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1.分式的概念
一般地,如果A,B表示两个整式,并且中含有字母,那么式子叫作分式. 在分式$\frac{A}{B}$中,A叫作分子,B叫作分母.
2.分式有(无)意义的条件
当B时,分式$\frac{A}{B}$无意义;当B时,分式$\frac{A}{B}$才有意义.
3.分式的值为0的条件
分式的值为0的条件是分子等于,且分母不等于.
一般地,如果A,B表示两个整式,并且中含有字母,那么式子叫作分式. 在分式$\frac{A}{B}$中,A叫作分子,B叫作分母.
2.分式有(无)意义的条件
当B时,分式$\frac{A}{B}$无意义;当B时,分式$\frac{A}{B}$才有意义.
3.分式的值为0的条件
分式的值为0的条件是分子等于,且分母不等于.
答案
解：
1. 第一空：$B$（或分母）；第二空：$\frac{A}{B}$
2. 第三空：等于$0$；第四空：不等于$0$
3. 第五空：$0$；第六空：$0$
1. 第一空：$B$（或分母）；第二空：$\frac{A}{B}$
2. 第三空：等于$0$；第四空：不等于$0$
3. 第五空：$0$；第六空：$0$
解析
【分析】本题考查分式的相关基础概念，所有考点均为课本原文识记内容，解题时只需依次回忆分式的定义、分式有（无）意义的判定规则、分式值为0的判定条件，对应空缺位置逐一填写即可。
【解析】
1. 根据分式的定义：一般地，如果A、B表示两个整式，并且B（分母）中含有字母，那么式子$\frac{A}{B}$叫作分式，因此第一空填$B$（或分母），第二空填$\frac{A}{B}$；
2. 分式的分母不能为0，因此当分母$B$等于0时，分式$\frac{A}{B}$无意义；当分母$B$不等于0时，分式$\frac{A}{B}$才有意义，因此第三空填等于$0$，第四空填不等于$0$；
3. 分式的值为0需要同时满足两个要求：分子的值为0，且分母的值不为0（避免分母为0时分式无意义），因此第五空填$0$，第六空填$0$。
【答案】
1. $B$（或分母）；$\frac{A}{B}$
2. 等于$0$；不等于$0$
3. $0$；$0$
【知识点】分式的定义；分式有意义的条件；分式值为零的条件
【点评】本题是分式章节的入门基础题，属于核心识记类内容，是后续学习分式化简、分式计算、分式方程的前提，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.9
【解析】
1. 根据分式的定义：一般地，如果A、B表示两个整式，并且B（分母）中含有字母，那么式子$\frac{A}{B}$叫作分式，因此第一空填$B$（或分母），第二空填$\frac{A}{B}$；
2. 分式的分母不能为0，因此当分母$B$等于0时，分式$\frac{A}{B}$无意义；当分母$B$不等于0时，分式$\frac{A}{B}$才有意义，因此第三空填等于$0$，第四空填不等于$0$；
3. 分式的值为0需要同时满足两个要求：分子的值为0，且分母的值不为0（避免分母为0时分式无意义），因此第五空填$0$，第六空填$0$。
【答案】
1. $B$（或分母）；$\frac{A}{B}$
2. 等于$0$；不等于$0$
3. $0$；$0$
【知识点】分式的定义；分式有意义的条件；分式值为零的条件
【点评】本题是分式章节的入门基础题，属于核心识记类内容，是后续学习分式化简、分式计算、分式方程的前提，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.9
【例1】下列各式中,是分式的是().
