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1. 一个直角三角形，若有一个锐角是$65°$，则另一个锐角是。
答案
$\boldsymbol{25°}$
解析
【分析】
解题时首先明确直角三角形的特征：存在一个内角为90°的直角，再结合三角形内角和为180°的定理，可推出直角三角形的两个锐角之和为90°，已知其中一个锐角的度数，用90°减去已知锐角度数即可求出未知锐角的度数。
【解析】
∵ 该三角形是直角三角形
∴ 该三角形有一个内角为90°
根据三角形内角和为180°，可得剩余两个锐角的和为：$180° - 90° = 90°$
已知其中一个锐角为$65°$，则另一个锐角的度数为：$90° - 65° = 25°$
【答案】
$\boldsymbol{25°}$
【知识点】
三角形内角和定理；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题属于基础概念应用题，核心考查三角形内角和性质与直角三角形的基本特征，熟记相关定理即可快速解题。
【难度系数】
0.9
解题时首先明确直角三角形的特征：存在一个内角为90°的直角，再结合三角形内角和为180°的定理，可推出直角三角形的两个锐角之和为90°，已知其中一个锐角的度数，用90°减去已知锐角度数即可求出未知锐角的度数。
【解析】
∵ 该三角形是直角三角形
∴ 该三角形有一个内角为90°
根据三角形内角和为180°，可得剩余两个锐角的和为：$180° - 90° = 90°$
已知其中一个锐角为$65°$，则另一个锐角的度数为：$90° - 65° = 25°$
【答案】
$\boldsymbol{25°}$
【知识点】
三角形内角和定理；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题属于基础概念应用题，核心考查三角形内角和性质与直角三角形的基本特征，熟记相关定理即可快速解题。
【难度系数】
0.9
2. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，若$∠ C=90°$，$∠ B=3∠ A$，则$∠ A=$。
答案
$\boldsymbol{22.5°}$
解析
【分析】
解题时首先回忆三角形内角和为180°，已知△ABC是直角三角形且∠C=90°，可推出两个锐角∠A与∠B的和为90°；再结合题目给出的∠B=3∠A的倍数关系，将∠B用∠A替换后即可建立关于∠A的等式，计算得出∠A的度数。
【解析】
解：
∵在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，根据三角形内角和定理
∴$∠ A + ∠ B + ∠ C = 180°$
∴$∠ A + ∠ B = 180° - 90° = 90°$
又
∵$∠ B = 3∠ A$
将$∠ B = 3∠ A$代入$∠ A + ∠ B = 90°$得：
$∠ A + 3∠ A = 90°$
$4∠ A = 90°$
∴$∠ A = 22.5°$
【答案】
$\boldsymbol{22.5°}$
【知识点】
三角形内角和定理；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是基础角度计算题，核心考查直角三角形的内角性质，结合角的倍分关系即可求解，难度较低，掌握基础定理是解题关键。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆三角形内角和为180°，已知△ABC是直角三角形且∠C=90°，可推出两个锐角∠A与∠B的和为90°；再结合题目给出的∠B=3∠A的倍数关系，将∠B用∠A替换后即可建立关于∠A的等式，计算得出∠A的度数。
【解析】
解：
∵在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，根据三角形内角和定理
∴$∠ A + ∠ B + ∠ C = 180°$
∴$∠ A + ∠ B = 180° - 90° = 90°$
又
∵$∠ B = 3∠ A$
将$∠ B = 3∠ A$代入$∠ A + ∠ B = 90°$得：
$∠ A + 3∠ A = 90°$
$4∠ A = 90°$
∴$∠ A = 22.5°$
【答案】
$\boldsymbol{22.5°}$
【知识点】
三角形内角和定理；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是基础角度计算题，核心考查直角三角形的内角性质，结合角的倍分关系即可求解，难度较低，掌握基础定理是解题关键。
【难度系数】
0.9
3.下列条件:①$∠ A+∠ B=∠ C$;②$∠ A:∠ B:∠ C=1:2:3$;③$∠ A=90°-∠ B$;④$∠ A=∠ B=∠ C$.其中能确定$△ ABC$是直角三角形的有(填序号).
