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1. 下列式子从左到右的变形是因式分解的是（
A.$x^2 -5x +6 =x(x-5)+6$
B.$x^2 -5x +5 =x^2 -5(x-1)$
C.$x(x-1)=x^2 -x$
D.$x^2 -4=(x+2)(x-2)$
D
）A.$x^2 -5x +6 =x(x-5)+6$
B.$x^2 -5x +5 =x^2 -5(x-1)$
C.$x(x-1)=x^2 -x$
D.$x^2 -4=(x+2)(x-2)$
答案
1.D
解析
【分析】
要判断式子的变形是否为因式分解，首先需明确因式分解的核心判定标准：一是变形的对象是多项式；二是变形的最终结果是几个整式的乘积的形式，且变形前后等式成立。解题时我们就用这两个标准逐一验证每个选项，排除不符合要求的选项即可得到正确答案。
【解析】
首先明确因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的乘积的形式，这种变形叫做因式分解。
对各选项逐一分析：
A选项：等号右边为$x(x-5)+6$，是整式乘积与常数的和，不是几个整式的乘积形式，不符合因式分解的定义，错误；
B选项：等号右边为$x^2 -5(x-1)$，不是几个整式的乘积形式，不符合因式分解的定义，错误；
C选项：等号左边是两个整式的乘积，右边是多项式，属于整式的乘法运算，是因式分解的逆过程，不属于因式分解，错误；
D选项：等号左边是多项式$x^2-4$，右边是两个整式$(x+2)$和$(x-2)$的乘积，符合因式分解的定义，正确。
【答案】
D
【知识点】
1. 因式分解的定义
2. 整式乘法与因式分解的区别
【点评】
本题属于因式分解的基础概念考查题，解题的关键是准确把握因式分解定义中“结果为几个整式乘积”的核心特征，同时注意区分因式分解和整式乘法的互逆关系，掌握概念即可快速解题。
【难度系数】
0.8
要判断式子的变形是否为因式分解，首先需明确因式分解的核心判定标准：一是变形的对象是多项式；二是变形的最终结果是几个整式的乘积的形式，且变形前后等式成立。解题时我们就用这两个标准逐一验证每个选项，排除不符合要求的选项即可得到正确答案。
【解析】
首先明确因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的乘积的形式，这种变形叫做因式分解。
对各选项逐一分析：
A选项：等号右边为$x(x-5)+6$，是整式乘积与常数的和，不是几个整式的乘积形式，不符合因式分解的定义，错误；
B选项：等号右边为$x^2 -5(x-1)$，不是几个整式的乘积形式，不符合因式分解的定义，错误；
C选项：等号左边是两个整式的乘积，右边是多项式，属于整式的乘法运算，是因式分解的逆过程，不属于因式分解，错误；
D选项：等号左边是多项式$x^2-4$，右边是两个整式$(x+2)$和$(x-2)$的乘积，符合因式分解的定义，正确。
【答案】
D
【知识点】
1. 因式分解的定义
2. 整式乘法与因式分解的区别
【点评】
本题属于因式分解的基础概念考查题，解题的关键是准确把握因式分解定义中“结果为几个整式乘积”的核心特征，同时注意区分因式分解和整式乘法的互逆关系，掌握概念即可快速解题。
【难度系数】
0.8
2.若$x^2 + x + m = (x - 3)(x + n)$对$x$恒成立，则$n=$
4
.答案
2.4 【解析】由题意,得$(x-3)(x+n)=x^2+(n-3)x-3n=x^2+x+m$,所以$n-3=1,n=4$.
