三、解答题
13. 分解因式：
(1) $4x^3y^2 - 8x^2y^2$；
(2) $4x^4 + 4x^3 + x^2$。

解：
(1) 原式 = 4x²y²·x - 4x²y²·2
= 4x²y²(x - 2)
(2) 原式 = x²(4x² + 4x + 1)
= x²(2x + 1)²

【分析】
分解因式遵循“一提二套三查”的思路：第一步先提取多项式各项的公因式，第二步判断剩余多项式是否符合乘法公式的结构，若符合则套用公式继续分解，第三步检查是否分解到不能再分解为止。
(1) 观察$4x^3y^2 - 8x^2y^2$，先确定公因式：系数4和8的最大公约数是4，相同字母x的最低次幂是$x^2$，相同字母y的最低次幂是$y^2$，即公因式为$4x^2y^2$，提取公因式后剩余$x-2$，无法继续分解，即可得到结果。
(2) 观察$4x^4 + 4x^3 + x^2$，先提取公因式$x^2$，剩余多项式为$4x^2+4x+1$，符合完全平方公式$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$的结构，其中$a=2x$、$b=1$，套用公式继续分解，确认分解彻底即可得到结果。
【解析】
(1) 原式$= 4x^2y^2 · x - 4x^2y^2 · 2$
$= 4x^2y^2(x - 2)$
(2) 原式$= x^2(4x^2 + 4x + 1)$
$= x^2(2x + 1)^2$
【答案】
(1) $4x^2y^2(x - 2)$；(2) $x^2(2x + 1)^2$
【知识点】
提公因式法因式分解，完全平方公式因式分解
【点评】
本题是因式分解的基础题型，重点考查因式分解的基本步骤，熟练掌握公因式的确定方法和完全平方公式的结构特征，即可快速解题。
【难度系数】
0.9

14. 用简便方法计算：
(1)$4.3×199.7+7.5×199.7-1.8×199.7$；
(2)$2026^2+2026-2027^2$。

解：
(1) 原式$=199.7×(4.3 + 7.5 - 1.8)$
$=199.7×10$
$=1997$
(2) 原式$=2026×(2026 + 1) - 2027^2$
$=2026×2027 - 2027^2$
$=2027×(2026 - 2027)$
$=2027×(-1)$
$=-2027$

【分析】
(1) 观察算式可知三个乘积项都有共同因数199.7，可利用乘法分配律的逆运算（提取公因式），先把199.7提出来，计算括号内的加减得到整十数后再算乘法，能大幅简化计算步骤。
(2) 先观察前两项，都含有因数2026，先提取2026得到2026×2027，此时两项均含有公因式2027，再次提取公因式2027，计算括号内的减法后再算乘法，不需要计算大数的平方即可快速求解。
【解析】
(1) 原式$=199.7×(4.3 + 7.5 - 1.8)$
$=199.7×10$
$=1997$
(2) 原式$=2026×(2026 + 1) - 2027^2$
$=2026×2027 - 2027^2$
$=2027×(2026 - 2027)$
$=2027×(-1)$
$=-2027$
【答案】
(1) $\boxed{1997}$
(2) $\boxed{-2027}$
【知识点】
提取公因式法，简便运算，有理数混合运算
【点评】
本题是简便运算的常规题型，解题核心是观察算式结构找准公因式，通过提取公因式将复杂的大数运算转化为简单的小数字运算，能有效降低计算量、减少计算错误。
【难度系数】
0.8

15. 分解因式:
(1)$x^2 -4y(x-y)$;
(2)$(a-2)(a-4)+1$.

解：
(1) 原式$=x^2 -4xy +4y^2$
$=(x-2y)^2$
(2) 原式$=a^2 -6a +8 +1$
$=a^2 -6a +9$
$=(a-3)^2$

