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基础知识·预习
问题1 类比实数的混合运算顺序，说一说分式的混合运算顺序是什么。
问题2 结合实例思考分式的混合运算在解决实际问题时应注意些什么。
问题1 类比实数的混合运算顺序，说一说分式的混合运算顺序是什么。
问题2 结合实例思考分式的混合运算在解决实际问题时应注意些什么。
答案
解：
问题1：分式的混合运算顺序类比实数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；有括号的先算括号里面的，同级运算按从左到右的顺序进行。
问题2：分式混合运算解决实际问题时应注意：
1. 要保证运算过程中所有分式的分母不为零，使分式有意义；
2. 运算时注意符号的正确性，可合理运用运算律简化运算，减少计算错误；
3. 最终的运算结果必须化为最简分式或整式；
4. 要结合实际问题的背景，确认相关字母的取值符合实际意义，比如表示长度、速度、时间、工作量的量都应为正数值。
实例：加工120个零件，原计划每天加工x个，实际每天比原计划多加工2个，求实际比原计划提前的天数，列式为$\frac{120}{x}-\frac{120}{x+2}$，运算时首先要满足$x＞0$，$x+2＞0$，通分化简后得到$\frac{240}{x(x+2)}$，结果为最简分式，同时实际问题中x必须是正整数，符合生产加工的实际要求。
问题1：分式的混合运算顺序类比实数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；有括号的先算括号里面的，同级运算按从左到右的顺序进行。
问题2：分式混合运算解决实际问题时应注意：
1. 要保证运算过程中所有分式的分母不为零，使分式有意义；
2. 运算时注意符号的正确性，可合理运用运算律简化运算，减少计算错误；
3. 最终的运算结果必须化为最简分式或整式；
4. 要结合实际问题的背景，确认相关字母的取值符合实际意义，比如表示长度、速度、时间、工作量的量都应为正数值。
实例：加工120个零件，原计划每天加工x个，实际每天比原计划多加工2个，求实际比原计划提前的天数，列式为$\frac{120}{x}-\frac{120}{x+2}$，运算时首先要满足$x＞0$，$x+2＞0$，通分化简后得到$\frac{240}{x(x+2)}$，结果为最简分式，同时实际问题中x必须是正整数，符合生产加工的实际要求。
解析
【分析】
对于问题1，先回忆已学的实数混合运算顺序，根据题目要求的“类比”原则，可直接将实数的运算顺序迁移到分式混合运算中，二者的运算规则一致。对于问题2，可从三个维度梳理注意事项：首先是分式自身的属性要求，运算全程所有分式都要有意义；其次是运算的准确性要求，包括符号处理、运算律使用、结果化简规则；最后是实际问题的特殊性要求，字母取值必须符合实际场景的含义，再结合具体实例对应说明各注意点即可。
【解析】
问题1解答
分式的混合运算顺序类比实数混合运算顺序，具体规则为：先算乘方，再算乘除，最后算加减；有括号的先算括号里面的，同级运算按从左到右的顺序进行。
问题2解答
分式混合运算解决实际问题时应注意以下几点：
1. 要保证运算过程中所有分式的分母不为零，使分式有意义；
2. 运算时注意符号的正确性，可合理运用运算律简化运算，减少计算错误；
3. 最终的运算结果必须化为最简分式或整式；
4. 要结合实际问题的背景，确认相关字母的取值符合实际意义，比如表示长度、速度、时间、工作量的量都应为正数值。
实例说明
加工120个零件，原计划每天加工x个，实际每天比原计划多加工2个，求实际比原计划提前的天数，列式为$\frac{120}{x}-\frac{120}{x+2}$。运算时首先要满足$x＞0$，$x+2＞0$保证分式有意义；通分化简后得到$\frac{240}{x(x+2)}$，结果为最简分式；同时结合实际生产场景，x必须是正整数，符合加工零件的实际要求。
【答案】
问题1：分式的混合运算顺序类比实数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；有括号的先算括号里面的，同级运算按从左到右的顺序进行。
问题2：分式混合运算解决实际问题时应注意：
1. 要保证运算过程中所有分式的分母不为零，使分式有意义；
2. 运算时注意符号的正确性，可合理运用运算律简化运算，减少计算错误；
3. 最终的运算结果必须化为最简分式或整式；
4. 要结合实际问题的背景，确认相关字母的取值符合实际意义，比如表示长度、速度、时间、工作量的量都应为正数值。