解析
【分析】
要解决这道题，首先明确等式对x恒成立的含义是左右两边的多项式完全相等，即对应同类项的系数相等。解题时首先将等式右侧的多项式乘积展开并合并同类项，再将其与左侧的多项式对比，根据一次项系数相等列关于n的一元一次方程，求解即可得到n的值。
【解析】
先将等式右侧展开并合并同类项：
$(x-3)(x+n)=x^2 + nx - 3x - 3n = x^2 + (n-3)x - 3n$
由于等式对任意x恒成立，因此左右两边多项式的同类项系数相等，左边多项式的一次项系数为1，可得：
$n - 3 = 1$
解得$n=4$
【答案】
4
【知识点】
整式乘法，多项式恒等性质，一元一次方程求解
【点评】
本题考查整式乘法运算与多项式恒等的核心性质，解题关键是掌握“两个多项式恒等时对应同类项系数相等”的规律，属于基础题型，熟练掌握整式乘法运算法则即可快速解答。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先明确等式对x恒成立的含义是左右两边的多项式完全相等，即对应同类项的系数相等。解题时首先将等式右侧的多项式乘积展开并合并同类项，再将其与左侧的多项式对比，根据一次项系数相等列关于n的一元一次方程，求解即可得到n的值。
【解析】
先将等式右侧展开并合并同类项：
$(x-3)(x+n)=x^2 + nx - 3x - 3n = x^2 + (n-3)x - 3n$
由于等式对任意x恒成立，因此左右两边多项式的同类项系数相等，左边多项式的一次项系数为1，可得：
$n - 3 = 1$
解得$n=4$
【答案】
4
【知识点】
整式乘法，多项式恒等性质，一元一次方程求解
【点评】
本题考查整式乘法运算与多项式恒等的核心性质，解题关键是掌握“两个多项式恒等时对应同类项系数相等”的规律，属于基础题型，熟练掌握整式乘法运算法则即可快速解答。
【难度系数】
0.8
【典型例题2】分解因式：
(1)$am^2 - an^3$；(2)$2x^2 -3xy +5x^3$。
【解】(1)$am^2 - an^3 = a·m^2 -a·n^3 = a(m^2 -n^3)$。
(2)$2x^2 -3xy +5x^3 = x·2x -x·3y +x·5x^2 = x(2x -3y +5x^2)$。
规律方法 运用提公因式法分解因式时，先确定多项式中各项的公因式，再提取公因式即得结果。
(1)$am^2 - an^3$；(2)$2x^2 -3xy +5x^3$。
【解】(1)$am^2 - an^3 = a·m^2 -a·n^3 = a(m^2 -n^3)$。
(2)$2x^2 -3xy +5x^3 = x·2x -x·3y +x·5x^2 = x(2x -3y +5x^2)$。
规律方法 运用提公因式法分解因式时，先确定多项式中各项的公因式，再提取公因式即得结果。
答案
解：
(1) 多项式$am^2 - an^3$各项的公因式是$a$，
$am^2 - an^3 = a· m^2 - a· n^3 = a(m^2 - n^3)$。
(2) 多项式$2x^2 - 3xy + 5x^3$各项的公因式是$x$，
$2x^2 - 3xy + 5x^3 = x· 2x - x· 3y + x· 5x^2 = x(2x - 3y + 5x^2)$。
(1) 多项式$am^2 - an^3$各项的公因式是$a$，
$am^2 - an^3 = a· m^2 - a· n^3 = a(m^2 - n^3)$。
(2) 多项式$2x^2 - 3xy + 5x^3$各项的公因式是$x$，
$2x^2 - 3xy + 5x^3 = x· 2x - x· 3y + x· 5x^2 = x(2x - 3y + 5x^2)$。
解析
【分析】
这两道题均考查提公因式法分解因式，解题分两步进行即可：第一步先确定公因式：先找各项系数的最大公约数，再找各项都含有的相同字母，取相同字母的最低次幂，二者的乘积就是公因式；第二步提取公因式，用原多项式的每一项分别除以公因式，得到的式子作为另一个因式，注意提取后不要漏项，各项符号要和原式保持一致。第(1)题两项均含字母a，系数最大公约数为1，因此公因式为a，提取后即可得结果；第(2)题三项均含字母x，x的最低次幂为1次，系数最大公约数为1，因此公因式为x，提取后整理即可得结果。
【解析】
(1) 先确定多项式$am^2 - an^3$各项的公因式是$a$，提取公因式：
$am^2 - an^3 = a·m^2 - a·n^3 = a(m^2 - n^3)$
(2) 先确定多项式$2x^2 - 3xy + 5x^3$各项的公因式是$x$，提取公因式：