答案
解：
① 已知∠A+∠B=∠C，结合三角形内角和∠A+∠B+∠C=180°，
可得2∠C=180°，解得∠C=90°，因此△ABC是直角三角形；
② 设∠A=x，∠B=2x，∠C=3x，根据三角形内角和为180°，
得x+2x+3x=180°，解得x=30°，则∠C=3×30°=90°，因此△ABC是直角三角形；
③ 由∠A=90°-∠B，可得∠A+∠B=90°，
则∠C=180°-(∠A+∠B)=90°，因此△ABC是直角三角形；
④ 由∠A=∠B=∠C，结合∠A+∠B+∠C=180°，
得3∠A=180°，解得∠A=60°，即三个内角均为60°，△ABC是等边三角形，不是直角三角形。
综上，能确定△ABC是直角三角形的有①②③。
① 已知∠A+∠B=∠C，结合三角形内角和∠A+∠B+∠C=180°，
可得2∠C=180°，解得∠C=90°，因此△ABC是直角三角形；
② 设∠A=x，∠B=2x，∠C=3x，根据三角形内角和为180°，
得x+2x+3x=180°，解得x=30°，则∠C=3×30°=90°，因此△ABC是直角三角形；
③ 由∠A=90°-∠B，可得∠A+∠B=90°，
则∠C=180°-(∠A+∠B)=90°，因此△ABC是直角三角形；
④ 由∠A=∠B=∠C，结合∠A+∠B+∠C=180°，
得3∠A=180°，解得∠A=60°，即三个内角均为60°，△ABC是等边三角形，不是直角三角形。
综上，能确定△ABC是直角三角形的有①②③。
解析
【分析】
要判断△ABC是否为直角三角形，核心是验证三角形中是否存在90°的内角，解题时结合三角形内角和为180°的定理，将每个给出的角的关系代入内角和公式计算，逐一判断每个条件是否能推出某一个内角为90°即可。
【解析】
① 已知∠A+∠B=∠C，结合三角形内角和∠A+∠B+∠C=180°，可得2∠C=180°，解得∠C=90°，因此△ABC是直角三角形；
② 设∠A=x，∠B=2x，∠C=3x，根据三角形内角和为180°，得x+2x+3x=180°，解得x=30°，则∠C=3×30°=90°，因此△ABC是直角三角形；
③ 由∠A=90°-∠B，可得∠A+∠B=90°，则∠C=180°-(∠A+∠B)=90°，因此△ABC是直角三角形；
④ 由∠A=∠B=∠C，结合∠A+∠B+∠C=180°，得3∠A=180°，解得∠A=60°，即三个内角均为60°，△ABC是等边三角形，不是直角三角形。
综上，能确定△ABC是直角三角形的为①②③。
【答案】
①②③
【知识点】
三角形内角和定理；直角三角形的判定
【点评】
本题是三角形形状判定的基础题，解题的关键是熟练掌握三角形内角和为180°的性质，结合给出的角的数量关系推导是否存在直角，注意要对每个条件逐一验证，避免漏判或错判。
【难度系数】
0.85
要判断△ABC是否为直角三角形，核心是验证三角形中是否存在90°的内角，解题时结合三角形内角和为180°的定理，将每个给出的角的关系代入内角和公式计算，逐一判断每个条件是否能推出某一个内角为90°即可。
【解析】
① 已知∠A+∠B=∠C，结合三角形内角和∠A+∠B+∠C=180°，可得2∠C=180°，解得∠C=90°，因此△ABC是直角三角形；
② 设∠A=x，∠B=2x，∠C=3x，根据三角形内角和为180°，得x+2x+3x=180°，解得x=30°，则∠C=3×30°=90°，因此△ABC是直角三角形；
③ 由∠A=90°-∠B，可得∠A+∠B=90°，则∠C=180°-(∠A+∠B)=90°，因此△ABC是直角三角形；
④ 由∠A=∠B=∠C，结合∠A+∠B+∠C=180°，得3∠A=180°，解得∠A=60°，即三个内角均为60°，△ABC是等边三角形，不是直角三角形。
综上，能确定△ABC是直角三角形的为①②③。
【答案】
①②③
【知识点】
三角形内角和定理；直角三角形的判定
【点评】
本题是三角形形状判定的基础题，解题的关键是熟练掌握三角形内角和为180°的性质，结合给出的角的数量关系推导是否存在直角，注意要对每个条件逐一验证，避免漏判或错判。
【难度系数】
0.85
4. 在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，点D在边AB上，$ED⊥ AB$于点D，$∠ AED=55°$.求$∠ B$的度数.