A.$\dfrac{-b}{2a}$
B.$\dfrac{a+b}{2}$
C.$\dfrac{1}{2}ab+a^2b$
D.$\dfrac{3ab}{π}$
A.$\dfrac{-b}{2a}$
B.$\dfrac{a+b}{2}$
C.$\dfrac{1}{2}ab+a^2b$
D.$\dfrac{3ab}{π}$
答案
A
解析
【分析】
判断一个式子是否为分式的核心依据是分式的定义：如果A、B是两个整式，且B中含有字母（B≠0），那么$\frac{A}{B}$就是分式。解题时只需逐个核查各选项的分母是否含有字母即可，注意π是固定常数，不属于字母，不要误判。
【解析】
根据分式的定义逐一分析选项：
选项A：$\dfrac{-b}{2a}$的分母为$2a$，含有字母$a$，符合分式的定义，属于分式；
选项B：$\dfrac{a+b}{2}$的分母为2，是常数不含字母，属于整式，不是分式；
选项C：$\dfrac{1}{2}ab+a^2b$是单项式相加组成的多项式，没有分母，属于整式，不是分式；
选项D：$\dfrac{3ab}{π}$的分母为π，π是圆周率，属于固定常数不含字母，属于整式，不是分式。
综上，只有选项A是分式。
【答案】
A
【知识点】
分式的定义
【点评】
本题是分式概念的基础考查题，解题关键是准确掌握分式的判定标准，要特别注意π为常数这一易错点，避免误将选项D判定为分式。
【难度系数】
0.9
判断一个式子是否为分式的核心依据是分式的定义：如果A、B是两个整式，且B中含有字母（B≠0），那么$\frac{A}{B}$就是分式。解题时只需逐个核查各选项的分母是否含有字母即可，注意π是固定常数，不属于字母，不要误判。
【解析】
根据分式的定义逐一分析选项：
选项A：$\dfrac{-b}{2a}$的分母为$2a$，含有字母$a$，符合分式的定义，属于分式；
选项B：$\dfrac{a+b}{2}$的分母为2，是常数不含字母，属于整式，不是分式；
选项C：$\dfrac{1}{2}ab+a^2b$是单项式相加组成的多项式，没有分母，属于整式，不是分式；
选项D：$\dfrac{3ab}{π}$的分母为π，π是圆周率，属于固定常数不含字母，属于整式，不是分式。
综上，只有选项A是分式。
【答案】
A
【知识点】
分式的定义
【点评】
本题是分式概念的基础考查题，解题关键是准确掌握分式的判定标准，要特别注意π为常数这一易错点，避免误将选项D判定为分式。
【难度系数】
0.9
方法点拨
(1)分母中含有字母是分式的一个重要标志,判断一个代数式是不是分式,不能先化简再判断,如$\frac{x^2 y}{x}$是分式,与$xy$有区别,$xy$是整式;
(2)分式的分母不可以是表示数的“字母”,$π$仅表示圆周率,是一个常数,如$\frac{3ab}{π}$是整式而不能当作分式.
【变式1】已知四张卡片上面分别写有$6, x-1, x^2 -1, π+1$,从中任选两张卡片,组成一个分式为(写出一个即可).
(1)分母中含有字母是分式的一个重要标志,判断一个代数式是不是分式,不能先化简再判断,如$\frac{x^2 y}{x}$是分式,与$xy$有区别,$xy$是整式;
(2)分式的分母不可以是表示数的“字母”,$π$仅表示圆周率,是一个常数,如$\frac{3ab}{π}$是整式而不能当作分式.
【变式1】已知四张卡片上面分别写有$6, x-1, x^2 -1, π+1$,从中任选两张卡片,组成一个分式为(写出一个即可).
答案
解：根据分式的定义，分母中需含有字母，因此可组成分式$\frac{6}{x-1}$（答案不唯一）。
解析
【分析】
要解决这道题，首先得明确分式的判定核心：①式子为两个整式相除的形式；②分母中必须含有字母（注意π是固定常数，不算字母）；③判断时不需要化简，直接看原式分母即可。接下来梳理给出的4个式子：6是常数，$x-1$含字母x，$x^2-1$含字母x，$π+1$是常数。因此只要选择含字母的$x-1$或$x^2-1$作为分母，其余三个式子中任意一个作为分子，就能组成符合要求的分式。
【解析】
解：根据分式的定义：形如$\frac{A}{B}$（A、B均为整式，且B中含有字母，$B≠0$）的式子叫做分式。
已知给出的整式中，$x-1$、$x^2-1$是含有字母x的整式，6、$π+1$为常数项。
选6作为分子，$x-1$作为分母，可组成分式$\frac{6}{x-1}$（答案不唯一，如$\frac{6}{x^2-1}$、$\frac{x-1}{x^2-1}$等均正确）。
【答案】
$\frac{6}{x-1}$（答案不唯一）
