7. 如图,四边形ABCD中,CD= CB,AC平分∠DAB,CF⊥AB于点F,CE⊥AD的延长线于点E.
(1)求证:∠ADC+∠B= 180°;
(2)若AD= 2,AB= 7,请直接写出AF的长.

(1)∵AC平分∠DAB,CF⊥AB,CE⊥AD,∴CE=CF,∠EAC=∠BAC;在Rt△CDE和Rt△CBF中,$\left\{\begin{array}{l} CE=CF,\\ CD=CB,\end{array}\right. $∴Rt△CDE≌Rt△CBF(HL),∴∠B=∠CDE.∵∠CDE+∠ADC=180°,∴∠ADC+∠B=180°.
　(2)AF的长为$\frac{9}{2}$.　　解析:∵Rt△CDE≌Rt△CBF,∴BF=DE.∵∠EAC=∠BAC,∠E=∠AFC=90°,∴∠ACE=∠ACF;又∵CF⊥AB,CE⊥AD,∴AE=AF;∵AD+AB=AE−DE+AF+BF=2AF,AD=2,AB=7,∴AF=$\frac{1}{2}$(AD+AB)=$\frac{9}{2}$

8. (2025·南京期末)点P在∠AOB的平分线OC上,M,N分别是∠AOB两边上的动点,连接PM,PN.若PM= PN,则∠PMO与∠PNO之间的关系是()
A. 互余
B. 相等
C. 互补
D. 相等或互补

D　解析:如图,作PF⊥OA于点F,PE⊥OB于点E,则∠PFM=∠PEN=90°.∵点P在∠AOB的平分线OC上,∴PE=PF.在Rt△PMF和Rt△PNE中,$\left\{\begin{array}{l} PM=PN,\\ PF=PE,\end{array}\right. $∴Rt△PMF≌Rt△PNE(HL).
　有以下四种情况:
　　　　　　
　由图①,②可得∠PMO=∠PNO,由图③,④可得∠PMO+∠PNO=180°,故∠PMO与∠PNO之间的关系是相等或互补,故选D.

9. (牡丹江中考)如图,直线$l_1,l_2,l_3$表示三条相互交叉

的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地址有()
A. 一处
B. 二处
C. 三处
D. 四处

D　解析:如图，可供选择的地址有四处，故选D.
　　　　　　　　　

10. (2024·绵阳期中)如图,CD是△ABC的角平分线,△ABC的面积为12,BC的长为6,点E,F分别是CD,AC上的动点,则AE+EF的最小值是()

A. 6
B. 4
C. 3
D. 2

B　解析:如图,作点A关于CD的对称点H,∵CD是△ABC的角平分线,∴点H一定在BC上,且AE+EF=HE+EF.过H作HF⊥AC交AC于F，交CD于E，则此时HE+EF的值最小，即AE+EF的最小值是HF的长度.过A作AG⊥BC于G,∵△ABC的面积为12,BC长为6,∴$\frac{1}{2}$AG×BC=12,∴AG=4.∵CD垂直平分AH,∴AC=CH,∴$S_{△ACH}=\frac{1}{2}$AC·HF=$\frac{1}{2}$CH·AG,∴HF=AG=4,∴AE+EF的最小值是4,故选B.
　　　　　　　　　　　　　　　　　

11. 如图,已知∠B= ∠C= 90°,E是BC的中点,DE平分∠ADC,∠CED= 35°,则∠EAB是______°.

35　解析:过点E作EF⊥AD,∵DE平分∠ADC,且E是BC的中点,∴CE=EB=EF.又∵∠B=90°,且AE=AE,∴Rt△ABE≌Rt△AFE.∴∠EAB=∠EAF.又∵∠CED=35°,∠C=90°,∴∠CDE=90°−35°=55°,∴∠CDA=110°.∵∠B=∠C=90°,∴DC//AB,∴∠CDA+∠DAB=180°,∴∠DAB=70°,∴∠EAB=35°.

12. (2024·汕头校级期末)如图,在△ABC中,E为AC的中点,AD平分∠BAC,BA:CA= 2:3,AD与BE相交于点O,若△OAE的面积比△BOD的面积大a,则△ABC的面积是______.

10a　解析:作DM⊥AC于M,DN⊥AB于N.∵AD平分∠BAC,DM⊥AC于M,DN⊥AB于N,∴DM=DN,∴$S_{△ABD}:S_{△ADC}=(\frac{1}{2}\cdot AB\cdot DN):(\frac{1}{2}\cdot AC\cdot DM)=AB:AC=2:3$.设△ABC的面积为S,则$S_{△ADC}=\frac{3}{5}S$,$S_{△BEC}=\frac{1}{2}S$.∵△OAE的面积比△BOD的面积大a,∴△ADC的面积比△BEC的面积大a,∴$\frac{3}{5}S-\frac{1}{2}S=a$,∴S=10a.

13. (2025·临沂期中)如图,任意画一个∠BAC= 60°的△ABC,再分别作△ABC的两条角平分线BE和CD,BE和CD相交于点P,连接AP,有以下结论:
①∠BPC= 120°;
②AP平分∠BAC;
③AD= AE;
④PD= PE;
⑤BD+CE= BC.
其中正确的结论为______.(填写序号)

①②④⑤　解析:∵BE,CD分别是∠ABC与∠ACB的平分线,∠BAC=60°,∴$∠PBC+∠PCB=\frac{1}{2}(180°-∠BAC)=\frac{1}{2}×(180°-60°)=60°$,∴∠BPC=180°-(∠PBC+∠PCB)=180°-60°=120°,①正确.如图,过点P作PF⊥AB,PG⊥AC,PH⊥BC,∵BE,CD分别是∠ABC与∠ACB的平分线,∴PF=PH,PG=PH,∴PF=PG,∴AP是∠BAC的平分线,②正确.∴PF=PG=PH.∵∠BPC=120°,∴∠DPE=120°.∵∠BAC=60°,∠AFP=∠AGP=90°,∴∠FPG=120°,∴∠DPF=∠EPG.在△PFD与△PGE中,$\left\{\begin{array}{l} ∠DFP=∠EGP,\\ PF=PG,\\ ∠DPF=∠EPG,\end{array}\right. $∴△PFD≌△PGE(ASA),∴PD=PE,④正确.在Rt△BHP与Rt△BFP中,$\left\{\begin{array}{l} BP=BP,\\ PH=PF,\end{array}\right. $∴Rt△BHP≌Rt△BFP(HL),同理,Rt△CHP≌Rt△CGP,∴CH=CG,∴BH=BD+DF,CH=CE−GE,两式相加得BH+CH=BD+DF+CE−GE.∵DF=EG,∴BC=BD+CE,⑤正确.没有条件得出AD=AE,③不正确.故答案为①②④⑤.