答案
解：
∵ $ED⊥AB$，
∴ $∠ ADE = 90°$，
在$\mathrm{Rt}△ ADE$中，$∠ A + ∠ AED = 90°$，
∵ $∠ AED = 55°$，
∴ $∠ A = 90° - 55° = 35°$，
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C = 90°$，
∴ $∠ A + ∠ B = 90°$，
∴ $∠ B = 90° - 35° = 55°$。
∵ $ED⊥AB$，
∴ $∠ ADE = 90°$，
在$\mathrm{Rt}△ ADE$中，$∠ A + ∠ AED = 90°$，
∵ $∠ AED = 55°$，
∴ $∠ A = 90° - 55° = 35°$，
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C = 90°$，
∴ $∠ A + ∠ B = 90°$，
∴ $∠ B = 90° - 35° = 55°$。
解析
【分析】
解题时先观察图形特征，已知ED垂直AB，可确定△ADE是直角三角形，结合已知的∠AED的度数，利用直角三角形两个锐角互余的性质先求出公共角∠A的度数；再在Rt△ABC中，再次运用直角三角形两锐角互余的性质，用90°减去∠A的度数即可求出∠B的度数。
【解析】
∵ $ED⊥AB$，
∴ $∠ ADE = 90°$，
在$\mathrm{Rt}△ ADE$中，$∠ A + ∠ AED = 90°$，
∵ $∠ AED = 55°$，
∴ $∠ A = 90° - 55° = 35°$，
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C = 90°$，
∴ $∠ A + ∠ B = 90°$，
∴ $∠ B = 90° - 35° = 55°$。
【答案】
$∠B=55°$
【知识点】
直角三角形两锐角互余；垂直的定义
【点评】
本题属于基础题型，考查直角三角形性质的应用，解题关键是将∠A作为中间衔接量，两次运用直角三角形两锐角互余的性质求解，逻辑清晰，计算量小。
【难度系数】
0.8
解题时先观察图形特征，已知ED垂直AB，可确定△ADE是直角三角形，结合已知的∠AED的度数，利用直角三角形两个锐角互余的性质先求出公共角∠A的度数；再在Rt△ABC中，再次运用直角三角形两锐角互余的性质，用90°减去∠A的度数即可求出∠B的度数。
【解析】
∵ $ED⊥AB$，
∴ $∠ ADE = 90°$，
在$\mathrm{Rt}△ ADE$中，$∠ A + ∠ AED = 90°$，
∵ $∠ AED = 55°$，
∴ $∠ A = 90° - 55° = 35°$，
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C = 90°$，
∴ $∠ A + ∠ B = 90°$，
∴ $∠ B = 90° - 35° = 55°$。
【答案】
$∠B=55°$
【知识点】
直角三角形两锐角互余；垂直的定义
【点评】
本题属于基础题型，考查直角三角形性质的应用，解题关键是将∠A作为中间衔接量，两次运用直角三角形两锐角互余的性质求解，逻辑清晰，计算量小。
【难度系数】
0.8
5.如图，AB，ED分别垂直于BD，垂足分别为B，D，且$∠ ACB = ∠ CED$.求证：$△ ACE$是直角三角形.