【知识点】
1. 分式的定义
2. 整式的判断
【点评】
本题是分式概念的基础应用题，核心是抓住“分母含有字母（π为常数，不属于字母）”的判定要点，易错点是误将π当作字母、或者先化简再判断是否为分式，牢记判定规则即可快速解题。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先得明确分式的判定核心：①式子为两个整式相除的形式；②分母中必须含有字母（注意π是固定常数，不算字母）；③判断时不需要化简，直接看原式分母即可。接下来梳理给出的4个式子：6是常数，$x-1$含字母x，$x^2-1$含字母x，$π+1$是常数。因此只要选择含字母的$x-1$或$x^2-1$作为分母，其余三个式子中任意一个作为分子，就能组成符合要求的分式。
【解析】
解：根据分式的定义：形如$\frac{A}{B}$（A、B均为整式，且B中含有字母，$B≠0$）的式子叫做分式。
已知给出的整式中，$x-1$、$x^2-1$是含有字母x的整式，6、$π+1$为常数项。
选6作为分子，$x-1$作为分母，可组成分式$\frac{6}{x-1}$（答案不唯一，如$\frac{6}{x^2-1}$、$\frac{x-1}{x^2-1}$等均正确）。
【答案】
$\frac{6}{x-1}$（答案不唯一）
【知识点】
1. 分式的定义
2. 整式的判断
【点评】
本题是分式概念的基础应用题，核心是抓住“分母含有字母（π为常数，不属于字母）”的判定要点，易错点是误将π当作字母、或者先化简再判断是否为分式，牢记判定规则即可快速解题。
【难度系数】
0.9
【例2】下列各式中，无论$x$取何值，分式都有意义的是（）.
A.$\frac{x+a}{|x|-2}$
B.$\frac{x}{2x+1}$
C.$\frac{3x+1}{x^2}$
D.$\frac{x^2}{2x^2+1}$
A.$\frac{x+a}{|x|-2}$
B.$\frac{x}{2x+1}$
C.$\frac{3x+1}{x^2}$
D.$\frac{x^2}{2x^2+1}$
答案
D
解析
【分析】
要判断无论x取何值分式都有意义，核心依据是分式有意义的条件：分母不能为0。因此我们只需要逐一分析每个选项的分母是否存在等于0的情况，若不存在这样的x值，则该选项符合要求。
【解析】
分式有意义的条件是分母不为0，我们逐个分析选项：
A. 分母为$\vert x\vert-2$，当$x=\pm2$时，$\vert x\vert-2=0$，分式无意义，不符合要求；
B. 分母为$2x+1$，当$x=-\frac{1}{2}$时，$2x+1=0$，分式无意义，不符合要求；
C. 分母为$x^2$，当$x=0$时，$x^2=0$，分式无意义，不符合要求；
D. 分母为$2x^2+1$，根据平方的非负性可知$x^2≥0$，因此$2x^2+1≥1＞0$，无论x取何值，分母都不为0，分式始终有意义，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
1. 分式有意义的条件
2. 平方的非负性
【点评】
本题是分式相关的基础常考题，解题关键是牢记分式有意义的判定规则，结合平方的非负性即可快速判断出恒不为0的分母。
【难度系数】
0.8
要判断无论x取何值分式都有意义，核心依据是分式有意义的条件：分母不能为0。因此我们只需要逐一分析每个选项的分母是否存在等于0的情况，若不存在这样的x值，则该选项符合要求。
【解析】
分式有意义的条件是分母不为0，我们逐个分析选项：
A. 分母为$\vert x\vert-2$，当$x=\pm2$时，$\vert x\vert-2=0$，分式无意义，不符合要求；
B. 分母为$2x+1$，当$x=-\frac{1}{2}$时，$2x+1=0$，分式无意义，不符合要求；
C. 分母为$x^2$，当$x=0$时，$x^2=0$，分式无意义，不符合要求；
D. 分母为$2x^2+1$，根据平方的非负性可知$x^2≥0$，因此$2x^2+1≥1＞0$，无论x取何值，分母都不为0，分式始终有意义，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
1. 分式有意义的条件
2. 平方的非负性
【点评】
本题是分式相关的基础常考题，解题关键是牢记分式有意义的判定规则，结合平方的非负性即可快速判断出恒不为0的分母。
【难度系数】
0.8
【变式2】当$x=3$时，分式$\frac{x-b}{x+2b}$没有意义，则$b$的值为（）.
