10. 如图，C是线段AB的中点，D为线段CB上一点，有下列等式：①$BD = AC - CD$；②$BC = 2CD$；③$CD = AD - BC$；④$AD - BD = 2CD$。其中，正确的等式有 【 】

A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

C

【分析】
解题的核心是利用线段中点的性质得到AC=BC这一关键相等关系，再结合线段的和差规律，对四个等式逐一进行等量代换、化简验证，即可判断哪些等式成立。思考时先明确已知条件转化出的相等线段，再将每个等式左右两边的线段用基础线段拆分，对比化简后的结果是否相等。
【解析】
已知C是线段AB的中点，根据线段中点的定义可得：$\boldsymbol{AC=BC}$。我们逐个验证四个等式：
1. 验证①：
由线段和差关系可知$BC=CD+BD$，结合$BC=AC$，可得$AC=CD+BD$，移项得$BD=AC-CD$，故①正确。
2. 验证②：
题目仅说明D是线段CB上的任意一点，未说明D是BC的中点，因此CD和BD不一定相等，$BC=CD+BD$不一定等于$2CD$，故②错误。
3. 验证③：
由线段和差关系可知$AD=AC+CD$，结合$AC=BC$，可得$AD=BC+CD$，移项得$CD=AD-BC$，故③正确。
4. 验证④：
将线段拆分：$AD=AC+CD$，$BD=BC-CD$，结合$AC=BC$，代入得：
$AD-BD=(AC+CD)-(BC-CD)=AC+CD-AC+CD=2CD$，故④正确。
综上，①③④共3个等式正确。
【答案】
C
【知识点】
线段中点的定义；线段的和差运算
【点评】
本题重点考查线段的基础运算，解题时要抓住题目给出的确定条件，不要自行添加“D是BC中点”这类题目未给出的额外条件，通过等量代换逐一验证即可得到正确结论。
【难度系数】
0.7

11. 如图，已知线段AB = 16，C、D是线段AB上的两点，BC = $\frac{3}{5}$AC，BC = 2CD，则段AD的长为。

11. 7

【分析】
解题时首先观察线段的位置关系，已知AB总长，且AB是AC与BC的和，结合给出的BC与AC的比例关系，可以先求出AC和BC的长度；再根据BC与CD的数量关系求出CD的长度；最后由A、D、C的位置可知AD=AC-CD，代入数值即可算出AD的长度。
【解析】
解：
∵ 点C在AB上，
∴ AB = AC + BC = 16，
又
∵ BC = $\frac{3}{5}$AC，
将BC代入上式得：AC + $\frac{3}{5}$AC = 16，
即 $\frac{8}{5}$AC = 16，
解得 AC = 10，
∴ BC = 16 - 10 = 6，
∵ BC = 2CD，
∴ CD = $\frac{1}{2}$BC = $\frac{1}{2}$×6 = 3，
又
∵ 点D在A、C之间，
∴ AD = AC - CD = 10 - 3 = 7。
【答案】
7
【知识点】
线段的和差计算，比例的应用，线段长度计算
【点评】
本题是线段计算的基础题型，重点考查学生对线段位置关系的识别和和差、比例关系的应用，只要理清各线段的对应关系，就能顺利求解。
【难度系数】
0.8

12. 如图，已知点C、D、E在线段AB上，AB = 20，BC = 3AC.（1）求线段BC的长；（2）若CD = 4BD，E是CD的中点，求线段CE的长.

12. (1) 15 (2) 6

【分析】
（1）第一问可利用线段和的关系，线段AB被点C分为AC和BC两段，即AC+BC=AB，结合已知BC=3AC、AB=20的条件，先求出AC的长度，再计算BC的长度即可。
（2）第二问同样先利用线段和的关系，线段BC被点D分为CD和BD两段，即CD+BD=BC，结合已知CD=4BD和第一问求出的BC长度，先算出CD的长度，再根据中点的性质（中点将线段分为长度相等的两段），即可求出CE的长度。
【解析】
（1）
∵点C在线段AB上
∴$AC+BC=AB$
又
∵$BC=3AC$，$AB=20$
∴$AC+3AC=20$，即$4AC=20$
解得$AC=5$
∴$BC=3AC=3×5=15$
（2）
∵点D在线段BC上
∴$CD+BD=BC$
又
∵$CD=4BD$，$BC=15$
∴$4BD+BD=15$，即$5BD=15$
解得$BD=3$
∴$CD=4BD=4×3=12$
∵E是CD的中点
∴$CE=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}×12=6$
【答案】
（1）$\boxed{15}$；（2）$\boxed{6}$
【知识点】
线段的和差计算，线段中点的定义
【点评】
本题是线段长度计算的常规题型，解题核心是梳理清楚各线段之间的数量关系，结合已知条件逐步推导即可，计算难度较低，只要准确把握线段和差规律和中点性质就能顺利解答。
【难度系数】
0.7

13. 如图,已知点B、C在线段AD上.
(1) 图中共有条线段.
(2) 假设$AB = CD$.
① 比较线段的长短:$AC$ $BD$(填“＞”“=”或“＜”);
② 若$AB:BD = 1:4$, $BC = 12$, 求$AC$的长.
(3) 在(2)的条件下,点M是线段AB的中点,点N是线段BC的三等分点,求MN的长.

13. (1) 6 (2) ① = ② 因为$AB:BD = 1:4,AC = BD$,所以$AC = 4AB$.所以$BC = 3AB$.因为$BC = 12$,所以$AB = 4$.所以$AC = AB + BC = 16$ (3) 因为M为AB中点,所以$BM = \frac{1}{2}AB = 2$.当N是靠近点B的三等分点时,$BN = \frac{1}{3}BC = 4$,所以$MN = BM + BN = 6$;当N是靠近点C的三等分点时,$BN = \frac{2}{3}BC = 8$,所以$MN = BM + BN = 10$.综上,MN的长为6或10.

