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10. 「2025 甘肃陇南武都期末，★☆」已知 $\begin{cases}x = 2,\\y = 1\end{cases}$ 是二元一次方程组 $\begin{cases}mx + ny = 8,\\nx - my = 1\end{cases}$ 的解，则 $2m - n$ 的值是 ( )
A.4
B.1
C.2
D.-2
A.4
B.1
C.2
D.-2
答案
10. A 把 $\begin{cases}x = 2\\y = 1\end{cases}$ 代入二元一次方程组 $\begin{cases}mx + ny = 8\\nx - my = 1\end{cases}$，
可得 $\begin{cases}2m + n = 8 ①\\2n - m = 1 ②\end{cases}$，由②得 $m = 2n - 1$ ③，
把③代入①，得 $2(2n - 1) + n = 8$，解得 $n = 2$，
把 $n = 2$ 代入③，得 $m = 2×2 - 1 = 3$，
$\therefore 2m - n = 2×3 - 2 = 6 - 2 = 4$。故选 A。
可得 $\begin{cases}2m + n = 8 ①\\2n - m = 1 ②\end{cases}$，由②得 $m = 2n - 1$ ③，
把③代入①，得 $2(2n - 1) + n = 8$，解得 $n = 2$，
把 $n = 2$ 代入③，得 $m = 2×2 - 1 = 3$，
$\therefore 2m - n = 2×3 - 2 = 6 - 2 = 4$。故选 A。
11. 「2025 四川凉山州中考改编，★☆」若 $(3x + 2y - 19)^2 + 2x + y - 11 = 0$，则 $x + y$ 的立方根是
2
。答案
11. 答案 2
解析 $\because (3x + 2y - 19)^2 + |2x + y - 11| = 0$，
$\therefore \begin{cases}3x + 2y - 19 = 0 ①\\2x + y - 11 = 0 ②\end{cases}$，由②得 $y = 11 - 2x$ ③，
把③代入①，得 $3x + 2(11 - 2x) - 19 = 0$，解得 $x = 3$。
把 $x = 3$ 代入③，得 $y = 11 - 2×3 = 5$。
$\therefore x + y = 3 + 5 = 8$，$\therefore x + y$ 的立方根是 2。
解析 $\because (3x + 2y - 19)^2 + |2x + y - 11| = 0$，
$\therefore \begin{cases}3x + 2y - 19 = 0 ①\\2x + y - 11 = 0 ②\end{cases}$，由②得 $y = 11 - 2x$ ③，
把③代入①，得 $3x + 2(11 - 2x) - 19 = 0$，解得 $x = 3$。
把 $x = 3$ 代入③，得 $y = 11 - 2×3 = 5$。
$\therefore x + y = 3 + 5 = 8$，$\therefore x + y$ 的立方根是 2。
12. 「2024 山西中考改编，★☆」当下电子产品更新换代的速度加快，废旧智能手机的数量不断增加。科学处理废旧智能手机，既可减少环境污染，还可回收其中的可利用资源。据研究，从每吨废旧智能手机中能提炼出的白银比黄金多 760 克。已知从 2.5 吨废旧智能手机中提炼出的黄金克数与从 0.6 吨废旧智能手机中提炼出的白银克数相等。求从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金与白银各多少克。
答案
12. 解析 设从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金 $x$ 克，白银 $y$ 克。
根据题意，得 $\begin{cases}y = x + 760 ①\\2.5x = 0.6y ②\end{cases}$，
将①代入②，得 $2.5x = 0.6(x + 760)$，解得 $x = 240$，
将 $x = 240$ 代入①，得 $y = 1000$，所以方程组的解为 $\begin{cases}x = 240\\y = 1000\end{cases}$。
答：从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金 240 克，白银 1000 克。
根据题意，得 $\begin{cases}y = x + 760 ①\\2.5x = 0.6y ②\end{cases}$，
将①代入②，得 $2.5x = 0.6(x + 760)$，解得 $x = 240$，
将 $x = 240$ 代入①，得 $y = 1000$，所以方程组的解为 $\begin{cases}x = 240\\y = 1000\end{cases}$。
答：从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金 240 克，白银 1000 克。
13. 新课标 新考向 「2025 江苏泰州期中改编」阅读探索。
材料一：解方程组 $\begin{cases}(a - 1) + 2(b + 2) = 6,\\2(a - 1) + (b + 2) = 6\end{cases}$ 时，采用了一种“换元法”，解法如下：
解：设 $\begin{cases}a - 1 = x,\\b + 2 = y,\end{cases}$ 则原方程组可化为 $\begin{cases}x + 2y = 6,\\2x + y = 6,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}x = 2,\\y = 2,\end{cases}$ 即 $\begin{cases}a - 1 = 2,\\b + 2 = 2,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}a = 3,\\b = 0.\end{cases}$
材料二：解方程组 $\begin{cases}4x + 10y = 6 ①,\\8x + 22y = 10 ②\end{cases}$ 时，采用了一种“整体代换”的解法，解法如下：