A.$-3$
B.$-\frac{3}{2}$
C.$\frac{3}{2}$
D.$3$
A.$-3$
B.$-\frac{3}{2}$
C.$\frac{3}{2}$
D.$3$
答案
B
解析
【分析】
解题时首先要明确分式没有意义的判定条件：分式的分母等于0。已知x=3时该分式无意义，我们只需把x=3代入分式的分母，令分母的计算结果为0，就能得到关于b的一元一次方程，解这个方程即可求出b的值。
【解析】
分式没有意义的条件是分母为0。
当x=3时，分式的分母为$x+2b=3+2b$，
根据题意可列方程：$3+2b=0$，
移项得：$2b=-3$，
系数化为1得：$b=-\frac{3}{2}$。
【答案】
B
【知识点】
分式无意义的条件；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是牢记分式无意义时分母为0的性质，代入已知的x值列方程求解即可，注意不要和分式值为0的条件混淆。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确分式没有意义的判定条件：分式的分母等于0。已知x=3时该分式无意义，我们只需把x=3代入分式的分母，令分母的计算结果为0，就能得到关于b的一元一次方程，解这个方程即可求出b的值。
【解析】
分式没有意义的条件是分母为0。
当x=3时，分式的分母为$x+2b=3+2b$，
根据题意可列方程：$3+2b=0$，
移项得：$2b=-3$，
系数化为1得：$b=-\frac{3}{2}$。
【答案】
B
【知识点】
分式无意义的条件；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是牢记分式无意义时分母为0的性质，代入已知的x值列方程求解即可，注意不要和分式值为0的条件混淆。
【难度系数】
0.7
【例3】分式$\frac{x^2 -9}{x+3}$的值为0，则x的值为（）。
A.3
B.-3
C.$\pm3$
D.9
A.3
B.-3
C.$\pm3$
D.9
答案
A
解析
【分析】
解决分式值为0的问题，首先要明确两个必须同时满足的核心条件：一是分式的分子等于0，二是分式的分母不能为0（分母为0时分式无意义，不存在数值）。解题时先求出使分子为0的所有x的可能取值，再排除会导致分母为0的x值，剩余的就是正确结果。
【解析】
解：若分式$\frac{x^2 -9}{x+3}$的值为0，需同时满足以下两个条件：
1. 分子的值为0：
$x^2 -9 = 0$
解得$x^2=9$，即$x=3$或$x=-3$
2. 分母不为0（分式有意义的前提）：
$x+3 ≠ 0$
解得$x ≠ -3$
结合两个条件，排除不符合要求的$x=-3$，最终得$x=3$。
【答案】
A
【知识点】
1. 分式值为0的条件
2. 分式有意义的条件
3. 一元二次方程求解
【点评】
本题是分式章节的高频基础题，易错点是仅考虑分子为0的要求，忽略分母不能为0的限制，容易误选C选项，解题时需注意两个条件要同时验证。
【难度系数】
0.7
解决分式值为0的问题，首先要明确两个必须同时满足的核心条件：一是分式的分子等于0，二是分式的分母不能为0（分母为0时分式无意义，不存在数值）。解题时先求出使分子为0的所有x的可能取值，再排除会导致分母为0的x值，剩余的就是正确结果。
【解析】
解：若分式$\frac{x^2 -9}{x+3}$的值为0，需同时满足以下两个条件：
1. 分子的值为0：
$x^2 -9 = 0$
解得$x^2=9$，即$x=3$或$x=-3$
2. 分母不为0（分式有意义的前提）：
$x+3 ≠ 0$
解得$x ≠ -3$
结合两个条件，排除不符合要求的$x=-3$，最终得$x=3$。
【答案】
A
【知识点】
1. 分式值为0的条件
2. 分式有意义的条件
3. 一元二次方程求解
【点评】
本题是分式章节的高频基础题，易错点是仅考虑分子为0的要求，忽略分母不能为0的限制，容易误选C选项，解题时需注意两个条件要同时验证。
【难度系数】
0.7
【变式3】对于分式$\frac{2x+1}{|x|-2}$。
(1)当$x$为何值时，分式有意义？
(2)当$x$为何值时，分式的值为0？
(1)当$x$为何值时，分式有意义？
(2)当$x$为何值时，分式的值为0？
答案
解：
(1) 要使分式有意义，需满足分母不为0，
