1. 到三角形的三个顶点距离相等的点是()
A.三条角平分线的交点
B.三条中线的交点
C.三条高的交点
D.三条边的垂直平分线的交点

1. D

2. 如图,在$\triangle ABC$中,$∠C= 80^{\circ }$,$∠B= 30^{\circ }$,分别以点$A和点B$为圆心,大于$\frac {1}{2}AB$的长为半径作弧,两弧相交于点$M$,$N$,作直线$MN$,交$BC于点D$,连接$AD$,则$∠CAD= $.

2. $40^{\circ}$ [解析]由题意，得 $MN$ 是 $AB$ 的垂直平分线，$\therefore DA = DB$，$\therefore \angle DAB = \angle B = 30^{\circ}$。在 $\triangle ABC$ 中，$\because \angle C = 80^{\circ}$，$\angle B = 30^{\circ}$，$\therefore \angle CAB = 180^{\circ}-\angle C - \angle B = 70^{\circ}$，$\therefore \angle CAD = \angle CAB - \angle DAB = 40^{\circ}$。

3. 如图,$\triangle ABC的边AB的垂直平分线交AC于点D$,连接$BD$. 若$AC= 12$,$CD= 7$,则$BD= $______.

3. 5 [解析] $\because AC = 12$，$CD = 7$，$\therefore AD = AC - CD = 12 - 7 = 5$。$\because$ 点 $D$ 在 $AB$ 的垂直平分线上，$\therefore BD = AD = 5$。

4. 如图,在$\triangle ABC$中,$∠A= 50^{\circ }$,$∠C= 60^{\circ }$,$DE是AB$的垂直平分线,$DE分别交AB$,$AC于点D$,$E$.
(1) 尺规作图：求作直线$DE$(保留作图痕迹,不写作法)；
(2) 连接$EB$,求$∠EBC$的度数.

4. 解：(1) 如图，直线 $DE$ 即为所求。

(2) 如图。在 $\triangle ABC$ 中，$\because \angle A = 50^{\circ}$，$\angle C = 60^{\circ}$，$\therefore \angle ABC = 180^{\circ}-50^{\circ}-60^{\circ}=70^{\circ}$。$\because DE$ 是 $AB$ 的垂直平分线，$\therefore EA = EB$。在 $Rt\triangle ADE$ 和 $Rt\triangle BDE$ 中，$\begin{cases}EA = EB\\DE = DE\end{cases}$，$\therefore Rt\triangle ADE\cong Rt\triangle BDE$，$\therefore \angle A = \angle ABE = 50^{\circ}$，$\therefore \angle EBC = \angle ABC - \angle ABE = 70^{\circ}-50^{\circ}=20^{\circ}$。

5. (江苏淮安期中)如图,在$\triangle ABC$中,$∠A= 75^{\circ }$,$DE和DF分别垂直平分边AB$,$AC$,则$∠DBC$的度数为______.

5. $15^{\circ}$ [解析]如图，连接 $DA$，$DC$。

$\because \angle BAC = 75^{\circ}$，$\therefore \angle ABC + \angle ACB = 180^{\circ}-75^{\circ}=105^{\circ}$。$\because DE$ 和 $DF$ 分别垂直平分边 $AB$，$AC$，$\therefore DA = DB$，$DA = DC$，$\therefore DB = DC$，$\angle DBA = \angle DAB$，$\angle DAC = \angle DCA$，$\therefore \angle DBA + \angle DCA = \angle DAB + \angle DAC = 75^{\circ}$，$\angle DBC = \angle DCB$，$\therefore \angle DBC = \angle DCB=\frac{1}{2}×(105^{\circ}-75^{\circ}) = 15^{\circ}$。

6. 练思维·推理能力 如图,$\triangle ABC$为等边三角形,$D是BC边上异于B$,$C$的任意一点,$DE⊥AB于点E$,$DF⊥AC于点F$. 若边$BC上的高AM= 2$,则$DE+DF= $______.

6. 2 [解析] $\because \triangle ABC$ 为等边三角形，$\therefore AB = AC = BC$。如图，连接 $AD$，则 $S_{\triangle ABC}=S_{\triangle ADB}+S_{\triangle ADC}$。

$\because$ 边 $BC$ 上的高 $AM = 2$，$DE\perp AB$ 于点 $E$，$DF\perp AC$ 于点 $F$，$\therefore \frac{1}{2}× 2BC=\frac{1}{2}AB\cdot DE+\frac{1}{2}AC\cdot DF$，即 $2BC = BC\cdot(DE + DF)$，$\therefore DE + DF = 2$。

7. (江苏泰州)如图,$CD是五边形ABCDE$的一边,若$AM垂直平分CD$,垂足为$M$,且______,______,则______.
给出下列信息：①$AM平分∠BAE$；②$AB= AE$；③$BC= ED$.
请从中选择合适的信息,将对应的序号填到横线上方,使之构成真命题,补全图形,并加以证明.

7. 解：②③①或①②③ 补全图形如图所示，连接 $AC$，$AD$。

情况一：②③① 证明：$\because AM$ 垂直平分 $CD$，$\therefore CM = DM$，$AC = AD$。在 $\triangle ACM$ 和 $\triangle ADM$ 中，$\begin{cases}AM = AM\\AC = AD\\CM = DM\end{cases}$，$\therefore \triangle ACM\cong \triangle ADM(SSS)$，$\therefore \angle CAM = \angle DAM$。在 $\triangle ABC$ 和 $\triangle AED$ 中，$\begin{cases}AB = AE\\AC = AD\\BC = ED\end{cases}$，$\therefore \triangle ABC\cong \triangle AED(SSS)$，$\therefore \angle BAC = \angle EAD$。$\because \angle CAM = \angle DAM$，$\therefore \angle BAC+\angle CAM=\angle EAD+\angle DAM$，即 $\angle BAM = \angle EAM=\frac{1}{2}\angle BAE$，$\therefore AM$ 平分 $\angle BAE$。 情况二：①②③ 证明：$\because AM$ 垂直平分 $CD$，$\therefore CM = DM$，$AC = AD$。在 $\triangle ACM$ 和 $\triangle ADM$ 中，$\begin{cases}AM = AM\\AC = AD\\CM = DM\end{cases}$，$\therefore \triangle ACM\cong \triangle ADM(SSS)$，$\therefore \angle CAM = \angle DAM$。$\because AM$ 平分 $\angle BAE$，$\therefore \angle BAM = \angle EAM$，$\therefore \angle BAC+\angle CAM=\angle EAD+\angle DAM$，$\therefore \angle BAC = \angle EAD$。在 $\triangle BAC$ 和 $\triangle EAD$ 中，$\begin{cases}AB = AE\\\angle BAC = \angle EAD\\AC = AD\end{cases}$，$\therefore \triangle BAC\cong \triangle EAD(SAS)$，$\therefore BC = ED$。