$2x^2 - 3xy + 5x^3 = x·2x - x·3y + x·5x^2 = x(2x - 3y + 5x^2)$
【答案】
(1) $a(m^2 - n^3)$
(2) $x(2x - 3y + 5x^2)$
【知识点】
1. 提公因式法因式分解
2. 公因式的确定
【点评】
本题是因式分解的基础题型，重点考查提公因式法的基本应用，解题关键是准确找到多项式的公因式，提取公因式时要注意避免漏项、符号错误等常见问题，熟练掌握该方法是学习后续复杂因式分解的基础。
【难度系数】
0.9
这两道题均考查提公因式法分解因式，解题分两步进行即可：第一步先确定公因式：先找各项系数的最大公约数，再找各项都含有的相同字母，取相同字母的最低次幂，二者的乘积就是公因式；第二步提取公因式，用原多项式的每一项分别除以公因式，得到的式子作为另一个因式，注意提取后不要漏项，各项符号要和原式保持一致。第(1)题两项均含字母a，系数最大公约数为1，因此公因式为a，提取后即可得结果；第(2)题三项均含字母x，x的最低次幂为1次，系数最大公约数为1，因此公因式为x，提取后整理即可得结果。
【解析】
(1) 先确定多项式$am^2 - an^3$各项的公因式是$a$，提取公因式：
$am^2 - an^3 = a·m^2 - a·n^3 = a(m^2 - n^3)$
(2) 先确定多项式$2x^2 - 3xy + 5x^3$各项的公因式是$x$，提取公因式：
$2x^2 - 3xy + 5x^3 = x·2x - x·3y + x·5x^2 = x(2x - 3y + 5x^2)$
【答案】
(1) $a(m^2 - n^3)$
(2) $x(2x - 3y + 5x^2)$
【知识点】
1. 提公因式法因式分解
2. 公因式的确定
【点评】
本题是因式分解的基础题型，重点考查提公因式法的基本应用，解题关键是准确找到多项式的公因式，提取公因式时要注意避免漏项、符号错误等常见问题，熟练掌握该方法是学习后续复杂因式分解的基础。
【难度系数】
0.9
3. 下列多项式中，各项的公因式为$a$的是（
A.$2ax+7ay+5$
B.$-13m-6ma^2$
C.$3b^2+10ab$
D.$a^2-2a+ma$
D
）A.$2ax+7ay+5$
B.$-13m-6ma^2$
C.$3b^2+10ab$
D.$a^2-2a+ma$
答案
3.D 【解析】$a^2-2a+ma=a·a-2·a+m·a=a(a-2+m)$,所以$a^2-2a+ma$中各项的公因式为$a$.
解析
【分析】
要判断哪个多项式的各项公因式为a，需遵循公因式的判定思路：公因式是多项式所有项都共同含有的因式，判定时先确认每一项是否都含有字母a，再看a的最低次幂是否为1次，我们通过逐个排查选项即可得出答案。
【解析】
对四个选项逐一分析：
A. 多项式$2ax+7ay+5$的项为$2ax$、$7ay$、$5$，其中常数项$5$不含字母$a$，因此各项公因式不可能为$a$，不符合要求；
B. 多项式$-13m-6ma^2$的项为$-13m$、$-6ma^2$，其中第一项$-13m$不含字母$a$，因此各项公因式不可能为$a$，不符合要求；
C. 多项式$3b^2+10ab$的项为$3b^2$、$10ab$，其中第一项$3b^2$不含字母$a$，因此各项公因式不可能为$a$，不符合要求；
D. 多项式$a^2-2a+ma$的项为$a^2$、$-2a$、$ma$，每一项都含有字母$a$，且$a$的最低次数为1，因式分解可得$a^2-2a+ma=a·a-2·a+m·a=a(a-2+m)$，因此各项公因式为$a$，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
公因式的确定、提公因式法因式分解
【点评】
本题属于公因式判断的基础题型，解题关键是熟练掌握公因式的判定规则，需注意只要多项式中有一项不含某个字母，该字母就不能作为公因式的组成部分。
【难度系数】
0.9
要判断哪个多项式的各项公因式为a，需遵循公因式的判定思路：公因式是多项式所有项都共同含有的因式，判定时先确认每一项是否都含有字母a，再看a的最低次幂是否为1次，我们通过逐个排查选项即可得出答案。
【解析】
对四个选项逐一分析：
A. 多项式$2ax+7ay+5$的项为$2ax$、$7ay$、$5$，其中常数项$5$不含字母$a$，因此各项公因式不可能为$a$，不符合要求；
B. 多项式$-13m-6ma^2$的项为$-13m$、$-6ma^2$，其中第一项$-13m$不含字母$a$，因此各项公因式不可能为$a$，不符合要求；