答案
证明：
∵ AB⊥BD，ED⊥BD，
∴ ∠B = ∠D = 90°，
∴ 在Rt△CDE中，∠CED + ∠DCE = 90°。
又∵ ∠ACB = ∠CED，
∴ ∠ACB + ∠DCE = 90°。
∵ 点B、C、D在同一直线上，
∴ ∠ACB + ∠ACE + ∠DCE = 180°，
∴ ∠ACE = 180° - (∠ACB + ∠DCE) = 180° - 90° = 90°，
∴ △ACE是直角三角形。
∵ AB⊥BD，ED⊥BD，
∴ ∠B = ∠D = 90°，
∴ 在Rt△CDE中，∠CED + ∠DCE = 90°。
又∵ ∠ACB = ∠CED，
∴ ∠ACB + ∠DCE = 90°。
∵ 点B、C、D在同一直线上，
∴ ∠ACB + ∠ACE + ∠DCE = 180°，
∴ ∠ACE = 180° - (∠ACB + ∠DCE) = 180° - 90° = 90°，
∴ △ACE是直角三角形。
解析
【分析】
要证明△ACE是直角三角形，只需证明其有一个内角为90°，也就是推导∠ACE=90°即可。首先根据垂直的性质可得到△CDE是直角三角形，利用直角三角形两锐角互余的性质得到∠CED与∠DCE的和为90°，再结合已知∠ACB=∠CED，通过等量代换可得到∠ACB与∠DCE的和为90°，最后根据B、C、D共线、平角为180°的性质，用平角度数减去∠ACB与∠DCE的和，即可求出∠ACE的度数为90°，完成证明。
【解析】
证明：
∵ AB⊥BD，ED⊥BD，
∴ ∠B = ∠D = 90°，
∴ 在Rt△CDE中，∠CED + ∠DCE = 90°。
又
∵ ∠ACB = ∠CED，
∴ ∠ACB + ∠DCE = 90°。
∵ 点B、C、D在同一直线上，
∴ ∠ACB + ∠ACE + ∠DCE = 180°，
∴ ∠ACE = 180° - (∠ACB + ∠DCE) = 180° - 90° = 90°，
∴ △ACE是直角三角形。
【答案】
△ACE是直角三角形，证明过程如上。
【知识点】
垂直的定义、直角三角形两锐角互余、平角的定义
【点评】
本题是基础的几何证明题，解题关键是理清角度之间的等量关系，通过已知条件逐步推导待证角的度数，能够帮助学生巩固角度计算相关的基础知识，锻炼逻辑推理能力。
【难度系数】
0.8
要证明△ACE是直角三角形，只需证明其有一个内角为90°，也就是推导∠ACE=90°即可。首先根据垂直的性质可得到△CDE是直角三角形，利用直角三角形两锐角互余的性质得到∠CED与∠DCE的和为90°，再结合已知∠ACB=∠CED，通过等量代换可得到∠ACB与∠DCE的和为90°，最后根据B、C、D共线、平角为180°的性质，用平角度数减去∠ACB与∠DCE的和，即可求出∠ACE的度数为90°，完成证明。
【解析】
证明：
∵ AB⊥BD，ED⊥BD，
∴ ∠B = ∠D = 90°，
∴ 在Rt△CDE中，∠CED + ∠DCE = 90°。
又
∵ ∠ACB = ∠CED，
∴ ∠ACB + ∠DCE = 90°。
∵ 点B、C、D在同一直线上，
∴ ∠ACB + ∠ACE + ∠DCE = 180°，
∴ ∠ACE = 180° - (∠ACB + ∠DCE) = 180° - 90° = 90°，
∴ △ACE是直角三角形。
【答案】
△ACE是直角三角形，证明过程如上。
【知识点】
垂直的定义、直角三角形两锐角互余、平角的定义
【点评】
本题是基础的几何证明题，解题关键是理清角度之间的等量关系，通过已知条件逐步推导待证角的度数，能够帮助学生巩固角度计算相关的基础知识，锻炼逻辑推理能力。
【难度系数】
0.8
6. 提升题 在$△ AOB$中，$∠ AOB=90°$，$C$为直线$AO$上的一个动点（与点$O,A$不重合），分别作$∠ OBC$和$∠ ACB$的平分线，两条角平分线所在直线相交于点$E$.
