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14. 解下列不等式组：
(1) $\begin{cases} 3x - 2 ＜ x + 2, \\ 8 - x ≥ 1 - 3(x - 1); \end{cases}$
(2) $\begin{cases} \dfrac{x + 1}{5} ＜ \dfrac{3 - x}{5}, \\ \dfrac{2x - 2}{3} ＞ \dfrac{x}{3} + \dfrac{x - 2}{4}. \end{cases}$
(1) $\begin{cases} 3x - 2 ＜ x + 2, \\ 8 - x ≥ 1 - 3(x - 1); \end{cases}$
(2) $\begin{cases} \dfrac{x + 1}{5} ＜ \dfrac{3 - x}{5}, \\ \dfrac{2x - 2}{3} ＞ \dfrac{x}{3} + \dfrac{x - 2}{4}. \end{cases}$
答案
14. 解:(1)不等式$3x - 2 ＜ x + 2$的解集为$x ＜ 2$.
不等式$8 - x ≥ 1 - 3(x - 1)$的解集为$x ≥ -2$.
所以不等式组的解集为$-2 ≤ x ＜ 2$.
(2)由$\dfrac{x + 1}{5} ＜ \dfrac{3 - x}{5}$解得$x ＜ 1$.由$\dfrac{2x - 2}{3} ＞ \dfrac{x}{3} + \dfrac{x - 2}{4}$解得$x ＞ 2$. 所以原不等式组无解.
不等式$8 - x ≥ 1 - 3(x - 1)$的解集为$x ≥ -2$.
所以不等式组的解集为$-2 ≤ x ＜ 2$.
(2)由$\dfrac{x + 1}{5} ＜ \dfrac{3 - x}{5}$解得$x ＜ 1$.由$\dfrac{2x - 2}{3} ＞ \dfrac{x}{3} + \dfrac{x - 2}{4}$解得$x ＞ 2$. 所以原不等式组无解.
解析
【分析】
解一元一次不等式组遵循“先分后合”的思路：第一步先分别求解组内每一个一元一次不等式，解不等式时按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤计算，注意若系数为负数，不等号方向要改变；第二步根据“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到”的口诀，或借助数轴找两个解集的公共部分，公共部分就是不等式组的解集，若无公共部分则不等式组无解。
【解析】
(1) 解不等式$3x - 2 ＜ x + 2$：
移项得$3x - x ＜ 2 + 2$，
合并同类项得$2x ＜ 4$，
系数化为1得$x ＜ 2$。
解不等式$8 - x ≥ 1 - 3(x - 1)$：
去括号得$8 - x ≥ 1 - 3x + 3$，
合并右侧同类项得$8 - x ≥ 4 - 3x$，
移项得$-x + 3x ≥ 4 - 8$，
合并同类项得$2x ≥ -4$，
系数化为1得$x ≥ -2$。
两个解集的公共部分为$-2 ≤ x ＜ 2$。
(2) 解不等式$\dfrac{x + 1}{5} ＜ \dfrac{3 - x}{5}$：
两边同乘5去分母得$x + 1 ＜ 3 - x$，
移项得$x + x ＜ 3 - 1$，
合并同类项得$2x ＜ 2$，
系数化为1得$x ＜ 1$。
解不等式$\dfrac{2x - 2}{3} ＞ \dfrac{x}{3} + \dfrac{x - 2}{4}$：
两边同乘12去分母得$4(2x - 2) ＞ 4x + 3(x - 2)$，
去括号得$8x - 8 ＞ 4x + 3x - 6$，
合并同类项得$8x - 8 ＞ 7x - 6$，
移项得$8x - 7x ＞ -6 + 8$，
合并同类项得$x ＞ 2$。
$x ＜ 1$和$x ＞ 2$没有公共部分，因此不等式组无解。
【答案】
(1) $-2 ≤ x ＜ 2$；
(2) 无解
【知识点】
解一元一次不等式，一元一次不等式组的解法，不等式组解集确定
【点评】
本题是一元一次不等式组的基础考查题，重点要求熟练掌握一元一次不等式的求解步骤，规避去分母漏乘、移项不变号等易错点，同时能准确判断两个解集的公共部分，掌握无解的判定方法。
【难度系数】
0.8
解一元一次不等式组遵循“先分后合”的思路：第一步先分别求解组内每一个一元一次不等式，解不等式时按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤计算，注意若系数为负数，不等号方向要改变；第二步根据“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到”的口诀，或借助数轴找两个解集的公共部分，公共部分就是不等式组的解集，若无公共部分则不等式组无解。
【解析】
(1) 解不等式$3x - 2 ＜ x + 2$：
移项得$3x - x ＜ 2 + 2$，
合并同类项得$2x ＜ 4$，
系数化为1得$x ＜ 2$。
解不等式$8 - x ≥ 1 - 3(x - 1)$：
去括号得$8 - x ≥ 1 - 3x + 3$，
