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例2 如图3，直线$AB // CD$，点$E$，$F$分别在直线$AB$，$CD$上，连接$EF$，以点$E$为圆心，适当长为半径画弧，交射线$EA$于点$M$，交$EF$于点$N$。再分别以点$M$，$N$为圆心，大于$\frac{1}{2}MN$的长为半径画弧（两弧半径相等），两弧在$∠ AEF$的内部相交于点$H$，画射线$EH$交$CD$于点$G$，若$∠ AEF = 80°$，则$∠ EGF$的度数为（）。
A.$100°$
B.$80°$
C.$50°$
D.$40°$
解析 由作图得，$EG$平分$∠ AEF$，$∠ AEF = 80°$，
$\therefore ∠ AEG = \frac{1}{2}∠ AEF = 40°$。
$\because AB // CD$，
$\therefore ∠ EGF = ∠ AEG = 40°$。
故选D。
A.$100°$
B.$80°$
C.$50°$
D.$40°$
解析 由作图得，$EG$平分$∠ AEF$，$∠ AEF = 80°$，
$\therefore ∠ AEG = \frac{1}{2}∠ AEF = 40°$。
$\because AB // CD$，
$\therefore ∠ EGF = ∠ AEG = 40°$。
故选D。
答案
D
解析
【分析】
解题时首先根据题中的尺规作图步骤，识别出所作射线EG是∠AEF的角平分线；再结合已知∠AEF的度数，利用角平分线的定义求出∠AEG的度数；最后根据AB//CD的条件，利用平行线的内错角相等的性质，即可求出∠EGF的度数。
【解析】
由尺规作图的方法可知，EG平分∠AEF，
∵∠AEF = 80°，
∴$∠ AEG = \frac{1}{2}∠ AEF = \frac{1}{2} × 80° = 40°$，
又
∵$AB // CD$，
∴$∠ EGF = ∠ AEG = 40°$（两直线平行，内错角相等）。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
尺规作角平分线；角平分线的定义；平行线的性质
【点评】
本题难度较低，核心是先通过作图特征判断出角平分线，再结合平行线的性质计算角度，重点考查基础作图识别能力和几何基本性质的应用能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先根据题中的尺规作图步骤，识别出所作射线EG是∠AEF的角平分线；再结合已知∠AEF的度数，利用角平分线的定义求出∠AEG的度数；最后根据AB//CD的条件，利用平行线的内错角相等的性质，即可求出∠EGF的度数。
【解析】
由尺规作图的方法可知，EG平分∠AEF，
∵∠AEF = 80°，
∴$∠ AEG = \frac{1}{2}∠ AEF = \frac{1}{2} × 80° = 40°$，
又
∵$AB // CD$，
∴$∠ EGF = ∠ AEG = 40°$（两直线平行，内错角相等）。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
尺规作角平分线；角平分线的定义；平行线的性质
【点评】
本题难度较低，核心是先通过作图特征判断出角平分线，再结合平行线的性质计算角度，重点考查基础作图识别能力和几何基本性质的应用能力。
【难度系数】
0.7
例3 我们把两组邻边分别相等的四边形称为“筝形”. 
如图5，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O. 下列条件中，不能判断四边形ABCD是筝形的是（）.