即 $|x| - 2 ≠ 0$，
解得 $|x| ≠ 2$，也就是 $x ≠ 2$ 且 $x ≠ -2$。
所以当$x ≠ 2$且$x ≠ -2$时，分式有意义。
(2) 要使分式的值为0，需满足分子为0，且分母不为0：
先令分子 $2x + 1 = 0$，
解得 $x = -\frac{1}{2}$。
当$x = -\frac{1}{2}$时，分母$|x| - 2 = \left|-\frac{1}{2}\right| - 2 = -\frac{3}{2} ≠ 0$，符合要求。
所以当$x = -\frac{1}{2}$时，分式的值为0。
(1) 要使分式有意义，需满足分母不为0，
即 $|x| - 2 ≠ 0$，
解得 $|x| ≠ 2$，也就是 $x ≠ 2$ 且 $x ≠ -2$。
所以当$x ≠ 2$且$x ≠ -2$时，分式有意义。
(2) 要使分式的值为0，需满足分子为0，且分母不为0：
先令分子 $2x + 1 = 0$，
解得 $x = -\frac{1}{2}$。
当$x = -\frac{1}{2}$时，分母$|x| - 2 = \left|-\frac{1}{2}\right| - 2 = -\frac{3}{2} ≠ 0$，符合要求。
所以当$x = -\frac{1}{2}$时，分式的值为0。
解析
【分析】
（1）判断分式有意义的核心依据是：分式的分母不能为0，因此只需令本题中的分母$|x|-2$不等于0，解出对应的x的取值范围即可。
（2）分式值为0需要同时满足两个条件：一是分子的值为0，二是分母的值不为0（保证分式本身有意义）。解题时先令分子等于0求出x的可能取值，再代入分母验证是否满足分母不为0的要求，排除不符合的取值后就是最终结果。
【解析】
(1) 要使分式有意义，需满足分母不为0，
即 $|x| - 2 ≠ 0$，
解得 $|x| ≠ 2$，也就是 $x ≠ 2$ 且 $x ≠ -2$。
所以当$x ≠ 2$且$x ≠ -2$时，分式有意义。
(2) 要使分式的值为0，需满足分子为0，且分母不为0：
先令分子 $2x + 1 = 0$，
解得 $x = -\frac{1}{2}$。
当$x = -\frac{1}{2}$时，分母$|x| - 2 = \left|-\frac{1}{2}\right| - 2 = -\frac{3}{2} ≠ 0$，符合要求。
所以当$x = -\frac{1}{2}$时，分式的值为0。
【答案】
(1) $x ≠ 2$且$x ≠ -2$；
(2) $x = -\frac{1}{2}$
【知识点】
1.分式有意义的条件
2.分式值为零的条件
3.绝对值的运算
【点评】
本题是分式章节的基础常考题，重点考察分式相关的核心限制条件，解题时要注意分式值为0的情况必须同时验证分子和分母的要求，切勿遗漏分母不为0的限制导致出错。
【难度系数】
0.8
（1）判断分式有意义的核心依据是：分式的分母不能为0，因此只需令本题中的分母$|x|-2$不等于0，解出对应的x的取值范围即可。
（2）分式值为0需要同时满足两个条件：一是分子的值为0，二是分母的值不为0（保证分式本身有意义）。解题时先令分子等于0求出x的可能取值，再代入分母验证是否满足分母不为0的要求，排除不符合的取值后就是最终结果。
【解析】
(1) 要使分式有意义，需满足分母不为0，
即 $|x| - 2 ≠ 0$，
解得 $|x| ≠ 2$，也就是 $x ≠ 2$ 且 $x ≠ -2$。
所以当$x ≠ 2$且$x ≠ -2$时，分式有意义。
(2) 要使分式的值为0，需满足分子为0，且分母不为0：
先令分子 $2x + 1 = 0$，
解得 $x = -\frac{1}{2}$。
当$x = -\frac{1}{2}$时，分母$|x| - 2 = \left|-\frac{1}{2}\right| - 2 = -\frac{3}{2} ≠ 0$，符合要求。
所以当$x = -\frac{1}{2}$时，分式的值为0。
【答案】
(1) $x ≠ 2$且$x ≠ -2$；
(2) $x = -\frac{1}{2}$
【知识点】
1.分式有意义的条件
2.分式值为零的条件
3.绝对值的运算
【点评】
本题是分式章节的基础常考题，重点考察分式相关的核心限制条件，解题时要注意分式值为0的情况必须同时验证分子和分母的要求，切勿遗漏分母不为0的限制导致出错。
【难度系数】
0.8