【分析】
分解因式的常规解题思路为：先观察原式结构，若存在乘法运算和括号，先通过整式乘法去掉括号，合并同类项将原式化为标准多项式形式，再判断其是否符合公式法分解因式的特征，选择对应公式完成分解。
(1)题先展开括号内的乘法运算，合并同类项后可得到完全平方式，再套用完全平方差公式分解即可；
(2)题先计算两个一次多项式的乘积，合并同类项后得到完全平方式，再套用完全平方差公式分解即可。
【解析】
(1) 先去括号展开运算：
原式$=x^2 -4xy +4y^2$
观察得到符合完全平方差公式形式，分解得：
$=(x-2y)^2$
(2) 先计算多项式乘法：
原式$=a^2 -6a +8 +1$
合并同类项得：
$=a^2 -6a +9$
观察得到符合完全平方差公式形式，分解得：
$=(a-3)^2$
【答案】
(1) $(x-2y)^2$；(2) $(a-3)^2$
【知识点】
整式乘法运算；完全平方公式分解因式；合并同类项
【点评】
这两道题是因式分解的基础典型题，解题核心是先通过整式运算化简原式，再根据化简后多项式的特征选择合适的分解方法，需注意运算过程中符号不要出错，分解结果要彻底。
【难度系数】
0.8

16. 在学习用乘法公式分解因式时,我们知道把多项式$a^2+2ab+b^2$及$a^2-2ab+b^2$叫作完全平方式. 老师布置了一道思维拓展题:代数式$x^2+2x+5$有最大值还是最小值? 求出这个最值. 小马的解题步骤如下:
解:$x^2+2x+5=x^2+2x+1+4=(x+1)^2+4$.
$\because (x+1)^2≥0$,
$\therefore (x+1)^2+4≥4$.
$\therefore x^2+2x+5$的最小值为4.
小马的解法及结果得到了老师的肯定,请根据上述内容完成以下问题:
(1)下列多项式:①$x^2+2x-1$;②$x^2-6x+9$;③$4x^2-12x+9$. 其中是完全平方式的有. (填序号)
(2)若$x^2+kx+16$是一个完全平方式,则$k$的值为. ($k$为常数)
(3)代数式$4x^2-12x+15$有最大值还是最小值? 求出这个最值.

解：
(1) ②③
(2) $\pm8$
(3) 代数式$4x^2-12x+15$有最小值。
$4x^2-12x+15=4x^2-12x+9+6=(2x-3)^2+6$
$\because (2x-3)^2≥0$，
$\therefore (2x-3)^2+6≥6$，
$\therefore 4x^2-12x+15$的最小值为6。

【分析】
本题围绕完全平方式展开，解题思路如下：
(1) 判断完全平方式需紧扣结构特征：形如$a^2\pm2ab+b^2$的式子才是完全平方式，逐一验证三个多项式是否符合该结构即可；
(2) 已知$x^2+kx+16$是完全平方式，先确定首尾两项对应$a^2$和$b^2$的部分，再根据中间交叉项为$\pm2ab$即可求出$k$的取值，注意不要漏负号；
(3) 求二次代数式的最值，用配方法将代数式变形为“完全平方式+常数”的形式，再结合平方的非负性（平方数大于等于0），即可判断最值情况并求出最值。
【解析】
(1) 逐一分析多项式：
① $x^2+2x-1$：常数项为$-1$，无法写成$b^2$的形式，不符合完全平方式结构；
② $x^2-6x+9=x^2-2· x·3+3^2$，符合完全平方式$a^2-2ab+b^2$的结构；
③ $4x^2-12x+9=(2x)^2-2·2x·3+3^2$，符合完全平方式$a^2-2ab+b^2$的结构；
故是完全平方式的为②③。
(2) $x^2+kx+16$中，首项$x^2=(x)^2$，末项$16=4^2$，根据完全平方式交叉项特征可得：
$kx=\pm2· x·4=\pm8x$，对比系数得$k=\pm8$。
(3) 用配方法变形代数式：
$4x^2-12x+15=4x^2-12x+9+6=(2x-3)^2+6$
$\because$ 任意实数的平方都是非负数，即$(2x-3)^2≥0$
$\therefore (2x-3)^2+6≥0+6=6$
因此代数式$4x^2-12x+15$有最小值，最小值为6。
【答案】
(1) ②③
(2) $\pm8$
(3) 有最小值，最小值为6
【知识点】
完全平方式的判定；配方法的应用；平方的非负性
【点评】
本题从完全平方式的识别、求参数到配方法求最值，逐层考查对完全平方式相关知识的掌握程度，解题核心是熟练掌握完全平方式的结构特征，配方法变形时注意不要改变原式的大小。
【难度系数】
0.7