合并右侧同类项得$8 - x ≥ 4 - 3x$，
移项得$-x + 3x ≥ 4 - 8$，
合并同类项得$2x ≥ -4$，
系数化为1得$x ≥ -2$。
两个解集的公共部分为$-2 ≤ x ＜ 2$。
(2) 解不等式$\dfrac{x + 1}{5} ＜ \dfrac{3 - x}{5}$：
两边同乘5去分母得$x + 1 ＜ 3 - x$，
移项得$x + x ＜ 3 - 1$，
合并同类项得$2x ＜ 2$，
系数化为1得$x ＜ 1$。
解不等式$\dfrac{2x - 2}{3} ＞ \dfrac{x}{3} + \dfrac{x - 2}{4}$：
两边同乘12去分母得$4(2x - 2) ＞ 4x + 3(x - 2)$，
去括号得$8x - 8 ＞ 4x + 3x - 6$，
合并同类项得$8x - 8 ＞ 7x - 6$，
移项得$8x - 7x ＞ -6 + 8$，
合并同类项得$x ＞ 2$。
$x ＜ 1$和$x ＞ 2$没有公共部分，因此不等式组无解。
【答案】
(1) $-2 ≤ x ＜ 2$；
(2) 无解
【知识点】
解一元一次不等式，一元一次不等式组的解法，不等式组解集确定
【点评】
本题是一元一次不等式组的基础考查题，重点要求熟练掌握一元一次不等式的求解步骤，规避去分母漏乘、移项不变号等易错点，同时能准确判断两个解集的公共部分，掌握无解的判定方法。
【难度系数】
0.8
15. 若$2(x+1)-5 ＜ 3(x-1)+4$的最小整数解是方程$\frac{1}{3}x - mx =5$的解，求代数式$m^2 -2m -11$的值.
答案
15. 解:因为$2(x + 1) - 5 ＜ 3(x - 1) + 4$,所以$x ＞ -4$,
所以不等式的最小整数解为$-3$. 把$x = -3$代入方程可得,$-1 + 3m = 5$,解得$m = 2$.
所以$m^2 - 2m - 11 = -11$.
所以不等式的最小整数解为$-3$. 把$x = -3$代入方程可得,$-1 + 3m = 5$,解得$m = 2$.
所以$m^2 - 2m - 11 = -11$.
解析
【分析】
解题时可以分三步逐步推导：第一步先求解给出的一元一次不等式，得到x的取值范围后，找出范围内的最小整数解；第二步将得到的最小整数解代入含参数m的一元一次方程中，求出m的取值；第三步把m的值代入目标代数式，计算出最终结果即可。计算时要注意解不等式移项的符号变化、系数化为1时不等号的方向变化，避免代入数值时出错。
【解析】
1. 解不等式$2(x+1)-5 ＜ 3(x-1)+4$：
去括号得：$2x+2-5 ＜ 3x-3+4$
合并同类项得：$2x-3 ＜ 3x+1$
移项得：$2x-3x ＜ 1+3$
合并同类项得：$-x ＜ 4$
系数化为1（不等号方向改变）得：$x ＞ -4$
因此不等式的最小整数解为$x=-3$。
2. 将$x=-3$代入方程$\frac{1}{3}x - mx =5$：
代入得：$\frac{1}{3}×(-3) - m×(-3) = 5$
计算得：$-1 + 3m = 5$
移项合并得：$3m=6$
解得：$m=2$。
3. 将$m=2$代入代数式$m^2 -2m -11$：
原式$=2^2 - 2×2 -11 = 4-4-11=-11$。
【答案】
$-11$
【知识点】
一元一次不等式解法，一元一次方程解法，代数式求值
【点评】
本题是不等式与方程的综合基础题，以不等式的整数解为衔接点，考察解不等式、求参数、代数式求值的基础能力，只要注意计算过程中的符号变化，细心运算即可得分。
【难度系数】
0.8
解题时可以分三步逐步推导：第一步先求解给出的一元一次不等式，得到x的取值范围后，找出范围内的最小整数解；第二步将得到的最小整数解代入含参数m的一元一次方程中，求出m的取值；第三步把m的值代入目标代数式，计算出最终结果即可。计算时要注意解不等式移项的符号变化、系数化为1时不等号的方向变化，避免代入数值时出错。
【解析】
1. 解不等式$2(x+1)-5 ＜ 3(x-1)+4$：
去括号得：$2x+2-5 ＜ 3x-3+4$
合并同类项得：$2x-3 ＜ 3x+1$
移项得：$2x-3x ＜ 1+3$
合并同类项得：$-x ＜ 4$
系数化为1（不等号方向改变）得：$x ＞ -4$
因此不等式的最小整数解为$x=-3$。
2. 将$x=-3$代入方程$\frac{1}{3}x - mx =5$：
代入得：$\frac{1}{3}×(-3) - m×(-3) = 5$
计算得：$-1 + 3m = 5$
移项合并得：$3m=6$
解得：$m=2$。
3. 将$m=2$代入代数式$m^2 -2m -11$：
原式$=2^2 - 2×2 -11 = 4-4-11=-11$。
【答案】
$-11$
【知识点】
一元一次不等式解法，一元一次方程解法，代数式求值
【点评】
本题是不等式与方程的综合基础题，以不等式的整数解为衔接点，考察解不等式、求参数、代数式求值的基础能力，只要注意计算过程中的符号变化，细心运算即可得分。
【难度系数】
0.8
16. 已知关于x的方程$5x - 2m = 3x - 6m + 1$的解x满足$-3 ＜ x ≤ 2$，求m的整数值.
