答案】
A
【知识点】
1. 圆内接四边形的性质
2. 比例角度计算
【点评】
本题是圆内接四边形性质的基础应用题，解题关键是熟练掌握圆内接四边形对角互补的性质，结合设参数的方法即可快速求出未知角的度数。
【难度系数】
0.8

2. 如图，四边形ABCD内接于$\odot O$，过点B作$BE// AD$，交CD于点E. 若$∠ BEC=50°$，则$∠ ABC$的度数是（）

A.$50°$
B.$100°$
C.$130°$
D.$150°$

C

【分析】
解题思路可分为两步：第一步利用平行线的性质求出∠D的度数，第二步利用圆内接四边形的性质求出∠ABC的度数。首先观察到BE//AD，根据平行线的同位角相等，可得到∠D与已知的∠BEC相等；再结合圆内接四边形对角互补的性质，即可计算出∠ABC的度数。
【解析】
解：
∵ BE//AD，
∴ ∠D = ∠BEC = 50°（两直线平行，同位角相等），
∵ 四边形ABCD内接于⊙O，
∴ ∠ABC + ∠D = 180°（圆内接四边形的对角互补），
∴ ∠ABC = 180° - 50° = 130°。
【答案】
C
【知识点】
平行线的性质；圆内接四边形的性质
【点评】
本题是基础几何题，综合考查了平行线和圆内接四边形的性质，解题的关键是通过平行线的性质搭建已知角和未知角之间的关联，再结合圆内接四边形的性质计算即可。
【难度系数】
0.8

3.如图,四边形ABCD是⊙O的内接四边形.若∠ABC=120°,则∠AOC的度数是.

（第3题图）
（第4题图）

120°

【分析】
解题时先从已知条件出发，已知四边形是圆的内接四边形且给出∠ABC的度数，第一步利用圆内接四边形对角互补的性质，求出∠ADC的度数；第二步观察到∠ADC是弧AC所对的圆周角，∠AOC是弧AC所对的圆心角，根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，即可计算出∠AOC的度数。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形
∴∠ADC + ∠ABC = 180°（圆内接四边形的对角互补）
∵∠ABC=120°
∴∠ADC=180°-120°=60°
又
∵∠ADC是弧AC所对的圆周角，∠AOC是弧AC所对的圆心角
∴∠AOC=2∠ADC=2×60°=120°（同弧所对的圆心角是圆周角的2倍）
【答案】
120°
【知识点】
圆内接四边形的性质；圆周角定理
【点评】
本题属于基础题，主要考查圆内接四边形性质与圆周角定理的结合应用，解题的关键是熟练掌握相关性质定理，理清角之间的对应关系。
【难度系数】
0.8

4.如图,四边形ABCD内接于$\odot O,∠A=110^{\circ }$,连接OB,OD,则$∠BOD$的度数是.

140°

【分析】
本题可结合圆内接四边形的性质和圆周角定理求解：第一步，先利用圆内接四边形对角互补的性质，由已知的∠A的度数求出其对角∠C的度数；第二步，根据同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，结合求出的∠C的度数，即可计算得到∠BOD的度数。
【解析】
∵四边形ABCD内接于$\odot O$，根据圆内接四边形对角互补的性质，
∴$∠ A + ∠ C = 180°$，
已知$∠ A=110°$，
∴$∠ C = 180° - 110° = 70°$，
又
∵$∠ BOD$是弧$BD$所对的圆心角，$∠ C$是弧$BD$所对的圆周角，根据圆周角定理：同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍，
∴$∠ BOD = 2∠ C = 2×70° = 140°$。
【答案】
$140°$
【知识点】
1.圆内接四边形的性质
2.圆周角定理
【点评】
本题是圆相关性质的基础应用考题，解题的核心是熟练掌握圆内接四边形对角互补以及同弧所对圆心角和圆周角的数量关系，理清角与角的对应关系即可快速求解。
【难度系数】
0.8

5.如图,四边形ABCD内接于⊙O,连接AC,BD.
(1)图中与∠1相等的角是,与∠2相等的角是,∠1+∠2+∠3+∠4=°.
(2)若∠1−∠2=∠3−∠4,求证AC⊥BD.