C. 多项式$3b^2+10ab$的项为$3b^2$、$10ab$，其中第一项$3b^2$不含字母$a$，因此各项公因式不可能为$a$，不符合要求；
D. 多项式$a^2-2a+ma$的项为$a^2$、$-2a$、$ma$，每一项都含有字母$a$，且$a$的最低次数为1，因式分解可得$a^2-2a+ma=a·a-2·a+m·a=a(a-2+m)$，因此各项公因式为$a$，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
公因式的确定、提公因式法因式分解
【点评】
本题属于公因式判断的基础题型，解题关键是熟练掌握公因式的判定规则，需注意只要多项式中有一项不含某个字母，该字母就不能作为公因式的组成部分。
【难度系数】
0.9
4. 分解因式：
(1)(2024·陕西中考)$a^2 - ab =$
(2)(2024·江苏南通中考)$ax - ay =$
(1)(2024·陕西中考)$a^2 - ab =$
$a(a-b)$
；(2)(2024·江苏南通中考)$ax - ay =$
$a(x-y)$
。答案
4. (1)$a(a-b)$ (2)$a(x-y)$
解析
【分析】
这两道题均考查用提公因式法进行因式分解，解题思路如下：1. 找公因式：先确定各项系数的最大公约数，再找各项都含有的相同字母的最低次幂，两者的乘积就是公因式；2. 提取公因式：将公因式写在括号外，用原多项式的每一项除以公因式，得到的结果作为括号内的因式，注意剩余项的符号要和原式保持一致。
对于(1)，多项式$a^2 - ab$的两项系数最大公约数是1，都含有字母a且最低次为1次，所以公因式为a；对于(2)，多项式$ax - ay$的两项系数最大公约数是1，都含有字母a且最低次为1次，公因式为a，分别提取公因式即可得到结果。
【解析】
(1) 对$a^2 - ab$提取公因式a：
$a^2 - ab = a · a - a · b = a(a - b)$
(2) 对$ax - ay$提取公因式a：
$ax - ay = a · x - a · y = a(x - y)$
【答案】
(1)$a(a-b)$；(2)$a(x-y)$
【知识点】
提公因式法因式分解
【点评】
本题属于因式分解的基础题型，重点考查提公因式法的应用，解题的核心是准确找出多项式各项的公因式，提取公因式时要注意不要漏项、不要弄错剩余项的符号。
【难度系数】
0.9
这两道题均考查用提公因式法进行因式分解，解题思路如下：1. 找公因式：先确定各项系数的最大公约数，再找各项都含有的相同字母的最低次幂，两者的乘积就是公因式；2. 提取公因式：将公因式写在括号外，用原多项式的每一项除以公因式，得到的结果作为括号内的因式，注意剩余项的符号要和原式保持一致。
对于(1)，多项式$a^2 - ab$的两项系数最大公约数是1，都含有字母a且最低次为1次，所以公因式为a；对于(2)，多项式$ax - ay$的两项系数最大公约数是1，都含有字母a且最低次为1次，公因式为a，分别提取公因式即可得到结果。
【解析】
(1) 对$a^2 - ab$提取公因式a：
$a^2 - ab = a · a - a · b = a(a - b)$
(2) 对$ax - ay$提取公因式a：
$ax - ay = a · x - a · y = a(x - y)$
【答案】
(1)$a(a-b)$；(2)$a(x-y)$
【知识点】
提公因式法因式分解
【点评】
本题属于因式分解的基础题型，重点考查提公因式法的应用，解题的核心是准确找出多项式各项的公因式，提取公因式时要注意不要漏项、不要弄错剩余项的符号。
【难度系数】
0.9
1. 对于①$x - 3xy = x(1 - 3y)$，②$(x + 3)(x - 1) = x^2 + 2x - 3$，从左到右的变形，表述正确的是（
A.都是因式分解
B.都是整式乘法
C.①是整式乘法，②是因式分解
D.①是因式分解，②是整式乘法
D
）A.都是因式分解
B.都是整式乘法
C.①是整式乘法，②是因式分解
D.①是因式分解，②是整式乘法
答案
1.D
解析
【分析】
解题时首先要明确因式分解与整式乘法的核心定义与区别：因式分解是将多项式转化为几个整式乘积的形式（简记为“和化积”），整式乘法是将几个整式乘积的形式展开为多项式（简记为“积化和”），二者为互逆变形。接下来分别对两个式子的变形方向进行判断，再匹配对应选项即可。
【解析】
首先明确两个概念：
1. 因式分解：把一个多项式化为几个整式的乘积的变形，属于因式分解；
2. 整式乘法：把几个整式相乘的形式运算得到一个多项式的变形，属于整式乘法。