A.$BO=DO$，$AC⊥ BD$
B.$∠ DAC=∠ BAC$，$AD=AB$
C.$∠ DAC=∠ BAC$，$∠ DCA=∠ BCA$
D.$∠ ADC=∠ ABC$，$BO=DO$
如图5，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O. 下列条件中，不能判断四边形ABCD是筝形的是（）.A.$BO=DO$，$AC⊥ BD$
B.$∠ DAC=∠ BAC$，$AD=AB$
C.$∠ DAC=∠ BAC$，$∠ DCA=∠ BCA$
D.$∠ ADC=∠ ABC$，$BO=DO$
答案
D
解析
【分析】
首先明确筝形的定义为两组邻边分别相等的四边形，因此判定筝形的核心是证明四边形满足AD=AB且CD=CB。我们可以结合三角形全等判定定理、垂直平分线的性质，逐个分析各选项给出的条件是否能推出两组邻边分别相等，无法推出的即为正确答案。
【解析】
根据筝形的定义：两组邻边分别相等的四边形是筝形，即需推出AD=AB、CD=CB才可判定为筝形。
选项A：已知BO=DO，AC⊥BD，因此AC是线段BD的垂直平分线。根据垂直平分线的性质，垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，点A、C都在AC上，因此AD=AB，CD=CB，满足筝形定义，可判定，不符合题意。
选项B：已知∠DAC=∠BAC，AD=AB，又有公共边AC=AC，可证△ADC≌△ABC（SAS），因此CD=CB，结合已知AD=AB，两组邻边分别相等，可判定为筝形，不符合题意。
选项C：已知∠DAC=∠BAC，∠DCA=∠BCA，又有公共边AC=AC，可证△ADC≌△ABC（ASA），因此AD=AB，CD=CB，满足筝形定义，可判定，不符合题意。
选项D：已知∠ADC=∠ABC，BO=DO，现有条件无法证明△ADC与△ABC全等，也无法推出AD=AB、CD=CB的结论，因此不能判定四边形ABCD是筝形，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
全等三角形的判定，垂直平分线的性质，新定义理解
【点评】
本题结合新定义考查几何判定，解题的关键是紧扣筝形的定义，将判定问题转化为证明邻边相等的问题，结合已学的全等、垂直平分线相关知识逐一验证选项即可。
【难度系数】
0.7
首先明确筝形的定义为两组邻边分别相等的四边形，因此判定筝形的核心是证明四边形满足AD=AB且CD=CB。我们可以结合三角形全等判定定理、垂直平分线的性质，逐个分析各选项给出的条件是否能推出两组邻边分别相等，无法推出的即为正确答案。
【解析】
根据筝形的定义：两组邻边分别相等的四边形是筝形，即需推出AD=AB、CD=CB才可判定为筝形。
选项A：已知BO=DO，AC⊥BD，因此AC是线段BD的垂直平分线。根据垂直平分线的性质，垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，点A、C都在AC上，因此AD=AB，CD=CB，满足筝形定义，可判定，不符合题意。
选项B：已知∠DAC=∠BAC，AD=AB，又有公共边AC=AC，可证△ADC≌△ABC（SAS），因此CD=CB，结合已知AD=AB，两组邻边分别相等，可判定为筝形，不符合题意。
选项C：已知∠DAC=∠BAC，∠DCA=∠BCA，又有公共边AC=AC，可证△ADC≌△ABC（ASA），因此AD=AB，CD=CB，满足筝形定义，可判定，不符合题意。
选项D：已知∠ADC=∠ABC，BO=DO，现有条件无法证明△ADC与△ABC全等，也无法推出AD=AB、CD=CB的结论，因此不能判定四边形ABCD是筝形，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
全等三角形的判定，垂直平分线的性质，新定义理解
【点评】
本题结合新定义考查几何判定，解题的关键是紧扣筝形的定义，将判定问题转化为证明邻边相等的问题，结合已学的全等、垂直平分线相关知识逐一验证选项即可。
【难度系数】
0.7
如图4，在$△ ABC$中，$AB=5$，$AD$平分$∠ BAC$交$BC$于点$D$，$DE⊥ AC$，垂足为$E$，$△ ABD$的面积为5，则$DE$的长为（
A.1
B.2
C.3
D.5
B
）。A.1
B.2
C.3
D.5
答案
B
解析
【分析】
解题时首先回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。我们已知AD是∠BAC的平分线，DE是D到AC边的距离，因此只需要求出D到AB边的距离，就可以得到DE的长度。结合给出的△ABD的面积和AB的边长，利用三角形面积公式即可求出D到AB的距离，进而得到DE的长。
【解析】
过点D作$DF⊥AB$，垂足为F。
∵AD平分$∠BAC$，$DE⊥AC$，$DF⊥AB$，
∴根据角平分线的性质可得$DF=DE$。
已知$△ABD$的面积为5，$AB=5$，由三角形面积公式：
$S_{△ ABD}=\frac{1}{2} × AB × DF$