【分析】
(1) 数线段可按左端点分类计数：以A为左端点的线段有3条，以B为左端点的线段有2条，以C为左端点的线段有1条，相加即可得到总条数，避免重复或遗漏；
(2) ① 已知AB=CD，根据等式性质，两边同时加BC，可得AB+BC=CD+BC，即可判断AC和BD的大小关系；
② 由AB:BD=1:4，结合①中AC=BD的结论，可推出AC与AB的数量关系，再结合BC=AC-AB，代入BC=12即可求出AB的长，进而求出AC的长度；
(3) 先根据线段中点的定义求出BM的长度，由于BC的三等分点有2个，需分两种情况讨论：靠近B的三等分点、靠近C的三等分点，分别求出对应BN的长度，再结合MN=BM+BN计算即可，注意不要漏解。
【解析】
(1) 按左端点分类计数：$3+2+1=6$，故共有6条线段；
(2) ① $\because AB=CD$，$\therefore AB+BC=CD+BC$，即$AC=BD$；
② $\because AB:BD=1:4$，$AC=BD$，$\therefore AC=4AB$，
又$\because AC=AB+BC$，$\therefore BC=AC-AB=4AB-AB=3AB$，
已知$BC=12$，$\therefore 3AB=12$，解得$AB=4$，
$\therefore AC=AB+BC=4+12=16$；
(3) $\because$ 点M是AB的中点，$\therefore BM=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×4=2$，
点N是BC的三等分点，分两种情况：
当N是靠近点B的三等分点时，$BN=\frac{1}{3}BC=\frac{1}{3}×12=4$，$\therefore MN=BM+BN=2+4=6$；
当N是靠近点C的三等分点时，$BN=\frac{2}{3}BC=\frac{2}{3}×12=8$，$\therefore MN=BM+BN=2+8=10$；
综上，MN的长为6或10。
【答案】
(1) $\boxed{6}$；(2) ① $\boxed{=}$；② $\boxed{16}$；(3) $\boxed{6}$或$\boxed{10}$
【知识点】
线段计数，线段和差计算，线段等分点的定义
【点评】
本题是线段章节的典型综合题，既考察了线段计数的有序性，也考察了线段和差运算和等分点的性质，解题时要注意分类讨论思想的运用，避免出现漏解的情况。
【难度系数】
0.7

14. 如图，已知数轴上A、B两点所表示的数分别为-2和8.
（1）求线段AB的长.
（2）若P为射线BA上的一点（点P不与A、B两点重合），M为PA的中点，N为PB的中点，当点P在射线BA上运动时，MN的长度是否发生改变？若不变，请你画出图形，并求出线段MN的长；若改变，请说明理由.

14. (1) 因为A、B两点所表示的数分别为－2和8,所以$OA = 2, OB = 8$.所以$AB = OA + OB = 10$ (2) 线段MN的长度不发生变化,其值为5.(画图略)分两种情况:①当点P在A、B两点之间运动时,$MN = MP + NP = \frac{1}{2}AP + \frac{1}{2}BP = \frac{1}{2}AB = 5$; ②当点P在点A的左侧运动时,$MN = NP - MP = \frac{1}{2}BP - \frac{1}{2}AP = \frac{1}{2}AB = 5$. 综上所述,线段MN的长度不发生变化,其值为5

【分析】
（1）求数轴上两点间的线段长度，可根据两点表示的数直接计算：数轴上两点的距离等于右边点表示的数减去左边点表示的数，本题中A在原点左侧，B在原点右侧，也可以用A到原点的距离加B到原点的距离得到AB的长。
（2）首先确定射线BA上点P的位置有两种情况：①点P在A、B两点之间；②点P在点A的左侧，需分类讨论。结合线段中点的定义，将MN转化为与AP、BP相关的式子，再结合AB的长度推导MN的大小，判断是否变化。
【解析】
（1）已知A、B表示的数分别为-2和8，因此A到原点O的距离$OA=|-2|=2$，B到原点O的距离$OB=|8|=8$，所以线段AB的长为$AB=OA+OB=2+8=10$。
（2）线段MN的长度不发生变化，推导如下：
分两种情况讨论：
①当点P在A、B两点之间运动时：
∵M是PA的中点，N是PB的中点
∴$MP=\frac{1}{2}AP$，$NP=\frac{1}{2}BP$
∴$MN=MP+NP=\frac{1}{2}AP+\frac{1}{2}BP=\frac{1}{2}(AP+BP)=\frac{1}{2}AB$
代入$AB=10$，得$MN=\frac{1}{2}×10=5$
②当点P在点A的左侧运动时：
∵M是PA的中点，N是PB的中点
∴$MP=\frac{1}{2}AP$，$NP=\frac{1}{2}BP$
∴$MN=NP-MP=\frac{1}{2}BP-\frac{1}{2}AP=\frac{1}{2}(BP-AP)=\frac{1}{2}AB$
代入$AB=10$，得$MN=\frac{1}{2}×10=5$
综上所述，无论点P在射线BA上怎么运动，线段MN的长度都不发生变化。
【答案】
（1）$\boldsymbol{10}$；（2）线段MN的长度不发生改变，值为$\boldsymbol{5}$
【知识点】
数轴两点距离，线段中点定义，线段和差计算
【点评】
本题是数轴与线段计算结合的典型题型，需要掌握分类讨论的思想，对点P的不同位置进行全面分析，避免漏解，同时要熟练运用线段中点的性质进行线段的转化推导，能很好地考察逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7