实例：加工120个零件，原计划每天加工x个，实际每天比原计划多加工2个，求实际比原计划提前的天数，列式为$\frac{120}{x}-\frac{120}{x+2}$，运算时首先要满足$x＞0$，$x+2＞0$，通分化简后得到$\frac{240}{x(x+2)}$，结果为最简分式，同时实际问题中x必须是正整数，符合生产加工的实际要求。
【知识点】
分式混合运算顺序；分式有意义的条件；分式实际应用
【点评】
本题属于基础概念类题目，侧重考查对分式混合运算规则的理解，以及将运算规则应用到实际问题中的意识，能够帮助学生理清纯数学运算和实际应用场景下的要求差异，为后续学习复杂分式运算和分式应用题奠定基础。
【难度系数】
0.8
对于问题1，先回忆已学的实数混合运算顺序，根据题目要求的“类比”原则，可直接将实数的运算顺序迁移到分式混合运算中，二者的运算规则一致。对于问题2，可从三个维度梳理注意事项：首先是分式自身的属性要求，运算全程所有分式都要有意义；其次是运算的准确性要求，包括符号处理、运算律使用、结果化简规则；最后是实际问题的特殊性要求，字母取值必须符合实际场景的含义，再结合具体实例对应说明各注意点即可。
【解析】
问题1解答
分式的混合运算顺序类比实数混合运算顺序，具体规则为：先算乘方，再算乘除，最后算加减；有括号的先算括号里面的，同级运算按从左到右的顺序进行。
问题2解答
分式混合运算解决实际问题时应注意以下几点：
1. 要保证运算过程中所有分式的分母不为零，使分式有意义；
2. 运算时注意符号的正确性，可合理运用运算律简化运算，减少计算错误；
3. 最终的运算结果必须化为最简分式或整式；
4. 要结合实际问题的背景，确认相关字母的取值符合实际意义，比如表示长度、速度、时间、工作量的量都应为正数值。
实例说明
加工120个零件，原计划每天加工x个，实际每天比原计划多加工2个，求实际比原计划提前的天数，列式为$\frac{120}{x}-\frac{120}{x+2}$。运算时首先要满足$x＞0$，$x+2＞0$保证分式有意义；通分化简后得到$\frac{240}{x(x+2)}$，结果为最简分式；同时结合实际生产场景，x必须是正整数，符合加工零件的实际要求。
【答案】
问题1：分式的混合运算顺序类比实数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；有括号的先算括号里面的，同级运算按从左到右的顺序进行。
问题2：分式混合运算解决实际问题时应注意：
1. 要保证运算过程中所有分式的分母不为零，使分式有意义；
2. 运算时注意符号的正确性，可合理运用运算律简化运算，减少计算错误；
3. 最终的运算结果必须化为最简分式或整式；
4. 要结合实际问题的背景，确认相关字母的取值符合实际意义，比如表示长度、速度、时间、工作量的量都应为正数值。
实例：加工120个零件，原计划每天加工x个，实际每天比原计划多加工2个，求实际比原计划提前的天数，列式为$\frac{120}{x}-\frac{120}{x+2}$，运算时首先要满足$x＞0$，$x+2＞0$，通分化简后得到$\frac{240}{x(x+2)}$，结果为最简分式，同时实际问题中x必须是正整数，符合生产加工的实际要求。
【知识点】
分式混合运算顺序；分式有意义的条件；分式实际应用
【点评】
本题属于基础概念类题目，侧重考查对分式混合运算规则的理解，以及将运算规则应用到实际问题中的意识，能够帮助学生理清纯数学运算和实际应用场景下的要求差异，为后续学习复杂分式运算和分式应用题奠定基础。
【难度系数】
0.8
【典型例题1】计算：
(1)$\frac{a^2 + 3a}{a^2 - 3a} - \frac{a - 3}{a} · ( \frac{2a}{a - 3} )^2$；
(2)$( \frac{m^2 - 3m + 1}{m} + 1 ) ÷ \frac{m^2 - 1}{m}$；
(3)$\frac{a^2 - b^2}{a} ÷ ( a + \frac{b^2 - 2ab}{a} )$。
【解】(1)原式$= \frac{a + 3}{a - 3} - \frac{a - 3}{a} · \frac{4a^2}{(a - 3)^2} = \frac{a + 3}{a - 3} - \frac{4a}{a - 3} = \frac{3 - 3a}{a - 3}$。
(2)原式$= \frac{m^2 - 3m + 1 + m}{m} ÷ \frac{m^2 - 1}{m} = \frac{(m - 1)^2}{m} · \frac{m}{(m + 1)(m - 1)} = \frac{m - 1}{m + 1}$。