对式子①判断：左边$x-3xy$是多项式，右边$x(1-3y)$是两个整式的乘积，符合“和化积”的特征，因此①是因式分解；
对式子②判断：左边$(x+3)(x-1)$是两个整式的乘积，右边$x^2+2x-3$是多项式，符合“积化和”的特征，因此②是整式乘法。
综上，①是因式分解，②是整式乘法，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
因式分解的定义；整式乘法的定义
【点评】
本题考查因式分解和整式乘法的概念区分，二者为互逆运算，解题关键是抓住变形前后是“和变积”还是“积变和”的特征即可快速判断，是概念类基础题。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确因式分解与整式乘法的核心定义与区别：因式分解是将多项式转化为几个整式乘积的形式（简记为“和化积”），整式乘法是将几个整式乘积的形式展开为多项式（简记为“积化和”），二者为互逆变形。接下来分别对两个式子的变形方向进行判断，再匹配对应选项即可。
【解析】
首先明确两个概念：
1. 因式分解：把一个多项式化为几个整式的乘积的变形，属于因式分解；
2. 整式乘法：把几个整式相乘的形式运算得到一个多项式的变形，属于整式乘法。
对式子①判断：左边$x-3xy$是多项式，右边$x(1-3y)$是两个整式的乘积，符合“和化积”的特征，因此①是因式分解；
对式子②判断：左边$(x+3)(x-1)$是两个整式的乘积，右边$x^2+2x-3$是多项式，符合“积化和”的特征，因此②是整式乘法。
综上，①是因式分解，②是整式乘法，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
因式分解的定义；整式乘法的定义
【点评】
本题考查因式分解和整式乘法的概念区分，二者为互逆运算，解题关键是抓住变形前后是“和变积”还是“积变和”的特征即可快速判断，是概念类基础题。
【难度系数】
0.8
2. 下列等式从左到右的变形是因式分解的是（
A.$6a^2b^2=3ab· 2ab$
B.$a - ay = a(1 - y)$
C.$2x^2 + 8x -1 = 2x(x +4) -1$
D.$(x+2)(x-2)=x^2 -4$
B
）A.$6a^2b^2=3ab· 2ab$
B.$a - ay = a(1 - y)$
C.$2x^2 + 8x -1 = 2x(x +4) -1$
D.$(x+2)(x-2)=x^2 -4$
答案
2.B
解析
【分析】
要判断一个变形是不是因式分解，首先要牢记因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，满足两个核心要求：①变形的对象是多项式；②变形的最终结果是几个整式的乘积。解题时我们就对照这两个要求，逐个排查选项即可：首先排除对象不是多项式的选项，再排除结果不是整式乘积的选项，同时注意区分因式分解和整式乘法的互逆关系，就能快速选出正确答案。
【解析】
解：根据因式分解的定义逐一判断：
A. 等式左边$6a^2b^2$是单项式，不是多项式，不符合因式分解的对象要求，故A错误；
B. 等式左边$a-ay$是多项式，右边$a(1-y)$是两个整式$a$和$(1-y)$的乘积，符合因式分解的定义，故B正确；
C. 等式右边$2x(x+4)-1$是差的形式，不是几个整式的积，不符合要求，故C错误；
D. 该变形是把两个整式的乘积化为多项式，属于整式乘法，是因式分解的逆运算，不属于因式分解，故D错误。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
因式分解的定义；整式乘法与因式分解的区别
【点评】
本题是因式分解的基础概念题，解题的核心是紧扣因式分解的定义，尤其要注意区分因式分解和整式乘法的互逆关系，避免把整式乘法错当成因式分解。
【难度系数】
0.8
要判断一个变形是不是因式分解，首先要牢记因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，满足两个核心要求：①变形的对象是多项式；②变形的最终结果是几个整式的乘积。解题时我们就对照这两个要求，逐个排查选项即可：首先排除对象不是多项式的选项，再排除结果不是整式乘积的选项，同时注意区分因式分解和整式乘法的互逆关系，就能快速选出正确答案。
【解析】
解：根据因式分解的定义逐一判断：
A. 等式左边$6a^2b^2$是单项式，不是多项式，不符合因式分解的对象要求，故A错误；
B. 等式左边$a-ay$是多项式，右边$a(1-y)$是两个整式$a$和$(1-y)$的乘积，符合因式分解的定义，故B正确；
