14. 如图,某娱乐休闲景区内有两条小路AC与BD相交于点C,咖啡厅和购物商店分别在点A和点C处,景区管理员打算在BD上方区域内的点Q处修建游客服务区,要求点Q到AC的距离与点Q到BD的距离相等,且AQ= CQ.请你帮景区管理员找出点Q.(尺规作图,保留作图痕迹,不写作法)

如图，有两个满足条件的点Q.
　　　　 　　

15. 教材变式 如图,在△ABC中,O是∠ABC,∠ACB的平分线的交点,O'是∠ABC,∠ACB外角的平分线的交点.
(1)点O'在∠A的平分线上吗? 为什么?
(2)求证:∠BOC+∠BO'C= 180°.

(1)点O'在∠A的平分线上.理由如下:如图,过点O'作O'F⊥AD于点F,作O'G⊥BC于点G,作O'H⊥AE于点H;∵O'是∠ABC,∠ACB 外角的平分线的交点，∴O'F=O'G,O'G=O'H,∴O'F=O'G=O'H,∴点O'在∠A的平分线上
　　(2)∵O是∠ABC,∠ACB的平分线的交点,∴$∠OBC=\frac{1}{2}$∠ABC.∵O'是∠ABC,∠ACB外角的平分线的交点,∴$∠CBO'=\frac{1}{2}$∠CBD.∵∠ABC+∠CBD=180°,∴$∠OBC+∠CBO'=\frac{1}{2}$×180°=90°.同理可得∠OCB+∠BCO'=90°.在四边形OBO'C中,∵∠OBO'+∠BOC+∠OCO'+∠BO'C=∠OBC+∠BOC+∠OCB+∠BCO'+∠CO'B+∠O'BC=360°,∴∠BOC+∠BO'C=360°−(∠OBC+∠CBO')−(∠OCB+∠BCO')=180°.

16. 已知点C是∠MAN平分线上的一点,∠BCD的两边CB,CD分别与射线AM,AN相交于B,D两点,且∠ABC+∠ADC= 180°.过点C作CE⊥AB,垂足为E.
(1)如图①,当点E在线段AB上时,求证:BC= DC;
(2)如图②,当点E在线段AB的延长线上时,探究线段AB,AD与BE之间的等量关系,并说明理由;
(3)如图③,在(2)的条件下,若∠MAN= 60°,连接BD,作∠ABD的平分线BF交AD于点F,交AC于点O,连接DO并延长交AB于点G.若BG= 1,DF= 2,求线段DB的长.

(1)如图①,过点C作CF⊥AN,垂足为F,∵AC平分∠MAN,CE⊥AB,CF⊥AN,∴CE=CF.∵∠CBE+∠ADC=180°,∠CDF+∠ADC=180°,∴∠CBE=∠CDF.在△BCE和△DCF中,$\left\{\begin{array}{l} ∠CBE=∠CDF,\\ ∠CEB=∠CFD=90°,\\ CE=CF,\end{array}\right. $∴△BCE≌△DCF(AAS),∴BC=DC.
　(2)AD−AB=2BE,理由如下:如图②,过点C作CF⊥AD,垂足为F.∵AC平分∠MAN,CE⊥AB,CF⊥AD,∴CE=CF.∵∠ABC+∠ADC=180°,∠ABC+∠CBE=180°,∴∠CDF=∠CBE.在△BCE和△DCF中,$\left\{\begin{array}{l} ∠CBE=∠CDF,\\ ∠CEB=∠CFD=90°,\\ CE=CF,\end{array}\right. $∴△BCE≌△DCF(AAS),∴DF=BE;∵CF=CE,AC=AC,∴Rt△ACF≌Rt△ACE(HL),∴AF=AE,∴AD=AF+DF=AE+DF=AB+BE+DF=AB+2BE;∴AD−AB=2BE.
　(3)如图③,在BD上截取BH=BG,连接OH.∵BH=BG,∠OBH=∠OBG,OB=OB,∴△OBH≌△OBG(SAS),∴∠OHB=∠OGB.∵AO是∠MAN的平分线,BO是∠ABD的平分线,∴点O到AD,AB,BD的距离相等，∴∠ODH=∠ODF.∵∠OHB=∠ODH+∠DOH,∠OGB=∠ODF+∠DAB,∴∠DOH=∠DAB=60°,∴∠GOH=120°,∴∠BOG=∠BOH=60°,∴∠DOH=∠BOG=60°,∴∠DOH=∠DOF.在△ODH和△ODF中,$\left\{\begin{array}{l} ∠DOH=∠DOF,\\ OD=OD,\\ ∠ODH=∠ODF,\end{array}\right. $∴△ODH≌△ODF(ASA),∴DH=DF,∴DB=DH+BH=DF+BG=2+1=3.