(3)原式$= \frac{a^2 - b^2}{a} ÷ ( \frac{a^2}{a} + \frac{b^2 - 2ab}{a} ) = \frac{a^2 - b^2}{a} ÷ \frac{a^2 - 2ab + b^2}{a} = \frac{(a + b)(a - b)}{a} · \frac{a}{(a - b)^2} = \frac{a + b}{a - b}$。
规律方法 1. 进行分式混合运算时，可以根据需要合理地运用运算律来简化运算，此时先将分式的乘除法统一成乘法，分式的加减法统一成加法，才能使用乘法运算律、加法运算律简化运算。
2. 运算过程中及时约分化简，有时可使解题过程变简单。
3. 运算结果应是最简分式或整式。
(1)$\frac{a^2 + 3a}{a^2 - 3a} - \frac{a - 3}{a} · ( \frac{2a}{a - 3} )^2$；
(2)$( \frac{m^2 - 3m + 1}{m} + 1 ) ÷ \frac{m^2 - 1}{m}$；
(3)$\frac{a^2 - b^2}{a} ÷ ( a + \frac{b^2 - 2ab}{a} )$。
【解】(1)原式$= \frac{a + 3}{a - 3} - \frac{a - 3}{a} · \frac{4a^2}{(a - 3)^2} = \frac{a + 3}{a - 3} - \frac{4a}{a - 3} = \frac{3 - 3a}{a - 3}$。
(2)原式$= \frac{m^2 - 3m + 1 + m}{m} ÷ \frac{m^2 - 1}{m} = \frac{(m - 1)^2}{m} · \frac{m}{(m + 1)(m - 1)} = \frac{m - 1}{m + 1}$。
(3)原式$= \frac{a^2 - b^2}{a} ÷ ( \frac{a^2}{a} + \frac{b^2 - 2ab}{a} ) = \frac{a^2 - b^2}{a} ÷ \frac{a^2 - 2ab + b^2}{a} = \frac{(a + b)(a - b)}{a} · \frac{a}{(a - b)^2} = \frac{a + b}{a - b}$。
规律方法 1. 进行分式混合运算时，可以根据需要合理地运用运算律来简化运算，此时先将分式的乘除法统一成乘法，分式的加减法统一成加法，才能使用乘法运算律、加法运算律简化运算。
2. 运算过程中及时约分化简，有时可使解题过程变简单。
3. 运算结果应是最简分式或整式。
答案
解：
(1) 原式$=\frac{a(a+3)}{a(a-3)} - \frac{a-3}{a} · \frac{4a^2}{(a-3)^2}$
$=\frac{a+3}{a-3} - \frac{4a}{a-3}$
$=\frac{a+3-4a}{a-3}$
$=\frac{3-3a}{a-3}$
(2) 原式$=\frac{m^2-3m+1 + m}{m} ÷ \frac{m^2-1}{m}$
$=\frac{m^2-2m+1}{m} · \frac{m}{(m+1)(m-1)}$
$=\frac{(m-1)^2}{m} · \frac{m}{(m+1)(m-1)}$
$=\frac{m-1}{m+1}$
(3) 原式$=\frac{a^2-b^2}{a} ÷ ( \frac{a^2}{a} + \frac{b^2-2ab}{a} )$
$=\frac{(a+b)(a-b)}{a} ÷ \frac{a^2-2ab + b^2}{a}$
$=\frac{(a+b)(a-b)}{a} · \frac{a}{(a-b)^2}$
$=\frac{a+b}{a-b}$
(1) 原式$=\frac{a(a+3)}{a(a-3)} - \frac{a-3}{a} · \frac{4a^2}{(a-3)^2}$
$=\frac{a+3}{a-3} - \frac{4a}{a-3}$
$=\frac{a+3-4a}{a-3}$
$=\frac{3-3a}{a-3}$
(2) 原式$=\frac{m^2-3m+1 + m}{m} ÷ \frac{m^2-1}{m}$
$=\frac{m^2-2m+1}{m} · \frac{m}{(m+1)(m-1)}$
$=\frac{(m-1)^2}{m} · \frac{m}{(m+1)(m-1)}$
$=\frac{m-1}{m+1}$
(3) 原式$=\frac{a^2-b^2}{a} ÷ ( \frac{a^2}{a} + \frac{b^2-2ab}{a} )$
$=\frac{(a+b)(a-b)}{a} ÷ \frac{a^2-2ab + b^2}{a}$
