1. 如图,在$\triangle ABD$中,$AC\perp BD$,$BC = CD$。若$AB = 4$,则$AD$的长是()

A.$2$
B.$4$
C.$6$
D.$8$

B

2. 如图,线段$AC的垂直平分线交AB于点D$,$\angle A = 48^{\circ}$,则$\angle BDC$的度数为()

A.$48^{\circ}$
B.$96^{\circ}$
C.$90^{\circ}$
D.$84^{\circ}$

B

3. 如图,在$\triangle ABC$中,$AB = 10$,$AD垂直平分线段BC$,垂足为$D$,$E是AC$的中点,则$EC$的长为______。

5

4. 如图,$DE是AB$的垂直平分线,点$F在DE$上,$BF = 12$,$CF = 3$,则$AC= $______。

15

5. 如图,在$\triangle ABC$中,点$D在BC$边上,点$E在AC$边上,且$DE垂直平分AC$,连结$AD$。若$\triangle ABC的周长为21\mathrm{cm}$,$\triangle ABD的周长为13\mathrm{cm}$,则$AE$的长为______。

4 cm

6. 尺规作图：如图,有三家公司$A$,$B$,$C$,现要建个健身中心到三家公司的距离相同,请找出健身中心$P$的位置。

如图，分别作线段 AB，BC 的垂直平分线，相交于点 P，则点 P 即为所求。

7. 如图,在$\triangle ABC$中,$\angle B = 40^{\circ}$,$AC的垂直平分线交AC于点D$,交$BC于点E$,且$\angle EAB = 3\angle CAE$,求$\angle C$的度数。

设 $ \angle CAE = x $，则 $ \angle EAB = 3x $。因为 AC 的垂直平分线交 AC 于点 D，交 BC 于点 E，所以 $ AE = CE $。所以 $ \angle C = \angle CAE = x $。所以 $ \angle BAC = \angle EAB + \angle CAE = 4x $。根据三角形的内角和定理，得 $ \angle C + \angle BAC = 180^{\circ} - \angle B $，即 $ x + 4x = 180^{\circ} - 40^{\circ} $，解得 $ x = 28^{\circ} $，则 $ \angle C = 28^{\circ} $。所以 $ \angle C $ 的度数为 $ 28^{\circ} $。

8. (教材$P41作业题第2$题变式)如图,在$\triangle ABC$中,边$AB的垂直平分线l_{1}与边BC相交于点D$,边$AC的垂直平分线l_{2}与边BC相交于点E$(点$D在点E$的左侧)。若$\triangle ADE的周长为8$,$\angle DAE = 60^{\circ}$,求：
(1)$BC$的长。
(2)$\angle BAC$的度数。

（1）因为 $ l_1 $ 垂直平分 AB，所以 $ DB = DA $。同理可得，$ EA = EC $。因为△ADE 的周长 $ = DA + EA + DE = 8 $，所以 $ BC = BD + DE + EC = DA + DE + EA = 8 $。（2）因为 $ \angle DAE = 60^{\circ} $，所以 $ \angle ADE + \angle AED = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ} $。因为 $ DA = DB $，$ EA = EC $，所以 $ \angle BAD = \angle ABC $，$ \angle EAC = \angle ACB $。因为 $ \angle ADE = \angle BAD + \angle ABC $，$ \angle AED = \angle EAC + \angle ACB $，所以 $ \angle BAD + \angle EAC = \frac{1}{2}(\angle ADE + \angle AED) = 60^{\circ} $。所以 $ \angle BAC = 60^{\circ} + 60^{\circ} = 120^{\circ} $。