(1)$∠6$ $∠5$ $180$
(2)证明:$∵∠1−∠2=∠3−∠4$,
$∴∠1+∠4=∠2+∠3.$
又由(1)知$∠1+∠2+∠3+∠4=180°$,
$∴∠1+∠4=∠2+∠3=90°.$
$∵∠1=∠6$,
$∴∠6+∠4=90°.$
$∴AC⊥BD.$

【分析】
(1) 求解相等的角时，回忆圆周角定理：同弧所对的圆周角相等，分别找到∠1、∠2所对的弧，即可找到与之相等的角；求四个角的和时，观察发现∠1+∠2为∠BAD，∠3+∠4为∠BCD，结合圆内接四边形对角互补的性质即可求出和。
(2) 先对已知的角度等式移项变形，结合(1)中四个角和为180°的结论，可推出∠1+∠4=90°，再利用∠1=∠6做等量代换，可得AC、BD相交形成的夹角为90°，即可证明垂直。
【解析】
(1)
∵∠1和∠6都是弧BC所对的圆周角，根据同弧所对的圆周角相等，可得∠1=∠6；
∵∠2和∠5都是弧CD所对的圆周角，同理可得∠2=∠5；
∵四边形ABCD内接于⊙O，根据圆内接四边形对角互补，得∠BAD+∠BCD=180°，
又
∵∠BAD=∠1+∠2，∠BCD=∠3+∠4，
∴∠1+∠2+∠3+∠4=180°。
(2) 证明：
∵∠1−∠2=∠3−∠4，
移项得∠1+∠4=∠2+∠3，
又由(1)知∠1+∠2+∠3+∠4=180°，
代入得2(∠1+∠4)=180°，
∴∠1+∠4=∠2+∠3=90°，
∵∠1=∠6，
等量代换得∠6+∠4=90°，即AC、BD相交所成的夹角为90°，
∴AC⊥BD。
【答案】
(1) $\boldsymbol{∠6}$；$\boldsymbol{∠5}$；$\boldsymbol{180}$
(2) 证明见解析过程。
【知识点】
圆周角定理；圆内接四边形的性质；垂直的判定
【点评】
本题是圆的基础应用题，侧重考查对圆周角定理、圆内接四边形性质的理解和运用，解题的关键是准确找到同弧所对的圆周角，能结合等式变形完成角度代换，推导垂直关系。
【难度系数】
0.7

6.如图,四边形ABCD内接于$\odot O$,E为直径CD延长线上一点.若$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}$,$∠ ADE=110°$,则$∠ DAB=$.

(第6题图)
(第7题图)

125°

【分析】
解题时先从已知条件入手：1. 由∠ADE是平角的一部分，先求出邻补角∠ADC的度数，再结合圆内接四边形外角等于内对角的性质，得到∠ABC的度数；2. 根据等弧对应的弦相等，判断△ABC是等腰三角形，进而求出∠BAC的度数；3. 利用同弧所对的圆周角相等，得到∠BDC=∠BAC；4. 结合直径所对的圆周角是直角，在Rt△BCD中求出∠BCD的度数；5. 最后利用圆内接四边形对角互补的性质，即可求出∠DAB的度数。
【解析】
解：
∵ ∠ADE=110°，
∴ ∠ADC=180°-∠ADE=70°，
∵ 四边形ABCD内接于⊙O，
∴ ∠ABC=∠ADE=110°（圆内接四边形的外角等于内对角），
∵ $\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}$，
∴ AB=BC，即△ABC为等腰三角形，
∴ $∠ BAC=∠ ACB=\frac{180°-∠ ABC}{2}=\frac{180°-110°}{2}=35°$，
∵ ∠BDC和∠BAC都是$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角，
∴ ∠BDC=∠BAC=35°，
∵ CD是⊙O的直径，
∴ ∠CBD=90°（直径所对的圆周角为直角），
在Rt△BCD中，∠BCD=90°-∠BDC=90°-35°=55°，
又
∵ 圆内接四边形对角互补，
∴ ∠DAB+∠BCD=180°，
∴ ∠DAB=180°-55°=125°。
【答案】
125°
【知识点】
圆内接四边形的性质；圆周角定理；等腰三角形的性质
【点评】
本题是圆相关角度计算的常考题型，解题的核心是熟练运用圆内接四边形的性质、圆周角定理等知识点，结合等腰三角形的性质逐步推导角度，需要学生具备一定的逻辑推导能力。
【难度系数】
0.65

7.如图,点A,B,C,D,E在$\odot O$上.若$∠ ABD+∠ AEC=154°$,则$\overset{\frown}{CD}$所对的圆周角的度数为.