$=\frac{(a+b)(a-b)}{a} · \frac{a}{(a-b)^2}$
$=\frac{a+b}{a-b}$
解析
【分析】
分式混合运算遵循“先乘方，再乘除，最后加减，有括号先算括号内”的运算顺序，运算中可先对分子分母因式分解，能约分的先约分，简化计算过程。
(1) 先计算乘方项$(\frac{2a}{a-3})^2$，再计算乘法$\frac{a-3}{a}$与乘方结果的乘积，约分后再和左侧的分式做减法，同分母分式相减时分母不变，分子相减即可。
(2) 先计算括号内的加法，将1通分为$\frac{m}{m}$和括号内的分式合并，再把除法转化为乘法，对分子分母因式分解后约分得到结果。
(3) 先计算括号内的式子，将$a$通分为$\frac{a^2}{a}$和括号内的分式合并，再把除法转化为乘法，用平方差公式、完全平方公式因式分解后约分得到结果。
【解析】
(1) 原式$=\frac{a(a+3)}{a(a-3)} - \frac{a-3}{a} · \frac{4a^2}{(a-3)^2}$
$=\frac{a+3}{a-3} - \frac{4a}{a-3}$
$=\frac{a+3-4a}{a-3}$
$=\frac{3-3a}{a-3}$
(2) 原式$=\frac{m^2-3m+1 + m}{m} ÷ \frac{m^2-1}{m}$
$=\frac{m^2-2m+1}{m} · \frac{m}{(m+1)(m-1)}$
$=\frac{(m-1)^2}{m} · \frac{m}{(m+1)(m-1)}$
$=\frac{m-1}{m+1}$
(3) 原式$=\frac{a^2-b^2}{a} ÷ ( \frac{a^2}{a} + \frac{b^2-2ab}{a} )$
$=\frac{(a+b)(a-b)}{a} ÷ \frac{a^2-2ab + b^2}{a}$
$=\frac{(a+b)(a-b)}{a} · \frac{a}{(a-b)^2}$
$=\frac{a+b}{a-b}$
【答案】
(1)$\frac{3-3a}{a-3}$；(2)$\frac{m-1}{m+1}$；(3)$\frac{a+b}{a-b}$
【知识点】
分式混合运算，因式分解，分式约分
【点评】
本题是分式混合运算的基础题型，重点考察运算顺序和运算法则的掌握，解题过程中注意及时约分化简，结果保留最简形式，有助于提升分式运算的熟练度。
【难度系数】
0.7
分式混合运算遵循“先乘方，再乘除，最后加减，有括号先算括号内”的运算顺序，运算中可先对分子分母因式分解，能约分的先约分，简化计算过程。
(1) 先计算乘方项$(\frac{2a}{a-3})^2$，再计算乘法$\frac{a-3}{a}$与乘方结果的乘积，约分后再和左侧的分式做减法，同分母分式相减时分母不变，分子相减即可。
(2) 先计算括号内的加法，将1通分为$\frac{m}{m}$和括号内的分式合并，再把除法转化为乘法，对分子分母因式分解后约分得到结果。
(3) 先计算括号内的式子，将$a$通分为$\frac{a^2}{a}$和括号内的分式合并，再把除法转化为乘法，用平方差公式、完全平方公式因式分解后约分得到结果。
【解析】
(1) 原式$=\frac{a(a+3)}{a(a-3)} - \frac{a-3}{a} · \frac{4a^2}{(a-3)^2}$
$=\frac{a+3}{a-3} - \frac{4a}{a-3}$
$=\frac{a+3-4a}{a-3}$
$=\frac{3-3a}{a-3}$
(2) 原式$=\frac{m^2-3m+1 + m}{m} ÷ \frac{m^2-1}{m}$
$=\frac{m^2-2m+1}{m} · \frac{m}{(m+1)(m-1)}$
$=\frac{(m-1)^2}{m} · \frac{m}{(m+1)(m-1)}$
$=\frac{m-1}{m+1}$
(3) 原式$=\frac{a^2-b^2}{a} ÷ ( \frac{a^2}{a} + \frac{b^2-2ab}{a} )$
$=\frac{(a+b)(a-b)}{a} ÷ \frac{a^2-2ab + b^2}{a}$
$=\frac{(a+b)(a-b)}{a} · \frac{a}{(a-b)^2}$
$=\frac{a+b}{a-b}$
【答案】
(1)$\frac{3-3a}{a-3}$；(2)$\frac{m-1}{m+1}$；(3)$\frac{a+b}{a-b}$
【知识点】
分式混合运算，因式分解，分式约分
【点评】
本题是分式混合运算的基础题型，重点考察运算顺序和运算法则的掌握，解题过程中注意及时约分化简，结果保留最简形式，有助于提升分式运算的熟练度。