(1)若点$C$在线段$AO$上，如图①.
①依题意补全图①；
②$∠ BEC$的度数为________.
(2)当点$C$在$OA$的延长线上运动时，$∠ BEC$的度数是否变化？若不变，请说明理由；若变化，在图②中画出相应的图形，并直接写出$∠ BEC$的度数.
(1)若点$C$在线段$AO$上，如图①.
①依题意补全图①；
②$∠ BEC$的度数为________.
(2)当点$C$在$OA$的延长线上运动时，$∠ BEC$的度数是否变化？若不变，请说明理由；若变化，在图②中画出相应的图形，并直接写出$∠ BEC$的度数.
答案
解：
(1) ① 补全图形：作∠OBC的角平分线、∠ACB的角平分线，两线交于点E，图略。
② $\boldsymbol{45°}$
(2) $∠ BEC$的度数发生变化。
画出图形：点C在OA的延长线上（点A右侧），作∠OBC的平分线BE，作∠ACB的平分线CE，两线交于点E，图略。
$\boldsymbol{∠ BEC=135°}$
(1) ① 补全图形：作∠OBC的角平分线、∠ACB的角平分线，两线交于点E，图略。
② $\boldsymbol{45°}$
(2) $∠ BEC$的度数发生变化。
画出图形：点C在OA的延长线上（点A右侧），作∠OBC的平分线BE，作∠ACB的平分线CE，两线交于点E，图略。
$\boldsymbol{∠ BEC=135°}$
解析
【分析】
本题可结合角平分线定义、三角形内角和定理、三角形外角性质求解：
(1) ①补全图形只需按要求画出∠OBC和∠ACB的角平分线，交点标为E即可；②求∠BEC时，先利用三角形外角性质得到∠ACB=90°+∠OBC，再结合角平分线定义，通过△BEC的外角∠ACE与内角的关系推导得出∠BEC的度数。
(2) 当点C在OA延长线上时，先明确此时∠ACB与△OBC内角∠OCB相等，再在Rt△OBC中得到∠OBC+∠OCB=90°，结合角平分线定义和三角形内角和定理即可算出∠BEC的度数，对比(1)的结果判断是否变化。
【解析】
(1) ①作∠OBC的角平分线BE，作∠ACB的角平分线CE，两条平分线交于点E，补全图形即可，图略。
②推导过程：
∵∠ACB是△OBC的外角，∠AOB=90°，
∴∠ACB=∠AOB + ∠OBC = 90°+∠OBC，
∵CE平分∠ACB，BE平分∠OBC，
∴∠ACE = $\frac{1}{2}$∠ACB，∠EBC = $\frac{1}{2}$∠OBC，
又
∵∠ACE是△BEC的外角，
∴∠ACE = ∠BEC + ∠EBC，
∴∠BEC = ∠ACE - ∠EBC = $\frac{1}{2}$∠ACB - $\frac{1}{2}$∠OBC = $\frac{1}{2}$(∠ACB - ∠OBC) = $\frac{1}{2}$×90° = 45°。
(2) ∠BEC的度数发生变化，推导过程：
当点C在OA的延长线上时，∠ACB = ∠OCB，
在Rt△OBC中，∠AOB=90°，
∴∠OBC + ∠OCB = 90°，
∵BE平分∠OBC，CE平分∠ACB，
∴∠EBC = $\frac{1}{2}$∠OBC，∠ECB = $\frac{1}{2}$∠ACB = $\frac{1}{2}$∠OCB，
∴∠EBC + ∠ECB = $\frac{1}{2}$(∠OBC + ∠OCB) = $\frac{1}{2}$×90° = 45°，
在△BEC中，由三角形内角和为180°可得：