C. 等式右边$2x(x+4)-1$是差的形式，不是几个整式的积，不符合要求，故C错误；
D. 该变形是把两个整式的乘积化为多项式，属于整式乘法，是因式分解的逆运算，不属于因式分解，故D错误。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
因式分解的定义；整式乘法与因式分解的区别
【点评】
本题是因式分解的基础概念题，解题的核心是紧扣因式分解的定义，尤其要注意区分因式分解和整式乘法的互逆关系，避免把整式乘法错当成因式分解。
【难度系数】
0.8
3. 下列各式中,没有公因式的是 （
A.$ab - bc$
B.$y^2 - y$
C.$x^2 + 2x + 1$
D.$mn^2 - nm + m^2$
C
）A.$ab - bc$
B.$y^2 - y$
C.$x^2 + 2x + 1$
D.$mn^2 - nm + m^2$
答案
3.C
解析
【分析】
本题考查公因式的判断，解题核心是明确公因式的定义：多项式各项都含有的相同因式（除±1外）叫做公因式。解题思路为逐个分析每个选项中多项式的各项，先找各项系数的最大公约数，再找各项都含有的相同字母及最低次幂，若不存在上述公共因式则符合题意。
【解析】
首先明确公因式的确定规则：①找各项系数的最大公约数；②找各项都含有的相同字母，相同字母取次数最低的；③二者的乘积即为公因式，若均不存在则无公因式（1不作为有效公因式考虑）。
逐一分析选项：
A. 多项式$ab-bc$的两项系数最大公约数为1，都含相同字母$b$，因此公因式为$b$，不符合题意；
B. 多项式$y^2-y$的两项系数最大公约数为1，都含相同字母$y$，因此公因式为$y$，不符合题意；
C. 多项式$x^2+2x+1$的三项系数最大公约数为1，第三项为常数项$1$，不含字母$x$，没有公共的字母因式，因此没有公因式，符合题意；
D. 多项式$mn^2-nm+m^2$的三项系数最大公约数为1，都含相同字母$m$，因此公因式为$m$，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
1. 公因式的定义
2. 公因式的确定
【点评】
本题是基础题，重点考查公因式的识别能力，掌握公因式的确定步骤即可快速解题，需注意若多项式包含不含字母的常数项，且各项系数的最大公约数为1时，该多项式不存在除1外的公因式。
【难度系数】
0.9
本题考查公因式的判断，解题核心是明确公因式的定义：多项式各项都含有的相同因式（除±1外）叫做公因式。解题思路为逐个分析每个选项中多项式的各项，先找各项系数的最大公约数，再找各项都含有的相同字母及最低次幂，若不存在上述公共因式则符合题意。
【解析】
首先明确公因式的确定规则：①找各项系数的最大公约数；②找各项都含有的相同字母，相同字母取次数最低的；③二者的乘积即为公因式，若均不存在则无公因式（1不作为有效公因式考虑）。
逐一分析选项：
A. 多项式$ab-bc$的两项系数最大公约数为1，都含相同字母$b$，因此公因式为$b$，不符合题意；
B. 多项式$y^2-y$的两项系数最大公约数为1，都含相同字母$y$，因此公因式为$y$，不符合题意；
C. 多项式$x^2+2x+1$的三项系数最大公约数为1，第三项为常数项$1$，不含字母$x$，没有公共的字母因式，因此没有公因式，符合题意；
D. 多项式$mn^2-nm+m^2$的三项系数最大公约数为1，都含相同字母$m$，因此公因式为$m$，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
1. 公因式的定义
2. 公因式的确定
【点评】
本题是基础题，重点考查公因式的识别能力，掌握公因式的确定步骤即可快速解题，需注意若多项式包含不含字母的常数项，且各项系数的最大公约数为1时，该多项式不存在除1外的公因式。
【难度系数】
0.9
4. (2024·福建中考)分解因式：$x^2 + x =$
$x(x+1)$
.答案
4.$x(x+1)$
解析
【分析】
本题考查用提公因式法分解因式，解题思路如下：第一步先观察多项式的结构，该多项式共有两项，判断是否存在公因式；第二步确定公因式：先看系数，两项系数都是1，最大公约数为1，再看相同字母，两项都含有字母x，x的最低次幂是1次，因此公因式为x；第三步提取公因式，将多项式写成公因式与剩余因式乘积的形式，注意提取公因式后剩余的项不要漏写常数项1。
【解析】
首先确定多项式$x^2 + x$的公因式为$x$，对两项分别拆分提取公因式：
$x^2 + x = x· x + x·1 = x(x+1)$
【答案】