答案
16. 解:先求得关于$x$的方程$5x - 2m = 3x - 6m + 1$的解$x = \dfrac{1 - 4m}{2}$,又$x$满足$-3 ＜ x ≤ 2$,
即$\begin{cases} \dfrac{1 - 4m}{2} ＞ -3, \\ \dfrac{1 - 4m}{2} ≤ 2, \end{cases}$
解得$-\dfrac{3}{4} ≤ m ＜ \dfrac{7}{4}$,
故$m$的整数值为0或1.
即$\begin{cases} \dfrac{1 - 4m}{2} ＞ -3, \\ \dfrac{1 - 4m}{2} ≤ 2, \end{cases}$
解得$-\dfrac{3}{4} ≤ m ＜ \dfrac{7}{4}$,
故$m$的整数值为0或1.
解析
【分析】
解题思路如下：首先把方程中的参数m当作常数，通过解一元一次方程，用含m的代数式表示出x；再根据题目给出的x的取值范围，将x的表达式代入范围，得到关于m的一元一次不等式组；解这个不等式组得到m的取值范围，最后在范围内找出所有整数即可。
【解析】
第一步：解方程$5x - 2m = 3x - 6m + 1$，
移项，得$5x - 3x = -6m + 2m + 1$，
合并同类项，得$2x = 1 - 4m$，
系数化为1，得$x = \dfrac{1 - 4m}{2}$。
第二步：根据x满足$-3 ＜ x ≤ 2$，代入x的表达式得到不等式组：
$\begin{cases} \dfrac{1 - 4m}{2} ＞ -3 ① \\ \dfrac{1 - 4m}{2} ≤ 2 ② \end{cases}$
解不等式①：两边同乘2得$1 - 4m ＞ -6$，
移项得$-4m ＞ -7$，
两边同时除以-4，不等号方向改变，得$m ＜ \dfrac{7}{4}$。
解不等式②：两边同乘2得$1 - 4m ≤ 4$，
移项得$-4m ≤ 3$，
两边同时除以-4，不等号方向改变，得$m ≥ -\dfrac{3}{4}$。
所以不等式组的解集为$-\dfrac{3}{4} ≤ m ＜ \dfrac{7}{4}$。
第三步：在$-\dfrac{3}{4} ≤ m ＜ \dfrac{7}{4}$范围内的整数为0、1。
【答案】
$m$的整数值为0或1。
【知识点】
一元一次方程的解法；一元一次不等式组的解法；不等式的整数解
【点评】
本题是方程与不等式的综合应用类题目，解题关键是先将参数看作常数求出未知数的表达式，再结合未知数的取值范围转化为关于参数的不等式组求解，需要注意的是解不等式时，两边同时除以负数要改变不等号的方向，取整数解时要留意解集的边界是否包含在内。
【难度系数】
0.75
解题思路如下：首先把方程中的参数m当作常数，通过解一元一次方程，用含m的代数式表示出x；再根据题目给出的x的取值范围，将x的表达式代入范围，得到关于m的一元一次不等式组；解这个不等式组得到m的取值范围，最后在范围内找出所有整数即可。
【解析】
第一步：解方程$5x - 2m = 3x - 6m + 1$，
移项，得$5x - 3x = -6m + 2m + 1$，
合并同类项，得$2x = 1 - 4m$，
系数化为1，得$x = \dfrac{1 - 4m}{2}$。
第二步：根据x满足$-3 ＜ x ≤ 2$，代入x的表达式得到不等式组：
$\begin{cases} \dfrac{1 - 4m}{2} ＞ -3 ① \\ \dfrac{1 - 4m}{2} ≤ 2 ② \end{cases}$
解不等式①：两边同乘2得$1 - 4m ＞ -6$，
移项得$-4m ＞ -7$，
两边同时除以-4，不等号方向改变，得$m ＜ \dfrac{7}{4}$。
解不等式②：两边同乘2得$1 - 4m ≤ 4$，
移项得$-4m ≤ 3$，
两边同时除以-4，不等号方向改变，得$m ≥ -\dfrac{3}{4}$。
所以不等式组的解集为$-\dfrac{3}{4} ≤ m ＜ \dfrac{7}{4}$。
第三步：在$-\dfrac{3}{4} ≤ m ＜ \dfrac{7}{4}$范围内的整数为0、1。
【答案】
$m$的整数值为0或1。
【知识点】
一元一次方程的解法；一元一次不等式组的解法；不等式的整数解
【点评】
本题是方程与不等式的综合应用类题目，解题关键是先将参数看作常数求出未知数的表达式，再结合未知数的取值范围转化为关于参数的不等式组求解，需要注意的是解不等式时，两边同时除以负数要改变不等号的方向，取整数解时要留意解集的边界是否包含在内。
【难度系数】
0.75
