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8. 如图,边长为m的正方形纸片上剪去四个直径为d的半圆,则图中阴影部分的周长是。
答案
$\boldsymbol{4m + 2π d - 4d}$
解析
【分析】
要计算阴影部分的周长，需先明确阴影部分的周长由两部分组成：一是正方形各边剩余的直线段总长度，二是四个被剪去的半圆的弧长总和。第一步先计算弧长部分：已知每个半圆的直径为d，先算出单个半圆的弧长，再乘4得到所有弧长的和；第二步计算直线部分：正方形每条边长为m，每条边都被剪去了长度等于d的线段，先算每条边剩余的长度，再乘4得到直线段总长度；最后把两部分长度相加，即可得到阴影部分的总周长。
【解析】
解：阴影部分的周长由直线段和弧两部分组成：
1. 计算四个半圆的弧长总和：
单个半圆的弧长 = $\frac{1}{2} × π × d = \frac{1}{2}π d$
4个半圆的弧长总和 = $4 × \frac{1}{2}π d = 2π d$
2. 计算剩余直线段的总长度：
正方形每条边剩余长度 = $m - d$
4条边剩余直线段总长度 = $4(m - d) = 4m - 4d$
3. 阴影部分总周长 = 弧长总和 + 直线段总长度 = $2π d + 4m - 4d = 4m + 2π d - 4d$
【答案】
$\boldsymbol{4m + 2π d - 4d}$
【知识点】
周长的定义、圆的周长计算、列代数式
【点评】
本题属于组合图形周长计算类题目，解题的关键是准确梳理出构成阴影周长的所有边，避免漏算直线段被减去的部分或多算正方形被剪掉的边长，解题时可通过拆分图形边界的方法降低难度。
【难度系数】
0.6
要计算阴影部分的周长，需先明确阴影部分的周长由两部分组成：一是正方形各边剩余的直线段总长度，二是四个被剪去的半圆的弧长总和。第一步先计算弧长部分：已知每个半圆的直径为d，先算出单个半圆的弧长，再乘4得到所有弧长的和；第二步计算直线部分：正方形每条边长为m，每条边都被剪去了长度等于d的线段，先算每条边剩余的长度，再乘4得到直线段总长度；最后把两部分长度相加，即可得到阴影部分的总周长。
【解析】
解：阴影部分的周长由直线段和弧两部分组成：
1. 计算四个半圆的弧长总和：
单个半圆的弧长 = $\frac{1}{2} × π × d = \frac{1}{2}π d$
4个半圆的弧长总和 = $4 × \frac{1}{2}π d = 2π d$
2. 计算剩余直线段的总长度：
正方形每条边剩余长度 = $m - d$
4条边剩余直线段总长度 = $4(m - d) = 4m - 4d$
3. 阴影部分总周长 = 弧长总和 + 直线段总长度 = $2π d + 4m - 4d = 4m + 2π d - 4d$
【答案】
$\boldsymbol{4m + 2π d - 4d}$
【知识点】
周长的定义、圆的周长计算、列代数式
【点评】
本题属于组合图形周长计算类题目，解题的关键是准确梳理出构成阴影周长的所有边，避免漏算直线段被减去的部分或多算正方形被剪掉的边长，解题时可通过拆分图形边界的方法降低难度。
【难度系数】
0.6
9. 如图,外圆的半径是 R cm,内圆的半径是 r cm,四个小圆的半径都是 2 cm,则图中阴影部分的面积是 cm²。
答案
$\boldsymbol{π(R^2 - r^2 - 16)}$
解析
【分析】
这是一道组合图形求阴影面积的题目，采用“整体减空白”的思路求解即可：首先观察图形可知，阴影部分的面积等于外圆的总面积减去所有空白部分的面积，空白部分包括1个内圆和4个半径相同的小圆。我们只需要先回忆圆的面积公式，分别计算出各部分的面积，再做差化简代数式就能得到结果。
【解析】
解：圆的面积公式为$S=π× 半径^2$
1. 计算外圆面积：$S_{\mathrm{外圆}}=π R^2$
2. 计算中间内圆面积：$S_{\mathrm{内圆}}=π r^2$
3. 计算单个小圆面积：$S_{\mathrm{小圆}}=π×2^2=4π$，4个小圆的总面积为：$4× S_{\mathrm{小圆}}=4×4π=16π$
阴影部分面积=外圆面积-内圆面积-4个小圆的总面积，代入得：
$\begin{aligned}S_{\mathrm{阴影}}&=π R^2 - π r^2 - 16π\\&=π(R^2 - r^2 - 16)\end{aligned}$
【答案】
$\boldsymbol{π(R^2 - r^2 - 16)}$
【知识点】
圆的面积计算；列代数式；整式化简
【点评】
本题重点考查组合图形的面积计算，解题关键是明确阴影部分和整体、空白部分的面积关系，只要熟练掌握圆的面积公式，结合基本的代数式化简能力就可以顺利解答。
【难度系数】
0.8
这是一道组合图形求阴影面积的题目，采用“整体减空白”的思路求解即可：首先观察图形可知，阴影部分的面积等于外圆的总面积减去所有空白部分的面积，空白部分包括1个内圆和4个半径相同的小圆。我们只需要先回忆圆的面积公式，分别计算出各部分的面积，再做差化简代数式就能得到结果。
【解析】
解：圆的面积公式为$S=π× 半径^2$
1. 计算外圆面积：$S_{\mathrm{外圆}}=π R^2$
2. 计算中间内圆面积：$S_{\mathrm{内圆}}=π r^2$
3. 计算单个小圆面积：$S_{\mathrm{小圆}}=π×2^2=4π$，4个小圆的总面积为：$4× S_{\mathrm{小圆}}=4×4π=16π$
阴影部分面积=外圆面积-内圆面积-4个小圆的总面积，代入得：
$\begin{aligned}S_{\mathrm{阴影}}&=π R^2 - π r^2 - 16π\\&=π(R^2 - r^2 - 16)\end{aligned}$
【答案】
$\boldsymbol{π(R^2 - r^2 - 16)}$
【知识点】
圆的面积计算；列代数式；整式化简
【点评】
本题重点考查组合图形的面积计算，解题关键是明确阴影部分和整体、空白部分的面积关系，只要熟练掌握圆的面积公式，结合基本的代数式化简能力就可以顺利解答。
【难度系数】
0.8
10. 小华在学习了代数式的内容后,对用字母表示数产生了浓厚的兴趣,他用完全相同的小木棒搭建了如图所示的四个图形。
(1)观察图形,其中图①用了根小木棒,图②用了根小木棒,图③用了根小木棒。
(2)若按小华的方式继续搭建,猜想第n个图形中小木棒的根数是多少。
(3)根据(2)中的猜想,当n=300时,用了多少根小木棒?