$x(x+1)$
【知识点】
提公因式法分解因式；公因式的确定
【点评】
本题是因式分解的基础题型，核心考查提公因式法的应用，解题关键是准确找到多项式各项的公因式，提取公因式时需注意不要漏写原多项式中提取公因式后剩余的常数项。
【难度系数】
0.9
本题考查用提公因式法分解因式，解题思路如下：第一步先观察多项式的结构，该多项式共有两项，判断是否存在公因式；第二步确定公因式：先看系数，两项系数都是1，最大公约数为1，再看相同字母，两项都含有字母x，x的最低次幂是1次，因此公因式为x；第三步提取公因式，将多项式写成公因式与剩余因式乘积的形式，注意提取公因式后剩余的项不要漏写常数项1。
【解析】
首先确定多项式$x^2 + x$的公因式为$x$，对两项分别拆分提取公因式：
$x^2 + x = x· x + x·1 = x(x+1)$
【答案】
$x(x+1)$
【知识点】
提公因式法分解因式；公因式的确定
【点评】
本题是因式分解的基础题型，核心考查提公因式法的应用，解题关键是准确找到多项式各项的公因式，提取公因式时需注意不要漏写原多项式中提取公因式后剩余的常数项。
【难度系数】
0.9
5. (2024·浙江中考)分解因式：$a^2 -7a =$
$a(a-7)$
.答案
5.$a(a-7)$
解析
【分析】
拿到这道因式分解题目，首先观察多项式的构成：该多项式共有两项，优先判断是否可使用提公因式法分解。第一步先找两项的公因式：$a^2$和$-7a$都含有公共因式$a$，因此公因式为$a$；第二步提取公因式，将原多项式的每一项分别除以公因式$a$，把得到的结果作为括号内的因式，即可完成因式分解。
【解析】
解：观察多项式$a^2 -7a$，可知两项的公因式为$a$，提取公因式$a$：
$\begin{aligned}a^2 -7a&=a· a - a·7\\&=a(a-7)\end{aligned}$
【答案】
$a(a-7)$
【知识点】
提公因式法分解因式；公因式的确定
【点评】
本题是因式分解的基础题型，重点考查提公因式法的应用，解题核心是准确识别多项式各项的公因式，提取公因式后需注意检查剩余项是否正确，避免出现漏项错误。
【难度系数】
0.9
拿到这道因式分解题目，首先观察多项式的构成：该多项式共有两项，优先判断是否可使用提公因式法分解。第一步先找两项的公因式：$a^2$和$-7a$都含有公共因式$a$，因此公因式为$a$；第二步提取公因式，将原多项式的每一项分别除以公因式$a$，把得到的结果作为括号内的因式，即可完成因式分解。
【解析】
解：观察多项式$a^2 -7a$，可知两项的公因式为$a$，提取公因式$a$：
$\begin{aligned}a^2 -7a&=a· a - a·7\\&=a(a-7)\end{aligned}$
【答案】
$a(a-7)$
【知识点】
提公因式法分解因式；公因式的确定
【点评】
本题是因式分解的基础题型，重点考查提公因式法的应用，解题核心是准确识别多项式各项的公因式，提取公因式后需注意检查剩余项是否正确，避免出现漏项错误。
【难度系数】
0.9
6.若$a=49$，$b=109$，则$ab - 9a$的值为
4900
。答案
6.4 900 【解析】$ab-9a=a(b-9)=49×(109-9)=4\ 900$.
解析
【分析】首先观察所求代数式的结构，发现两项$ab$和$-9a$都含有公因式$a$，因此可以先利用提公因式法对代数式进行因式分解，再代入已知的$a$、$b$的值计算，这样能简化运算过程，降低计算出错的概率。
【解析】对代数式$ab-9a$提取公因式$a$，可得：
$ab-9a=a(b-9)$
将$a=49$，$b=109$代入上式：
原式$=49×(109-9)=49×100=4900$
【答案】4900
【知识点】提公因式法因式分解；代数式求值
【点评】本题是因式分解简化运算的基础应用，通过提取公因式将原式变形后再代入数值，能大幅减少计算量，体现了因式分解在整式运算中的实用性。
【难度系数】0.9
【解析】对代数式$ab-9a$提取公因式$a$，可得：
$ab-9a=a(b-9)$
将$a=49$，$b=109$代入上式：
原式$=49×(109-9)=49×100=4900$
【答案】4900
【知识点】提公因式法因式分解；代数式求值
【点评】本题是因式分解简化运算的基础应用，通过提取公因式将原式变形后再代入数值，能大幅减少计算量，体现了因式分解在整式运算中的实用性。
【难度系数】0.9
7.已知$3a - 2b = 2$,则$9a - 6b =$
6
.答案
7.6 【解析】$9a-6b=3(3a-2b)=3×2=6$.
