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如图,在$∠AOB$的平分线上任意取一点P,分别画点P到OA和OB的垂线段PC和PD,垂足分别为C,D.PC与PD一定相等吗？如何证明？
解：$PC$与$PD$一定相等。
证明：因为$OP$是$\angle AOB$的平分线，所以$\angle AOP = \angle BOP$。
又因为$PC\perp OA$，$PD\perp OB$，所以$\angle OCP = \angle ODP = 90^{\circ}$。
在$\triangle OCP$和$\triangle ODP$中：
$\begin{cases}\angle AOP = \angle BOP\\\angle OCP = \angle ODP\\OP = OP\end{cases}$
根据$AAS$（两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等）可得$\triangle OCP\cong\triangle ODP$。
因为全等三角形的对应边相等，所以$PC = PD$。
综上，$PC$与$PD$一定相等。
解：$PC$与$PD$一定相等。
证明：因为$OP$是$\angle AOB$的平分线，所以$\angle AOP = \angle BOP$。
又因为$PC\perp OA$，$PD\perp OB$，所以$\angle OCP = \angle ODP = 90^{\circ}$。
在$\triangle OCP$和$\triangle ODP$中：
$\begin{cases}\angle AOP = \angle BOP\\\angle OCP = \angle ODP\\OP = OP\end{cases}$
根据$AAS$（两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等）可得$\triangle OCP\cong\triangle ODP$。
因为全等三角形的对应边相等，所以$PC = PD$。
综上，$PC$与$PD$一定相等。
答案
解：$PC$与$PD$一定相等。
证明：因为$OP$是$\angle AOB$的平分线，所以$\angle AOP = \angle BOP$。
又因为$PC\perp OA$，$PD\perp OB$，所以$\angle OCP = \angle ODP = 90^{\circ}$。
在$\triangle OCP$和$\triangle ODP$中：
$\begin{cases}\angle AOP = \angle BOP\\\angle OCP = \angle ODP\\OP = OP\end{cases}$
根据$AAS$（两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等）可得$\triangle OCP\cong\triangle ODP$。
因为全等三角形的对应边相等，所以$PC = PD$。
综上，$PC$与$PD$一定相等。
证明：因为$OP$是$\angle AOB$的平分线，所以$\angle AOP = \angle BOP$。
又因为$PC\perp OA$，$PD\perp OB$，所以$\angle OCP = \angle ODP = 90^{\circ}$。
在$\triangle OCP$和$\triangle ODP$中：
$\begin{cases}\angle AOP = \angle BOP\\\angle OCP = \angle ODP\\OP = OP\end{cases}$
根据$AAS$（两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等）可得$\triangle OCP\cong\triangle ODP$。
因为全等三角形的对应边相等，所以$PC = PD$。
综上，$PC$与$PD$一定相等。
【例1】如图,在$Rt△ABC$中,$∠B= 90^{\circ }$,AD平分$∠BAC$,交BC于点D,$DE⊥AC$,垂足为E.若$BD= 3$,$AC= 10$,则$△ADC$的面积为(
A.8
B.10
C.15
D.16
C
)A.8
B.10
C.15
D.16
答案
【解析】：因为$\angle B = 90^{\circ}$，所以$DB\perp AB$。又因为$AD$平分$\angle BAC$，$DE\perp AC$，$BD = 3$，根据角平分线的性质可知$DE = BD = 3$。已知$AC = 10$，根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}ah$（$a$为底，$h$为高），可得$S_{\triangle ADC}=\frac{1}{2}AC\cdot DE=\frac{1}{2}×10×3 = 15$。
【答案】：C
【答案】：C