(1)观察图形,其中图①用了根小木棒,图②用了根小木棒,图③用了根小木棒。
(2)若按小华的方式继续搭建,猜想第n个图形中小木棒的根数是多少。
(3)根据(2)中的猜想,当n=300时,用了多少根小木棒?
答案
解：
(1) 观察图形可得，图①用了$\boldsymbol{12}$根小木棒，图②用了$\boldsymbol{28}$根小木棒，图③用了$\boldsymbol{44}$根小木棒。
(2) 由前三个图形的小木棒数可得：
第1个图形：$12 = 16×1 - 4$
第2个图形：$28 = 16×2 - 4$
第3个图形：$44 = 16×3 - 4$
因此猜想第$n$个图形中小木棒的根数是$16n - 4$。
(3) 当$n=300$时，
$16×300 - 4 = 4800 - 4 = 4796$
答：当$n=300$时，用了4796根小木棒。
(1) 观察图形可得，图①用了$\boldsymbol{12}$根小木棒，图②用了$\boldsymbol{28}$根小木棒，图③用了$\boldsymbol{44}$根小木棒。
(2) 由前三个图形的小木棒数可得：
第1个图形：$12 = 16×1 - 4$
第2个图形：$28 = 16×2 - 4$
第3个图形：$44 = 16×3 - 4$
因此猜想第$n$个图形中小木棒的根数是$16n - 4$。
(3) 当$n=300$时，
$16×300 - 4 = 4800 - 4 = 4796$
答：当$n=300$时，用了4796根小木棒。
解析
【分析】
(1)第一问可通过直接逐个数每个图形的小木棒数量求解，计数时注意不重复、不遗漏。
(2)第二问找规律时，先列出前3个图形的小木棒数：12、28、44，观察可得后一个数比前一个数大16，属于公差为16的等差数列，结合项数n推导：首项为12，第n项可表示为12+16(n-1)，化简后就能得到通用的代数式。
(3)第三问是代数式求值问题，直接把n=300代入第二问得到的代数式计算即可得到结果。
【解析】
(1)经仔细计数：
图①用了12根小木棒，图②用了28根小木棒，图③用了44根小木棒。
(2)观察前三个图形的小木棒数：
第1个图形：$12 = 16×1 - 4$
第2个图形：$28 = 16×2 - 4$
第3个图形：$44 = 16×3 - 4$
由此可归纳，第n个图形中小木棒的根数为$16n-4$。
(3)当$n=300$时，代入代数式计算：
$16×300 - 4 = 4800 - 4 = 4796$（根）
【答案】
(1) $\boldsymbol{12}$，$\boldsymbol{28}$，$\boldsymbol{44}$
(2) 第$n$个图形中小木棒的根数是$\boldsymbol{16n-4}$
(3) 当$n=300$时，用了$\boldsymbol{4796}$根小木棒
【知识点】
图形规律探究，列代数式，代数式求值
【点评】
本题是典型的规律探究基础题，需要先从简单图形计数入手，找到数值的变化规律后归纳出通用代数式，最后代入计算，考查观察归纳能力和基础代数运算能力。
【难度系数】
0.7
(1)第一问可通过直接逐个数每个图形的小木棒数量求解，计数时注意不重复、不遗漏。
(2)第二问找规律时，先列出前3个图形的小木棒数：12、28、44，观察可得后一个数比前一个数大16，属于公差为16的等差数列，结合项数n推导：首项为12，第n项可表示为12+16(n-1)，化简后就能得到通用的代数式。
(3)第三问是代数式求值问题，直接把n=300代入第二问得到的代数式计算即可得到结果。
【解析】
(1)经仔细计数：
图①用了12根小木棒，图②用了28根小木棒，图③用了44根小木棒。
(2)观察前三个图形的小木棒数：
第1个图形：$12 = 16×1 - 4$
第2个图形：$28 = 16×2 - 4$
第3个图形：$44 = 16×3 - 4$
由此可归纳，第n个图形中小木棒的根数为$16n-4$。
(3)当$n=300$时，代入代数式计算：
$16×300 - 4 = 4800 - 4 = 4796$（根）
【答案】
(1) $\boldsymbol{12}$，$\boldsymbol{28}$，$\boldsymbol{44}$
(2) 第$n$个图形中小木棒的根数是$\boldsymbol{16n-4}$
(3) 当$n=300$时，用了$\boldsymbol{4796}$根小木棒
【知识点】
图形规律探究，列代数式，代数式求值
【点评】
本题是典型的规律探究基础题，需要先从简单图形计数入手，找到数值的变化规律后归纳出通用代数式，最后代入计算，考查观察归纳能力和基础代数运算能力。
【难度系数】
0.7