∠BEC = 180° - (∠EBC + ∠ECB) = 180° - 45° = 135°。
画图说明：在OA延长线上取点C，作∠OBC的平分线BE、∠ACB的平分线CE，两线交于点E即可，图略。
【答案】
(1) ①补图略；②$\boldsymbol{45°}$
(2) 度数发生变化，画图略，$\boldsymbol{∠BEC=135°}$
【知识点】
角平分线的定义；三角形内角和定理；三角形外角的性质
【点评】
本题是三角形性质的综合应用类题型，解题关键是根据动点的不同位置准确识别角之间的关系，结合相关性质分情况计算，注意不要忽略动点位置改变带来的角的对应关系变化。
【难度系数】
0.6
本题可结合角平分线定义、三角形内角和定理、三角形外角性质求解：
(1) ①补全图形只需按要求画出∠OBC和∠ACB的角平分线，交点标为E即可；②求∠BEC时，先利用三角形外角性质得到∠ACB=90°+∠OBC，再结合角平分线定义，通过△BEC的外角∠ACE与内角的关系推导得出∠BEC的度数。
(2) 当点C在OA延长线上时，先明确此时∠ACB与△OBC内角∠OCB相等，再在Rt△OBC中得到∠OBC+∠OCB=90°，结合角平分线定义和三角形内角和定理即可算出∠BEC的度数，对比(1)的结果判断是否变化。
【解析】
(1) ①作∠OBC的角平分线BE，作∠ACB的角平分线CE，两条平分线交于点E，补全图形即可，图略。
②推导过程：
∵∠ACB是△OBC的外角，∠AOB=90°，
∴∠ACB=∠AOB + ∠OBC = 90°+∠OBC，
∵CE平分∠ACB，BE平分∠OBC，
∴∠ACE = $\frac{1}{2}$∠ACB，∠EBC = $\frac{1}{2}$∠OBC，
又
∵∠ACE是△BEC的外角，
∴∠ACE = ∠BEC + ∠EBC，
∴∠BEC = ∠ACE - ∠EBC = $\frac{1}{2}$∠ACB - $\frac{1}{2}$∠OBC = $\frac{1}{2}$(∠ACB - ∠OBC) = $\frac{1}{2}$×90° = 45°。
(2) ∠BEC的度数发生变化，推导过程：
当点C在OA的延长线上时，∠ACB = ∠OCB，
在Rt△OBC中，∠AOB=90°，
∴∠OBC + ∠OCB = 90°，
∵BE平分∠OBC，CE平分∠ACB，
∴∠EBC = $\frac{1}{2}$∠OBC，∠ECB = $\frac{1}{2}$∠ACB = $\frac{1}{2}$∠OCB，
∴∠EBC + ∠ECB = $\frac{1}{2}$(∠OBC + ∠OCB) = $\frac{1}{2}$×90° = 45°，
在△BEC中，由三角形内角和为180°可得：
∠BEC = 180° - (∠EBC + ∠ECB) = 180° - 45° = 135°。
画图说明：在OA延长线上取点C，作∠OBC的平分线BE、∠ACB的平分线CE，两线交于点E即可，图略。
【答案】
(1) ①补图略；②$\boldsymbol{45°}$
(2) 度数发生变化，画图略，$\boldsymbol{∠BEC=135°}$
【知识点】
角平分线的定义；三角形内角和定理；三角形外角的性质
【点评】
本题是三角形性质的综合应用类题型，解题关键是根据动点的不同位置准确识别角之间的关系，结合相关性质分情况计算，注意不要忽略动点位置改变带来的角的对应关系变化。
【难度系数】
0.6