代入数值：$5=\frac{1}{2} × 5 × DF$
解得：$DF=2$
∴$DE=DF=2$
【答案】
B
【知识点】
角平分线的性质；三角形面积计算
【点评】
本题是基础题，解题的关键是熟练掌握角平分线的性质，通过作辅助线构造出点到角两边的距离，再结合三角形面积公式即可快速求解。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。我们已知AD是∠BAC的平分线，DE是D到AC边的距离，因此只需要求出D到AB边的距离，就可以得到DE的长度。结合给出的△ABD的面积和AB的边长，利用三角形面积公式即可求出D到AB的距离，进而得到DE的长。
【解析】
过点D作$DF⊥AB$，垂足为F。
∵AD平分$∠BAC$，$DE⊥AC$，$DF⊥AB$，
∴根据角平分线的性质可得$DF=DE$。
已知$△ABD$的面积为5，$AB=5$，由三角形面积公式：
$S_{△ ABD}=\frac{1}{2} × AB × DF$
代入数值：$5=\frac{1}{2} × 5 × DF$
解得：$DF=2$
∴$DE=DF=2$
【答案】
B
【知识点】
角平分线的性质；三角形面积计算
【点评】
本题是基础题，解题的关键是熟练掌握角平分线的性质，通过作辅助线构造出点到角两边的距离，再结合三角形面积公式即可快速求解。
【难度系数】
0.7
如图6，工人师傅设计了一种测零件内径AB的卡钳，卡钳交叉点O为AA'，BB'的中点，只要量出A'B'的长度，就可以知道该零件内径AB的长度。该做法依据的数学基本事实是（
A. 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
解析 ∵BO＝DO，AC⊥BD，∴AC是BD的垂直平分线，∴AB＝AD，CB＝CD. ∴四边形ABCD是筝形，∴A选项不符合题意. 由“SAS”可证△ACD≌△ACB，∴CD＝CB，∴四边形ABCD是筝形，∴B选项不符合题意. 由“ASA”可证△ACD≌△ACB，∴AD＝AB，CD＝CB，∴四边形ABCD是筝形，∴C选项不符合题意. 由∠ADC＝∠ABC，BO＝DO，不能证明四边形ABCD是筝形，∴D选项符合题意. 故选D.
A
）。A. 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
解析 ∵BO＝DO，AC⊥BD，∴AC是BD的垂直平分线，∴AB＝AD，CB＝CD. ∴四边形ABCD是筝形，∴A选项不符合题意. 由“SAS”可证△ACD≌△ACB，∴CD＝CB，∴四边形ABCD是筝形，∴B选项不符合题意. 由“ASA”可证△ACD≌△ACB，∴AD＝AB，CD＝CB，∴四边形ABCD是筝形，∴C选项不符合题意. 由∠ADC＝∠ABC，BO＝DO，不能证明四边形ABCD是筝形，∴D选项符合题意. 故选D.
答案
A
解析
【分析】
要确定该测量方法的依据，首先结合已知条件分析三角形的对应边、对应角关系：已知O是AA'和BB'的中点，可得两组对应边相等，再结合交叉形成的对顶角相等，可推导两个三角形全等的判定条件，进而得到对应边AB和A'B'相等的核心依据。
【解析】
∵O为AA'、BB'的中点，
∴$AO = A'O$，$BO = B'O$，
在$△ AOB$和$△ A'OB'$中：
$\begin{cases}AO = A'O \\∠ AOB = ∠ A'OB' \quad (\mathrm{对顶角相等}) \\BO = B'O\end{cases}$
∴$△ AOB ≌ △ A'OB' \ (\mathrm{SAS})$，
∴$AB = A'B'$，
因此该做法依据的是两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
全等三角形SAS判定；对顶角的性质
【点评】
本题是全等三角形在实际测量中的应用，考查对全等三角形判定定理的理解与运用能力，要求能结合图形提取相等的边、角关系，属于基础应用类题目。
【难度系数】
0.8
要确定该测量方法的依据，首先结合已知条件分析三角形的对应边、对应角关系：已知O是AA'和BB'的中点，可得两组对应边相等，再结合交叉形成的对顶角相等，可推导两个三角形全等的判定条件，进而得到对应边AB和A'B'相等的核心依据。
【解析】
∵O为AA'、BB'的中点，
∴$AO = A'O$，$BO = B'O$，
在$△ AOB$和$△ A'OB'$中：
$\begin{cases}AO = A'O \\∠ AOB = ∠ A'OB' \quad (\mathrm{对顶角相等}) \\BO = B'O\end{cases}$
∴$△ AOB ≌ △ A'OB' \ (\mathrm{SAS})$，
∴$AB = A'B'$，
因此该做法依据的是两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
全等三角形SAS判定；对顶角的性质
【点评】
本题是全等三角形在实际测量中的应用，考查对全等三角形判定定理的理解与运用能力，要求能结合图形提取相等的边、角关系，属于基础应用类题目。
【难度系数】
0.8