解析
【分析】
本题已知代数式3a-2b的值，要求9a-6b的值，解题时先观察两个代数式的结构特征，可发现9a是3a的3倍，-6b是-2b的3倍，因此可以对所求代数式提取公因式3，将其变形为含3a-2b的形式，再把已知条件整体代入即可求出结果，无需单独计算a、b的取值。
【解析】
对所求代数式提取公因式3，可得：
$9a-6b=3(3a-2b)$
将已知条件$3a-2b=2$代入上式，得：
$3×2=6$
【答案】
6
【知识点】
提公因式法，整体代入求值
【点评】
本题是代数式求值的基础题型，通过提公因式建立所求代数式与已知条件的关联，运用整体代入思想简化计算，重点考查对提公因式法的掌握和整体思想的应用。
【难度系数】
0.9
本题已知代数式3a-2b的值，要求9a-6b的值，解题时先观察两个代数式的结构特征，可发现9a是3a的3倍，-6b是-2b的3倍，因此可以对所求代数式提取公因式3，将其变形为含3a-2b的形式，再把已知条件整体代入即可求出结果，无需单独计算a、b的取值。
【解析】
对所求代数式提取公因式3，可得：
$9a-6b=3(3a-2b)$
将已知条件$3a-2b=2$代入上式，得：
$3×2=6$
【答案】
6
【知识点】
提公因式法，整体代入求值
【点评】
本题是代数式求值的基础题型，通过提公因式建立所求代数式与已知条件的关联，运用整体代入思想简化计算，重点考查对提公因式法的掌握和整体思想的应用。
【难度系数】
0.9
8.分解因式：
(1)$m^2 + 10m$；(2)$x - 3x^2y + x^4$。
(1)$m^2 + 10m$；(2)$x - 3x^2y + x^4$。
答案
8.【解】(1)$m^2+10m=m·m+10·m=m(m+10)$.
(2)$x-3x^2y+x^4=x·1-x·3xy+x·x^3=x(1-3xy+x^3)$.
(2)$x-3x^2y+x^4=x·1-x·3xy+x·x^3=x(1-3xy+x^3)$.
解析
【分析】
这两道因式分解题均适用提公因式法求解，解题思路分两步：第一步先确定公因式：先找各项系数的最大公约数，再找各项都含有的相同字母的最低次幂，两者的乘积就是公因式；第二步提取公因式，将多项式写成公因式乘剩余多项式的形式，注意提取公因式后剩余的项数要和原多项式项数一致，不要漏写常数项。
对于(1)，多项式两项的公因式为m，直接提取即可；对于(2)，多项式三项的公因式为x，提取后注意原第一项x除以公因式x得1，不要漏写。
【解析】
(1) 将各项拆分为含公因式m的形式：
$m^2 + 10m = m·m + 10·m$
提取公因式m，可得结果：
$m(m + 10)$
(2) 将各项拆分为含公因式x的形式：
$x - 3x^2y + x^4 = x·1 - x·3xy + x·x^3$
提取公因式x，可得结果：
$x(1 - 3xy + x^3)$
【答案】
(1)$m(m+10)$；(2)$x(1-3xy+x^3)$
【知识点】
提公因式法分解因式；公因式的确定
【点评】
本题是提公因式法因式分解的基础练习题，重点考查公因式的查找能力，解题时要注意提取公因式后剩余的项不能漏写，尤其是单独成项的公因式提取后剩余的常数项1，避免出现遗漏导致错误。
【难度系数】
0.85
这两道因式分解题均适用提公因式法求解，解题思路分两步：第一步先确定公因式：先找各项系数的最大公约数，再找各项都含有的相同字母的最低次幂，两者的乘积就是公因式；第二步提取公因式，将多项式写成公因式乘剩余多项式的形式，注意提取公因式后剩余的项数要和原多项式项数一致，不要漏写常数项。
对于(1)，多项式两项的公因式为m，直接提取即可；对于(2)，多项式三项的公因式为x，提取后注意原第一项x除以公因式x得1，不要漏写。
【解析】
(1) 将各项拆分为含公因式m的形式：
$m^2 + 10m = m·m + 10·m$
提取公因式m，可得结果：
$m(m + 10)$
(2) 将各项拆分为含公因式x的形式：
$x - 3x^2y + x^4 = x·1 - x·3xy + x·x^3$
提取公因式x，可得结果：
$x(1 - 3xy + x^3)$
【答案】
(1)$m(m+10)$；(2)$x(1-3xy+x^3)$
【知识点】
提公因式法分解因式；公因式的确定
【点评】
本题是提公因式法因式分解的基础练习题，重点考查公因式的查找能力，解题时要注意提取公因式后剩余的项不能漏写，尤其是单独成项的公因式提取后剩余的常数项1，避免出现遗漏导致错误。
【难度系数】
0.85