【难度系数】
0.7
1. 先化简，再求值：$(\dfrac{1}{y} - \dfrac{1}{x}) ÷ (\dfrac{x}{y} - \dfrac{y}{x})$，其中$x=2-y$。
答案
【解】原式$=(\frac{x}{xy}-\frac{y}{xy})÷(\frac{x^2}{xy}-\frac{y^2}{xy})=\frac{x-y}{xy}÷\frac{x^2-y^2}{xy}=\frac{x-y}{xy}·\frac{xy}{x^2-y^2}=\frac{x-y}{xy}·\frac{xy}{(x+y)(x-y)}=\frac{1}{x+y}.$
因为$x=2-y$,所以$x+y=2$,
所以原式$=\frac{1}{x+y}=\frac{1}{2}.$
因为$x=2-y$,所以$x+y=2$,
所以原式$=\frac{1}{x+y}=\frac{1}{2}.$
解析
【分析】
这是分式化简求值类题目，解题思路分两步走：第一步先化简分式，不要直接代入数值计算，避免运算复杂出错。首先处理括号内的异分母分式减法，先找最简公分母通分，转化为同分母分式后分子相减；再将分式除法转化为乘法运算，对分子分母中的多项式因式分解，约去公因式得到最简结果。第二步代入求值，观察已知条件$x=2-y$，不需要分别求$x$、$y$的具体值，移项即可得到$x+y$的整体值，直接代入最简式计算即可，用整体代入法更简便。
【解析】
先化简原式：
1. 对两个括号内的异分母分式通分，最简公分母为$xy$：
$\dfrac{1}{y}-\dfrac{1}{x}=\dfrac{x}{xy}-\dfrac{y}{xy}=\dfrac{x-y}{xy}$
$\dfrac{x}{y}-\dfrac{y}{x}=\dfrac{x^2}{xy}-\dfrac{y^2}{xy}=\dfrac{x^2-y^2}{xy}$
2. 将除法转化为乘法，同时对$x^2-y^2$用平方差公式因式分解：
原式$=\dfrac{x-y}{xy} ÷ \dfrac{x^2-y^2}{xy}=\dfrac{x-y}{xy} · \dfrac{xy}{(x+y)(x-y)}$
3. 约去公因式$xy$和$x-y$（分式有意义前提下$x≠0,y≠0,x≠ y$），得最简结果：
原式$=\dfrac{1}{x+y}$
再代入求值：
由$x=2-y$移项得$x+y=2$，将$x+y=2$代入最简式得：
原式$=\dfrac{1}{2}$
【答案】
$\dfrac{1}{2}$
【知识点】
分式混合运算，平方差公式，整体代入求值
【点评】
本题是分式运算的常规题型，重点考查分式通分、约分、四则运算的基本规则，以及因式分解和整体思想的运用，掌握运算法则和整体代入技巧就能快速解题。
【难度系数】
0.8
这是分式化简求值类题目，解题思路分两步走：第一步先化简分式，不要直接代入数值计算，避免运算复杂出错。首先处理括号内的异分母分式减法，先找最简公分母通分，转化为同分母分式后分子相减；再将分式除法转化为乘法运算，对分子分母中的多项式因式分解，约去公因式得到最简结果。第二步代入求值，观察已知条件$x=2-y$，不需要分别求$x$、$y$的具体值，移项即可得到$x+y$的整体值，直接代入最简式计算即可，用整体代入法更简便。
【解析】
先化简原式：
1. 对两个括号内的异分母分式通分，最简公分母为$xy$：
$\dfrac{1}{y}-\dfrac{1}{x}=\dfrac{x}{xy}-\dfrac{y}{xy}=\dfrac{x-y}{xy}$
$\dfrac{x}{y}-\dfrac{y}{x}=\dfrac{x^2}{xy}-\dfrac{y^2}{xy}=\dfrac{x^2-y^2}{xy}$
2. 将除法转化为乘法，同时对$x^2-y^2$用平方差公式因式分解：
原式$=\dfrac{x-y}{xy} ÷ \dfrac{x^2-y^2}{xy}=\dfrac{x-y}{xy} · \dfrac{xy}{(x+y)(x-y)}$
3. 约去公因式$xy$和$x-y$（分式有意义前提下$x≠0,y≠0,x≠ y$），得最简结果：
原式$=\dfrac{1}{x+y}$
再代入求值：
由$x=2-y$移项得$x+y=2$，将$x+y=2$代入最简式得：
原式$=\dfrac{1}{2}$
【答案】
$\dfrac{1}{2}$
【知识点】
分式混合运算，平方差公式，整体代入求值
【点评】
本题是分式运算的常规题型，重点考查分式通分、约分、四则运算的基本规则，以及因式分解和整体思想的运用，掌握运算法则和整体代入技巧就能快速解题。
【难度系数】
0.8