26°

【分析】
解题时首先回忆圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半。第一步，把已知的两个圆周角∠ABD、∠AEC分别转化为它们所对弧的度数的一半；第二步，根据两个角的和为154°，算出两段对应弧的度数之和；第三步，结合整个圆周的弧度数为360°，求出弧CD的度数；第四步，弧CD所对的圆周角等于弧CD度数的一半，代入计算即可得到结果。
【解析】
根据圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半。
1. ∠ABD是$\overset{\frown}{AD}$所对的圆周角，因此$∠ ABD = \frac{1}{2}m\overset{\frown}{AD}$；
2. ∠AEC是$\overset{\frown}{AC}$所对的圆周角，因此$∠ AEC = \frac{1}{2}m\overset{\frown}{AC}$；
3. 已知$∠ ABD + ∠ AEC = 154°$，代入得：
$\frac{1}{2}m\overset{\frown}{AD} + \frac{1}{2}m\overset{\frown}{AC} = 154°$，整理得$m\overset{\frown}{AD} + m\overset{\frown}{AC} = 308°$；
4. 整个圆周的弧度数为$360°$，因此$\overset{\frown}{CD}$的度数为：
$m\overset{\frown}{CD} = 360° - (m\overset{\frown}{AD} + m\overset{\frown}{AC}) = 360° - 308° = 52°$；
5. $\overset{\frown}{CD}$所对的圆周角的度数为弧CD度数的一半，即$\frac{1}{2} × 52° = 26°$。
【答案】
$26°$
【知识点】
圆周角定理
【点评】
本题是圆的基础应用题，解题核心是熟练掌握圆周角和其所对弧的度数的关系，将角的和的条件转化为弧的度数和，再计算所求圆周角，解题思路清晰，属于常考基础题型。
【难度系数】
0.7

8.如图,在圆内接四边形ABCD中,AD＜AC,连接BD,延长AD至点E,使AE=AC,延长BA至点F,连接EF,使∠AFE=∠ADC.求证:
(1)$EF// BC$.
(2)$EF=BD$.

(1)$∵$四边形$ABCD$是圆内接四边形，
$∴∠ADC+∠ABC=180°.$
$∵∠AFE=∠ADC,$
$∴∠AFE+∠ABC=180°.$
$∴EF// BC.$
(2)如图,过点$D$作$DG// BC$,交$\odot O$于点$G$,连接$AG,CG.$
$∵DG// BC,$
$∴∠BCD=∠CDG.$
$∴\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{CG}.$
$∴BD=CG.$
易知四边形$ACGD$是圆内接四边形，
$∴∠GDE=180°−∠ADG=∠ACG.$
$∵DG// BC,$由(1)知$EF// BC$,
$∴EF// DG.$
$∴∠DEF=∠GDE.$
$∴∠DEF=∠ACG.$
结合题图知,$∠ADC=∠AGC.$
$∵∠AFE=∠ADC,$
$∴∠AFE=∠AGC.$
又$AE=AC$,
$∴△ AEF≌ △ ACG(\mathrm{AAS}).$
$∴EF=CG.$
又$BD=CG$,
$∴EF=BD.$

【分析】
(1) 要证明$EF// BC$，可通过证明两直线被第三条直线所截形成的同旁内角互补推导。首先利用圆内接四边形对角互补的性质，得到$∠ ADC$与$∠ ABC$互补，再结合已知$∠ AFE=∠ ADC$，替换角后即可得到$∠ AFE$与$∠ ABC$互补，进而证明平行。
(2) 要证明$EF=BD$，直接证明二者所在三角形全等缺少充足条件，因此采用转化线段的思路：作辅助线$DG// BC$交圆于点$G$，利用平行弦所夹的弧相等，可得$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{CG}$，即$BD=CG$，再证明$△ AEF$和$△ ACG$全等，得到$EF=CG$，最后通过等量代换即可得证。
【解析】
(1) $\because$四边形$ABCD$是圆内接四边形，
$\therefore ∠ ADC+∠ ABC=180°$.
$\because ∠ AFE=∠ ADC$，
$\therefore ∠ AFE+∠ ABC=180°$.
$\therefore EF// BC$.
(2) 如图，过点$D$作$DG// BC$，交$\odot O$于点$G$，连接$AG,CG$.
$\because DG// BC$，
$\therefore ∠ BCD=∠ CDG$，
$\therefore \overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{CG}$，
$\therefore BD=CG$.
$\because$四边形$ACGD$是圆内接四边形，
$\therefore ∠ GDE=180°-∠ ADG=∠ ACG$.
$\because DG// BC$，由(1)知$EF// BC$，
$\therefore EF// DG$，
$\therefore ∠ DEF=∠ GDE$，
$\therefore ∠ DEF=∠ ACG$.
$\because$同弧所对的圆周角相等，$\therefore ∠ ADC=∠ AGC$.
$\because ∠ AFE=∠ ADC$，
$\therefore ∠ AFE=∠ AGC$.
又$\because AE=AC$，
$\therefore △ AEF≌△ ACG(\mathrm{AAS})$.
$\therefore EF=CG$.
又$\because BD=CG$，
$\therefore EF=BD$.
【答案】
(1) 证明见解析；
(2) 证明见解析，辅助线如图所示：
【知识点】
圆内接四边形的性质；平行线的判定与性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题综合考查了圆的性质、平行线的判定和全等三角形的应用，通过作辅助线构造相等线段和全等三角形是解题的突破口，解题时要灵活运用转化思想，将待证相等的线段转化为中间量证明。
【难度系数】
0.5