解：将方程②变形为 $2(4x + 10y) + 2y = 10$ ③，把方程①代入③，得 $2×6 + 2y = 10$，解得 $y = -1$，把 $y = -1$ 代入①，得 $4x - 10 = 6$，解得 $x = 4$，所以原方程组的解为 $\begin{cases}x = 4,\\y = -1.\end{cases}$
根据上述材料，解决下列问题：
（1）运用“换元法”求关于 $a$，$b$ 的方程组 $\begin{cases}(\dfrac{a}{2} - 1) + 2(b - 2) = 4,\\2(\dfrac{a}{2} - 1) + (b - 2) = 5\end{cases}$ 的解。
（2）若关于 $x$，$y$ 的方程组 $\begin{cases}a_1x + b_1y = c_1,\\a_2x + b_2y = c_2\end{cases}$ 的解为 $\begin{cases}x = 5,\\y = 6,\end{cases}$ 求关于 $m$，$n$ 的方程组 $\begin{cases}5a_1(m - 3) + 3b_1(n + 2) = c_1,\\5a_2(m - 3) + 3b_2(n + 2) = c_2\end{cases}$ 的解。
（3）已知 $x$，$y$，$z$ 满足 $\begin{cases}3x + 4y + 6z = 5,\\x + y + 2z = 1,\end{cases}$ 运用“整体代换”的方法求 $y$ 的值。
材料一：解方程组 $\begin{cases}(a - 1) + 2(b + 2) = 6,\\2(a - 1) + (b + 2) = 6\end{cases}$ 时，采用了一种“换元法”，解法如下：
解：设 $\begin{cases}a - 1 = x,\\b + 2 = y,\end{cases}$ 则原方程组可化为 $\begin{cases}x + 2y = 6,\\2x + y = 6,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}x = 2,\\y = 2,\end{cases}$ 即 $\begin{cases}a - 1 = 2,\\b + 2 = 2,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}a = 3,\\b = 0.\end{cases}$
材料二：解方程组 $\begin{cases}4x + 10y = 6 ①,\\8x + 22y = 10 ②\end{cases}$ 时，采用了一种“整体代换”的解法，解法如下：
解：将方程②变形为 $2(4x + 10y) + 2y = 10$ ③，把方程①代入③，得 $2×6 + 2y = 10$，解得 $y = -1$，把 $y = -1$ 代入①，得 $4x - 10 = 6$，解得 $x = 4$，所以原方程组的解为 $\begin{cases}x = 4,\\y = -1.\end{cases}$
根据上述材料，解决下列问题：
（1）运用“换元法”求关于 $a$，$b$ 的方程组 $\begin{cases}(\dfrac{a}{2} - 1) + 2(b - 2) = 4,\\2(\dfrac{a}{2} - 1) + (b - 2) = 5\end{cases}$ 的解。
（2）若关于 $x$，$y$ 的方程组 $\begin{cases}a_1x + b_1y = c_1,\\a_2x + b_2y = c_2\end{cases}$ 的解为 $\begin{cases}x = 5,\\y = 6,\end{cases}$ 求关于 $m$，$n$ 的方程组 $\begin{cases}5a_1(m - 3) + 3b_1(n + 2) = c_1,\\5a_2(m - 3) + 3b_2(n + 2) = c_2\end{cases}$ 的解。
（3）已知 $x$，$y$，$z$ 满足 $\begin{cases}3x + 4y + 6z = 5,\\x + y + 2z = 1,\end{cases}$ 运用“整体代换”的方法求 $y$ 的值。
答案
13. 解析 (1) 设 $\frac{a}{2} - 1 = x$，$b - 2 = y$，则原方程组可化为 $\begin{cases}x + 2y = 4\\2x + y = 5\end{cases}$，解得 $\begin{cases}x = 2\\y = 1\end{cases}$，即 $\begin{cases}\frac{a}{2} - 1 = 2\\b - 2 = 1\end{cases}$，解得 $\begin{cases}a = 6\\b = 3\end{cases}$。
(2) 因为关于 $x$，$y$ 的方程组 $\begin{cases}a_1x + b_1y = c_1\\a_2x + b_2y = c_2\end{cases}$ 的解为 $\begin{cases}x = 5\\y = 6\end{cases}$，所以 $\begin{cases}5(m - 3) = 5\\3(n + 2) = 6\end{cases}$，解得 $\begin{cases}m = 4\\n = 0\end{cases}$。
(3) 因为 $3x + 4y + 6z = 5$，
所以 $3x + 4y + 6z = 3(x + y + 2z) + y = 5$，
因为 $x + y + 2z = 1$，所以 $3 + y = 5$，解得 $y = 2$。
(2) 因为关于 $x$，$y$ 的方程组 $\begin{cases}a_1x + b_1y = c_1\\a_2x + b_2y = c_2\end{cases}$ 的解为 $\begin{cases}x = 5\\y = 6\end{cases}$，所以 $\begin{cases}5(m - 3) = 5\\3(n + 2) = 6\end{cases}$，解得 $\begin{cases}m = 4\\n = 0\end{cases}$。
(3) 因为 $3x + 4y + 6z = 5$，
所以 $3x + 4y + 6z = 3(x + y + 2z) + y = 5$，
因为 $x + y + 2z = 1$，所以 $3 + y = 5$，解得 $y = 2$。
